10. Cấu trúc luận văn
2.1.Những căn cứ để phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy
chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 trung học cơ sở
2.1.1. Dạy tư duy
Dạy học truyền thống nặng về dạy kiến thức mà xem nhẹ dạy các kĩ năng tƣ duy. Dạy học hiện đại đã quan tâm đến phát triển tƣ duy song song với trang bị kiến thức môn học, đã chú trọng đến dạy cách học trong quá trình dạy các môn khoa học cụ thể.
Tại sao chúng ta phải rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh?
Thực tế nếu dạy học chỉ trang bị cho HS một vốn kiến thức thì kết quả họ thu đƣợc chỉ là những sản phẩm “tĩnh tại”, khô cứng, không có khả năng tái sinh, không vận dụng linh hoạt vào các tình huống phức tạp trong nhận thức và đời sống. Chỉ khi HS thu nhận kiến thức bằng chính hoạt động nhận thức, tìm tòi, gia công trí tuệ …thì kiến thức thu đƣợc mới là sở hữu trí tuệ của ngƣời học. Kiến thức HS thu đƣợc bằng quá trình hoạt động đó sẽ vừa là sản phẩm, vừa là cơ sở của hoạt động tƣ duy.
Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi chỉ tập trung vào nghiên cứu cơ sở lí luận, nguyên tắc và biện pháp nhằm phát triển và rèn luyện tƣ duy cho học sinh gồm hai phƣơng diện:
- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ: phân tích- tổng hợp, so sánh- tƣơng tự hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa,...
- Phát triển các dạng tƣ duy: Tƣ duy thuật toán, tƣ duy sáng tạo...
Tâm lý lĩnh hội kiến thức trong nhà trƣờng chỉ ra rằng tích cực hoá HS trong dạy học không phải chỉ ở lĩnh vực hoàn thiện lĩnh hội kiến thức mà phải đề cập đến việc tích cực hoá hoạt động nhận thức. Bởi lẽ tƣ duy không thể tồn tại nếu thiếu tri thức và ngƣợc lại. Sẽ sai lầm nếu coi trọng tri thức hơn phát triển tƣ duy,
điều này sẽ chỉ làm cho ngƣời học phải học nhƣng luôn luôn thiếu kiến thức. Tích luỹ kiến thức và học các phƣơng pháp để tích luỹ kiến thức cũng nhƣ vận dụng chúng là một quá trình hai mặt. Bởi vậy đòi hỏi trong dạy học giáo viên phải rèn luyện cho học sinh các thao tác tƣ duy và phát triển các dạng tƣ duy.
Theo lý luận dạy học, dạy học có mục tiêu làm cho HS có một vốn hiểu biết về khoa học tự nhiên, khoa học xã hội nhân văn và năng lực nhận thức. Dạy học sẽ phát triển thực sự nếu nó đảm bảo phát triển trí tuệ HS. Nhằm mục đích đó cần phải tổ chức hoạt động học tập sao cho trong đó cùng với việc lĩnh hội kiến thức là động cơ vận dụng các thao tác tƣ duy. Tƣ duy sẽ không đƣợc phát triển nếu chúng ta không sử dụng các thao tác tƣ duy. Chính vì vậy HS cần đƣợc khuyến khích vận dụng các thao tác tƣ duy, đƣợc hƣớng dẫn để sử dụng chúng. Rèn luyện các thao tác tƣ duy phải trở thành một bộ phận của chƣơng trình học tập và một phần của cuộc sống hàng ngày.
Trong nhà trƣờng phổ thông, điều cốt yếu không phải là cung cấp tri thức mà là dạy HS phƣơng pháp chiếm lĩnh tri thức, cụ thể trong học tập đó là phƣơng pháp học, phƣơng pháp nghiên cứu. Ngƣời GV cần phải ý thức đƣợc điều cốt yếu đó. Nên chăng với mỗi thao tác tư duy phải vạch ra được hệ thống các phương pháp, cách thức cụ thể tạo điều kiện phát triển năng lực nhận thức ở HS. Đó cũng là xuất phát điểm cho việc nghiên cứu các biện pháp để phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua dạy học chƣơng “Phép nhân và phép chia đa thức” lớp 8 THCS.
