Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán

Nhận xét 1 : Theo định nghĩa tập Zd và tính chất của ma trận trọng số W thì có thể suy ra: tập Z2r1 Ø.

Chứng minh Z2r1 Ø

Đặt d = 2r-1 thì giá trị d {1,2,…,2r-1}

Theo tính chất của ma trận trọng số W, các phần tử của W cần thoả mãn:

{Wi,j|i=1..m, j=1..n} = {1,2, …,2r-1}

Vì vậy phải tồn tại ít nhất một cặp (i,j) sao cho Wi,j = d.

Mặt khác do T là ma trận nhị phân nên Ti,j có giá trị bằng 0 hoặc 1. Xét các trường hợp:

- Nếu Ti,j = 0: Do Wi,j = d nên (i,j) thoả điều kiện thứ nhất trong (2.14), vậy (i,j)  Zd

- Nếu Ti,j = 1: Do Wi,j = d mà d = 2r-1 = 2r – d nên (i,j) thoả điều kiện thứ hai trong (2.14), vậy (i,j)  Zd

Do đó tập Z2r1 Ø.

Nhận xét 2: Nếu Zd = Ø thì Z -dØ

Chứng minh

Theo (2.14) định nghĩa về tập Zd = {(i,j) | (Wi,,j=d và Ti,j = 0) hoặc (Wi,j=2r-d

và Ti,j=1)}

Do Zd = Ø và theo định nghĩa 2.3.2 ma trận trọng số W luôn thoả mãn điều kiện {Wi,j|i=1..m, j=1..n} = {1,2, …,2r-1}. Vì vậy, phải tồn tại một phần tử (u,v) để (Wu,v = d và Tu,v = 1) hoặc (Wu,v = 2r - d và Tu,v = 0)

Mà 2r - d= - d(mod 2r) = - d.

Do đó, khi Zd = Ø sẽ tồn tại (u,v) để (Wu,v = - d và Tu,v = 0) (2.18) Từ (2.18) và (2.14), ta suy ra khi Zd = Ø thì Z -dØ

Vì h là số tự nhiên đầu tiên thoả mãn điều kiện Zhd Ø, suy ra

Z( h - 1)d = Ø. Theo (2.18) khi Z( h - 1)d = Ø thì Zd-hd Ø, vì vậy phép chọn phần tử

(u,v) trong (2.17) luôn thực hiện được.

Nhận xét 3: Luôn tồn tại h sao cho hd= 2r-1(mod 2r)

Chứng minh.

Trường hợp 1: Nếu d lẻ thì có thể biểu diễn d dưới dạng: d = 2t+1.

Nhân cả 2 vế của biểu thức với 2r-1 ta có:

2r-1.d = 2r-1.2t+2r-1 suy ra 2r-1.d = t.2r+2r-1 = 2r-1 (mod 2r)

Chọn h = 2r-1 ta có hd = 2r-1

Trường hợp 2: Nếu d chẵn và d chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 thì có thể biểu diễn d

dưới dạng: d = 2u(với u ≤ r-1). Xét các khả năng:

+ Nếu u = r-1 thì chọn h = 1 ta có hd =1.2r-1= 2r-1

+ Nếu u < r-1 thì chọn h = 2(r-1)-u ta có hd = 2(r-1)-u.2u = 2r-1

Trường hợp 3: Nếu d chẵn và d chứa cả các thừa số nguyên tố khác 2 thì có thể

biểu diễn d dưới dạng: d = (2t+1)2v (với 1 ≤ v < r-1)

Chọn h = 2(r-1)-v ta có:

hd = 2(r-1)-v (2t+1).2v = (2t+1)2r-1 = t.2r + 2r-1 = 2r-1 (mod 2r)

Chứng minh tính đúng của thuật toán :

Theo nhận xét 2.5.1: để chứng minh tính đúng của thuật toán cần chỉ ra tồn tại h sao cho ZhdØ.

Theo nhận xét 2.5.4 luôn tồn tại h sao cho hd = 2r-1 (mod 2r). Mặt khác theo nhận xét 2.5.3 tập Z2r1 Ø do đó luôn tồn tại h sao cho ZhdØ. Điều đó chứng tỏ thuật toán luôn thực hiện đúng.