•Độ lệch chuẩn (standard deviation) của một biến ngẫu nhiên X là:
σ(X) =pE((X−E(X))2).
• Phương sai (variance) của X, ký hiệu là var(X), chính là bình phương của độ lệch chuẩn của X, tức là bằngE((X−E(X))2.
Ta có:
var(X) =E((X−E(X))2 =E(X2 - 2E(X).X +(E(X))2) =EX2 - 2E(X).E(X)+ (E(X))2) =EX2 - (E(X))2). Vậy
var(X) =EX2−(E(X))2.
Ta dễ dàng kiểm tra rằng:
- Nếu c là hằng số thì var(c) = 0 vàvar(cX) =c2.var(X). - Nếu X và Y độc lập thìvar(X±Y) =var(X) +var(Y).
Ý nghĩa của độ lệch chuẩn là: nó là thước đo độ lệch của các giá trị của X so với giá trị trung bình của nó. Định nghĩa của phương sai cho thấy nó luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0, và bằng 0 khi và chỉ khi X là hằng số hầu khắp mọi nơi, tức là nó không bị lệch đi đâu cả so với giá trị trung bình của nó.
Ví dụ. Nếu X nhận hai giá trị a và −a (a >0), mỗi giá trị với xác suất 500/0, thì giá trị kỳ vọng của X là 0, phương sai của X là a2.500/0+ (−a)2.500/0=a2, và độ lệch chuẩn chính là a. Ví dụ. Biến ngẫu nhiênX có hàm mật độ là
fX(x) = cx3 khi x∈[0,3], 0 khi x /∈[0,3] . Tìm c, tínhE(X)và var(X). Đáp số:c= 81c/4,E(X) = 2,4,var(X) = 0,24.
2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Bài tập. SV được dùng kết quả sau:R+∞ −∞ 1 √ 2πe−x 2 2 dx= 1.
1) Tính phương sai của biến ngẫu nhiênX có phân phối xác suất: siêu bội, nhị thức, hình học, Poisson, chuẩn, mũ, Pareto.
2) Giả sử X là một biến ngẫu nhiên vớiE(X) = 2/3, và có phân bố xác suất liên tục với hàm mật độρX(x)có dạng sau: ρX(x)= ax2+bnếu 0< x <1, và ρX(x) = 0 ở những điểm còn lại. Hãy tính a, b, vàvar(X).
2.3 Các moment của một biến ngẫu nhiên
Nếu X là một biến ngẫu nhiên, và k là một số tự nhiên, thì đại lượngE(Xk)được gọi là moment ( mô men) bậc k của X, và đại lượngE((X−E(X))k) được gọi là moment trung tâm bậc k của X.
Như ta đã thấy, moment bậc 1của X chính là giá trị kỳ vọng của nó, moment trung tâm bậc 1 của X thì luôn bằng 0, moment trung tâm bậc 2 của X chính là phương sai của nó, và nó có thể được biểu diễn qua các moment của X theo công thức:
E((X−E(X))2) =E(X2)−E(X)2
Tương tự như vậy, các moment trung tâm bậc cao hơn của X cũng có thể khai triển dưới dạng đa thức của các moment của X.
2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
•Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với phân phối xác suất như sau
X x1 x2 ... xn ...
P(X=xk) p1 p2 ... pn ... Thì moment bậc k của X được tính theo công thức
E(Xk) =X i
xkipi.
•Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất liên tục với hàm mật độρX(x) thì :
E(Xk) = Z +∞
−∞
Các moment của một biến ngẫu nhiên cho ta các thông tin về dáng điệu của phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đó. Ví dụ, nếu moment trung tâm bậc 2 nhỏ, thì có nghĩa là các giá trị của X nói chung ít bị sai lệch so với giá trị kỳ vọng của nó, hay nói cách khác phần lớn xác suất của phân bổ xác suất của X tập trung trong một khoảng nhỏ xung quanh điểm giá trị kỳ vọng. Ngược lại, nếu moment trung tâm bậc 2 lớn, thì phân bố xác suất của X nói chung sẽ "dàn trải"hơn ra xa điểm giá trị kỳ vọng.
Moment trung tâm bậc 3 của X được gọi là hệ số bất đối xứng (skewness), hay còn có thể gọi là độ xiên của phân bố xác suất của X: Nếu X có phân bố xác suất đối xứng quanh điểm giá trị kỳ vọng (có nghĩa là X và 2E(X)−X có cùng phân bố xác suất), thì
moment trung tâm bậc 3 của nó bằng 0. Nếu như moment trung tâm bậc 3 lớn hơn 0 thì phân bố xác suất của X được gọi là xiên về bên phải, còn nếu moment trung tâm bậc 3 nhỏ hơn 0 thì phân bố xác suất của X được gọi là xiên về bên trái.