2.1.2. Nội dung chương “Phép nhân và phép chia các đa thức” lớp 8 THCS với vấn đề phát triển tư duy cho học sinh
Trong chƣơng trình toán THCS chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” chiếm vị trí quan trọng. Chƣơng này nhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức về nhân, chia các đa thức, các hằng đẳng thức quan trọng, các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, qua đó hoàn thiện các phép toán về đa thức mà các em đã đƣợc học ở lớp 7. Nội dung chƣơng gồm ba chủ đề: Chủ đề
3: Phân tích đa thức thành nhân tử. Trong chƣơng trình toán THCS thì: giải phƣơng trình, giải hệ phƣơng trình, giải bất phƣơng trình, bất đẳng thức, cực trị là các dạng toán quan trọng mà các kiến thức trong chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” đều đƣợc ứng dụng để giải các dạng toán này.
Các loại bài tập trong chƣơng có những bài có thuật giải, cũng có những bài chƣa có thuật giải. Ngay cả với những bài toán đã có thuật giải thì cũng không đơn thuần chỉ cần áp dụng các thuật giải cơ bản là có thể giải quyết đƣợc. Để giải quyết các bài toán đó đòi hỏi HS phải phân tích đặc điểm của từng bài tổng hợp kiến thức đã có để từ đó định hƣớng cách giải quyết. Nhiều bài tập phải phân chia bài toán thành những trƣờng hợp riêng, chia nhỏ bài toán thành những bài toán cơ bản đã biết cách giải, nhƣ vậy HS có nhiều cơ hội để rèn luyện các thao tác tƣ duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa. Bên cạnh đó từ một số bài toán về đẳng thức thuộc chƣơng này ta có thể khai thác, phát triển thành rất nhiều bài toán về bất đẳng thức có điều kiện hay có mặt trong nhiều cuộc thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Đó là cơ hội tốt để HS phát triển đƣợc tƣ duy của mình.
Những phân tích trên khẳng định ƣu thế của chƣơng “Phép nhân và phép chia các đa thức” trong việc phát triển tƣ duy cho HS. Trong luận văn này tác giả đi sâu vào nội dung phân tích đa thức thành nhân tử và một số ứng dụng của nó.
2.2. Rèn luyện các thao tác tƣ duy: phân tích- tổng hợp, so sánh- tƣơng tự hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa
2.2.1. Phân tích. Tổng hợp
Trong cuốn sách “Giải một bài toán nhƣ thế nào”[27], tác giả G.Polya đã chỉ ra: “ Muốn giải một bài toán, phải lần lƣợt:
1. Hiểu rõ bài toán
2. Xây dựng một chƣơng trình (một dữ kiện)
- Tìm sự liên hệ giữa các dữ kiện đã biết và cái chƣa biết (ẩn)
liên hệ đó.
- Cuối cùng phải xây dựng đƣợc một chƣơng trình, một dữ kiện và cách giải.
3. Thực hiện chƣơng trình (dự kiến). 4. Khảo sát lời giải đã tìm đƣợc.”
Hai bƣớc đầu mà G.Polya đƣa ra chính là bƣớc tìm đƣờng lối giải bài toán. Trong bƣớc này để rèn cho HS kĩ năng phân tích, tổng hợp, GV tổ chức các hoạt động, hƣớng dẫn HS thông qua trả lời các câu hỏi:
+ Đề bài cho gì, hỏi gì?
+ Từ những giả thiết đã cho suy đƣợc những điều gì?
+ Những kiến thức nào liên quan đến giả thiết? Giả thiết này có thể biến đổi tƣơng đƣơng thành những điều kiện nào?
+ Những kiến thức nào liên quan đến kết luận? Kết luận này có thể biến đổi tƣơng đƣơng thành kết quả nà? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Tìm quan hệ giữa cái chƣa biết và cái đã biết? Có bài toán nào quen thuộc cũng chứa cái chƣa biết hoặc có cùng kết luận tƣơng tự không? Mối liên hệ của bài toán với những bài toán đã biết cách giải? Có thể xếp bài toán thuộc dạng toán nào đã biết không?…
GV tạo cho HS thói quen nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chƣớng ngại khiến ta phải dừng lại.
Để trả lời đƣợc các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích đề bài, tổng hợp các kiến thức liên quan. Trả lời các câu hỏi đó giúp HS xác định đƣợc dạng bài, định hƣớng tìm ra đƣờng lối giải bài toán.
Để rèn luyện kĩ năng phân tích cho HS,để tạo cơ hội rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh, từ những bài toán có trong sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bài tập, giáo viên có thể sửa đề sao cho bài toán có thể phân tích theo nhiều hƣớng khác nhau, tìm đƣợc nhiều đặc điểm định hƣớng các cách giải khác nhau để kích thích tƣ duy cho học sinh.
