a) Ta nói trên miền WèÂ3 có một trường vectơ F
nếu ứng với mỗi điểm M ẻW, ta có
quy luật để xác định một vectơ F( )M
. Hàm vectơ này được gọi là hàm trường.
( ) x( ) y( ) z( )
F F(M) F x, y,z F x, y,z i F x, y,z j F x, y,z k
đ đ đ đ đ đ
= = = + +
b) Đường dòng của một trường vectơ F
là một đường cong (C) nằm trong miền được xét sao cho tại mỗi điểm M trên đường, F( )M
có phương tiếp xúc với (C). Tập hợp các đường dòng lập nên một họ đường dòng trong trường vectơ.
Hệ phương trình vi phân của đường dòng (C) trong trường F( )M là:
x y z
dx dy dz
F = F = F
c) Thông lượng của một trường vectơ F
qua một mặt định hướng S là: n x y z S S F dS F dydz F dzdx F dxdy F =ũũ =ũũ + + trong đó: Fn =F .n0 là chiếu của F trên pháp tuyến n
tại M(x, y, z), theo phía đ∙ chọn trên S.
d) Hoàn lưu (Lưu số) của trường F
dọc theo một đường cong kín (L):
C = x y z
L
F dx+F dy+F dz
ũ
e) Đive của trường F
là một đại lượng vô hướng: divF = Fx Fy Fz x y z ả ả ả + + ả ả ả + Các tính chất của đive:
div Cđ = 0 ( Cđ là vectơ không đổi cả phương, chiều lẫn độ dài)
div div uổ đFử ỗ ữ ố ứ= u divF Fgrad u đ đ + uuuur (u = u(x, y, z))
+ Theo ngôn ngữ của lý thuyết trường, công thức Ôxtrôgrátxki - Gauxơ:
mang một ý nghĩa cơ học là: Thông lượng của một trường vectơ F
ur
qua một mặt cong kín S (với pháp tuyến chọn hướng ra phía ngoài) bằng tích phân ba lớp của trên miền V giới hạn bởi mặt S.
f) Rôta (vectơ xoáy) của trường F
ur là một vectơ: F ur =
(Cách viết hình thức của tích có hướng, dùng định thức) + Các tính chất của rôta:
(C = const)
(u = u(x, y, z)) + Theo ngôn ngữ của lý thuyết trường, công thức Xtốc:
= =
mang một ý nghĩa cơ học là: Hoàn lưu của trường vectơ F
ur
dọc theo một đường cong kín C bằng thông lượng của F
ur
qua mặt S nào đó có biên là C (Chú ý chiều của C và phía của S phải phù hợp).