•Trường hợpX là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suấtfX(x) thì
E(X) = Z +∞
−∞
xfX(x)dx. Từ định nghĩa ta có vài tính chất như sau
a) Kỳ vọng của một hằnh số c (biến ngẫu nhiên chỉ nhận 1 giá trị) chính là hằng số đó:E(c) =c.
b) Tuyến tính: Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên và a, b là hai hằng số thì:E(aX +bY) =aE(X) +bE(Y).
c) Đơn điệu: Nếu X≥0 thì E(X)≥0. Tổng quát hơn: Nếu X≥Y thìE(X)≥E(Y).
d) Nếug là một hàm số thực vàX có hàm mật độ xác suất fX(x) thì E(g(X)) =R−∞+∞g(x)fX(x)dx.
e) Hai biến ngẫu nhiên X và Y cùng xác định trên một không gian mẫu gọi là độc lập nếu với bất kỳx, y∈R, các sự kiện (X=x) và (Y =y) là độc lập. NếuX vàY độc lập thìE(XY) =E(X)E(Y).
Ví dụ. Trò chơi đề (một trò đánh bạc): trong 100 số đề sẽ chỉ có 1 số thắng, 99 số thua. Thắng thì được 70 lần tiền đặt cọc. Thua thì mất tiền đặt cọc. Nếu đặt cọc T tiền, thì kỳ vọng số tiền nhận được là bao nhiêu? Kỳ vọng lãi (lỗ) là bao nhiêu?
Đáp số: kỳ vọng số tiền nhận được là 990/0×0 + 10/0×70.T = 0,7.T.Kỳ vọng lãi (lỗ) là 0,7.T−T=−0,3.T. Tức là đặt cọc T tiền chơi đề, thì kỳ vọng là bị thua 0,3.T.
Ví dụ. Một doanh nghiệp đầu tư phát triển một sản phẩm mới, xác suất thành công là 300/0. Chi phí đầu tư bỏ ra là 100 nghìn USD. Nếu không thành công thì mất chi phí đầu tư mà không thu về được gì, nhưng nếu thành công thì thu về được 1 triệu USD (trước khi trừ đi chi phí đầu tư). Tính kỳ vọng lợi nhuận từ vụ đầu tư này. Đáp số: Kì vọng lợi nhuận:
2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Ví dụ. Tuổi thọ trung bình của người là biến ngẫu nhiênX có phân bố xác suất mũ với tham sốλ >0với hàm mật độ ρX(x) =
λe−λx khi x >0,
0 khi x≤0 . Tính tuổi thọ trung bình (tức là tínhE(X)). E(X) = Z +∞ −∞ xρX(x)dx= Z 0 −∞ x.0dx+ Z +∞ 0 xλe−λxdx= Z +∞ 0 xλe−λxdx. Đặtt=λx ta có: E(X) = 1 λ Z +∞ 0 te−tdt= 1 λ(−te −t+e−t)|+∞ 0 = 1 λ. Chú ý: HàmΓ(a) =R0+∞xa−1e−xdx(a >0)gọi là hàm Gamma. Người ta tính đượcΓ(a) = (a−1)Γ(a−1), do đó Γ(n) = (n−1)! (n∈N). Hãy dùng hàm Gamma tính tích phân trên.
Bài tập . 1) Tung con xúc xắc 1 lần. GọiX là số chấm xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc. TínhE(X).
2) TínhE(X) vớiX có phân phối xác suất như sau
X 5 6 7 8 9 10 11
P(X=xk) 121 122 123 122 122 121 121
3) Tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiênX có phân phối xác suất: siêu bội, nhị thức, hình học, Poisson, chuẩn, mũ, Pareto.
2. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên2.2 Phương sai