Bài toán trong sách tham khảo nhƣ sau
Bài toán 2.1 : Phân tích đa thức thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc
Phân tích: Các hạng tử của đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng đƣợc các phƣơng pháp phân tích đã biết. Trong đa thức đã cho có lập phƣơng của a, lập phƣơng của b vậy chúng ta nghĩ đến việc thêm bớt để làm xuất hiện (a+b)3
nhƣ sau: Bài giải: a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a3 + 3a2b +3ab2+b3 )+ c3 – ( 3a2
b+3ab2 + 3abc) = (a+b)3 + c3- 3ab(a+b+c)
= [ (a+b)3 +c3] - 3ab( a+b+c)
= ( a+b+c) [(a+b)2-c(a+b)+c2] – 3ab(a+b+c) = ( a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab)
= ( a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)
Để phát triển tƣ duy cho học sinh ta có thể thay đổi bài toán nhƣ sau :
Bài toán 2.2: Chứng minh đẳng thức
a3 + b3 + c3 – 3 abc = (a+b+c) (a2 +b2+c2 – ab – bc – ca)
Ngoài cách giải nhƣ bài 2.1 ta còn có cách làm nào nữa không?
Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng phƣơng pháp nào? Từ đó học sinh tìm ra cách giải khác là biến đổi vế phải bằng về trái.
Bài giải
Ta có P = ( a + b + c ) ( a2 +b2+c2 - ab – bc – ca) Khi khai triển
gồm 18 hạng tử gồm các dạng: a3
+ b3 + c3 + a2b + a2c +b2c + b2a + c2a +c2b
+ ( -a2b - a2c - b2c - b2a - c2a - c2b) – abc – abc – abc => P = a3 + b3 +c3 – 3 abc) (đpcm)
Bài toán 2.3: Cho a+b+c=0. Chứng minh rằng a3
+ b3 + c3 = 3abc.
Phân tích: Đây có phải là một bài toán có liên quan mà các em đã giải rồi không? Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không?
Bài giải: Áp dụng bài toán 2.2 ta có:
a3 + b3 + c3 - 3abc=( a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca).
Mà a+b+c=0 a3 + b3 + c3 - 3abc=0 hay a3 + b3 + c3 = 3abc ? Bài toán 2 còn cách giải nào nữa không?
Phân tích: Từ a + b + c = 0 nên a + b = -c ta suy ra điều gì ? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta có a + b + c = 0 nên a + b = -c .Do đó a3 +b3+c3 = a3 + b3-(a+b)3 = a3 + b3- a3 - b3 -3ab(a+b)=3abc.
Theo bài toán đã chỉnh sửa học sinh có những phán đoán, phát hiện và từ đó khám phá ra những kết quả mới. Quá trình tìm lời giải bài toán 2.3 sẽ dựa vào bài toán ban đầu 2.1 hoặc 2.2.
Bài toán 2.4 . Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
Phân tích: Bài toán này có liên quan gì đến bài toán 2.3 không? Làm thế nào để có thể áp dụng đƣợc bài toán 2.3?
Đặt x-y=a, y-z=b, z-x=c thì a+b+c=? Từ đó tìm ra cách giải?
Bài giải: Đặt x-y=a, y-z=b, z-x=c thì a+b+c=0 .
Mà ta có: a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc-ca). Nên a3 + b3 + c3 - 3abc=0 a3 + b3 + c3 = 3abc
(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3= 3(x-y)(y-z)(z-x)
Quá trình phân tích và tổng hợp là hai quá trình gắn bó mật thiết với nhau. Phân tích để tổng hợp có cơ sở và tổng hợp để phân tích có chiều sâu. Việc phân tích để tìm ra đƣờng lối giải bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc giải toán. Vì nếu chƣa có phƣơng hƣớng hoặc chƣa có phƣơng hƣớng tốt thì không thể có lời giải tốt, đồng thời việc định hƣớng tìm ra phƣơng hƣớng giải là công việc mang nhiều tính sáng tạo hơn khâu thực hiện các thao tác giải khi đã có phƣơng hƣớng. Rèn luyện kĩ
trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, rèn luyện các kĩ năng tƣ duy bậc cao.
