trong đó:
S - mặt cong hai phía, trơn từng mảnh;
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) - ba hàm số xác định trên mặt S; n
đ
- vectơ pháp tuyến của S, hướng theo phía đ∙ chọn trên S (người ta gọi S là mặt định hướng).
b) Công thức tính tích phân mặt loại II ( ) ( ) S D R x, y,z dxdy = ± Rộởx, y,j x, y dxdyựỷ ũũ ũũ trong đó:
D- hình chiếu của S lên mặt phẳng tọa độ xOy;
z- phương trình của mặt S, z= j(x, y);
Chọn dấu (+) hay (-) trước tích phân hai lớp tùy theo cos(n, z) dương hay âm. Ta cũng có thể tính tích phân mặt loại II bằng cách đưa về tích phân mặt loại I. Chú ý là tích phân mặt loại II sẽ đổi dấu khi ta đổi phía chọn của mặt S. c) Tích phân mặt loại II trên một mặt S kín có thể tính bằng các cách sau:
+ Chia S thành nhiều mặt cong trơn từng mảnh, sau đó áp dụng tính chất cộng tính. + áp dụng công thức Ôxtrôgrátxki -Gauxơ
S V
P Q R
Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz
x y z ổả ả ả ử + + = ỗ + + ữ ả ả ả ố ứ ũũ ũũũ trong đó:
V - phần không gian bên trong, giới hạn bởi mặt kín S trơn từng mảnh (chọn pháp tuyến S hướng ra phía ngoài);
P, Q, R - những hàm ba biến số x, y, z liên tục trên S cùng với các đạo hàm riêng liên tục trong miền V kể cả biên.
d) Thể tích V của vật thể giới hạn bởi mặt cong kín S được tính theo công thức:
S1 1
V xdydz ydzdx zdxdy 3
= ũũ + +
e) Công thức Xtốc (liên hệ giữa tích phân đường và tích phân mặt)
CPdx Qdy+ +Rdz= Pdx Qdy+ +Rdz= ũ = S Q P R Q P R dxdy dydz dzdx x y y z z x ổả -ả ử +ổả -ả ử +ổả -ả ử ỗ ả ả ữ ỗả ả ữ ỗốả ả ữứ ố ứ ố ứ ũũ trong đó:
P, Q, R - những hàm (của ba biến x, y, z) liên tục cùng với các đạo hàm riêng liên tục trên một mặt định hướng S, giới hạn bởi đường cong kín C.
Trong công thức này, cần chọn hướng mặt cong S và chiều trên C sao cho khi ta đứng theo chiều của vectơ pháp của S phải thấy chiều C ngược với chiều kim đồng hồ (hình 1.2.7).
S
C
nS
Hình 1.2.7
Công thức Xtốc sẽ trở thành công thức Gơrin nếu C là một đường cong phẳng, kín trong mặt phẳng xOy và S là một miền phẳng giới hạn bởi C.
Chú ý cho các phần 1.2.4.4; 1.2.4.5; 1.2.4.6: Các tích phân hai lớp , ba lớp, tích
phân đường, tích phân mặt đều có các tính chất giống như tích phân xác định (còn gọi là tích phân một lớp). Đó là các tính chất: Cộng tính, Tuyến tính và Bảo toàn thứ tự.
1.2.4.7. Lý thuyết trường