Để trở thành kĩ năng, HS cần thƣờng xuyên có cơ hội đƣợc thực hành tƣ duy phân tích, tổng hợp. Trong thiết kế bài giảng, GV phải chú ý đến chọn lựa bài tập đặc trƣng với nội dung kiến thức, có nhiều hƣớng phân tích, khai thác. Các phƣơng pháp sử dụng giảng dạy cho từng bài giảng cũng cần đƣợc vận dụng, kết hợp linh hoạt nhiều hình thức. Với bài toán cơ bản, GV nên sử dụng mô hình dạy học tích cực (thầy gợi ý các bƣớc, HS tự hoạt động, trao đổi xây dựng bài giảng). Tuỳ vào nội dung kiến thức và trình độ HS, GV có thể tổ chức triển khai bài giảng ở mức độ thấp hoặc cao. Ở mức độ thấp: sau khi hƣớng dẫn HS phân tích một bài toán cụ thể, tổng hợp đƣa ra lời giải, phƣơng pháp chung, GV cho bài toán tƣơng tự yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp theo các bƣớc tƣơng tự bài toán trƣớc. Ở mức độ cao hơn, GV đƣa ra bài toán thuộc dạng toán mới, yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp. Các phƣơng pháp gợi mở vấn đáp, giải quyết vấn đề, hƣớng dẫn làm việc theo nhóm, hƣớng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu cũng cần sử dụng phối hợp.
2.2.2. So sánh - Tương tự hóa
Sau khi tìm đƣợc lời giải bài toán, GV cần tạo cho HS cơ hội, ý thức nhìn lại cách giải tìm ra. Yêu cầu HS phân tích kết quả và con đƣờng họ đã đi. Hình thành cho HS thói quen trả lời các câu hỏi:
+ Để giải bài này cần thực hiện những bước nào? + Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào? + Đâu là điểm mấu chốt của lời giải?
+ Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?
Qua phân tích lời giải để HS so sánh tìm ra những dấu hiệu giống nhau cũng nhƣ khác nhau giữa các bài tập đã giải. Từ đó có thể đƣa ra định hƣớng mở rộng cách giải cho những bài tập có những đặc trƣng tƣơng tự.
Bài 2.5 : a, b, c R, chứng minh rằng:
? Bài toán này giống bài toán nào mà các em đã làm? Để giải bài này cần thực hiện những bƣớc nào? Các bƣớc biến đổi đó dựa trên cơ sở nào? Đâu là điểm mấu chốt của lời giải? Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?
Dƣới sự hƣớng dẫn của GV học sinh phát hiện ra bài 2.5 giống bài 2.2.Để giải bài này cần biến đổi một vế của đẳng thức bằng vế còn lại hoặc biến đổi đồng thời hai vế của đẳng thức. Điểm mấu chốt là học sinh phải thành thạo nhân đa thức, mà đặc biệt ở hai bài toán này là thuật toán nhân hai đa thức đối xứng
Bài giải
Ta có (a + b) ( b +c) (c + a) khi khai triển có 2 x 2 x2 = 8 hạng tử gốm các dạng: a2 b + a2 c + b2c + b2a + c2a + c2b và abc + abc (1)
Ta có (a +b + c) (ab + bc + ca) khi triển gồm 3 x 3 = 9 hạng tử a2 b + a2 c + b2c + b2a + c2a + c2b và abc + abc + abc (2) Từ (1) (2) ta suy ra điều phải chứng minh
Nhƣ vậy đứng trƣớc nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhƣng có một số điểm chung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận, học sinh phải biết liên hệ lôgic với nhau qua phép so sánh và tƣơng tự. Từ đó tăng khả năng phân biệt, nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đƣờng lối giải các dạng bài toán đó.
2.3. Phát triển các dạng tƣ duy: Tƣ duy thuật toán,Tƣ duy sáng tạo
2.3.1. Tư duy thuật toán
Thuật toán đƣợc hiểu nhƣ một quy trình mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để ngƣời (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt đƣợc mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định.
Ta có thể phát triển tƣ duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy các quy tắc.Khi dạy học chủ đề : Nhân chia các đa thức ta có các quy tắc sau:
Quy tắc nhân một đơn thức với một đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau: A( B + C) = A.B + A.C.
Quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau: (A+B)(C+D)=A.C+A.D+B.C+B.D.
Quy tắc chia đa thức cho đơn thức: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B(trƣờng hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngoài ra ta cũng có thể phát triển tƣ duy thuật toán cho học sinh thông