a) Cộng hai ma trận cùng cấp
Cho A = (aij)m,n và B = (bij)m,n. Ma trận C được gọi là tổng hai ma trận A và B
Û A + B = C với:
C = (cij)m,n = (aij + bij)m,n.
Phép cộng của ma trận cùng cấp có các tính chất: giao hoán, kết hợp.
Phương trình A + X = B, trong đó A và B là hai ma trận cùng cấp đ∙ biết bao giờ
cũng có nghiệm: X=(x )ij m,n =(bij -a )ij m,n = -B A (Ma trận X được gọi là hiệu của
B và A).
b) Nhân ma trận với một số
Cho A (a )= ij m,n và một số lẻÂ nào đó, khi đó: ( )ij m,n
A a
l = l
Các tính chất của phép nhân ma trận với một số:
1) lA = Al;
2) (lm)A = l(mA) = m(lA); 3) l(A + B) = lA + lB; 4) (l + m)A = lA + mA;
5) l = lA n A
(tính chất 5 chỉ được áp dụng cho ma trận vuông cấp n). c) Nhân hai ma trận
Cho A=( )aij m,n và B=( )bij n,p có số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai (Khi đó, ta gọi A và B là hai ma trận nhân được). Tích hai ma trận đó sẽ là một ma trận được xác định như sau:
ij m,p AB= =C (c ) với i 1, 2, ..., m j 1, 2, ..., p = ỡ ớ = ợ n ij i1 1j i2 2j in nj ik kj k 1 c a b a b a b a b = = + + ììì + =ồ
Các tính chất của phép nhân hai ma trận:
1) Không giao hoán, tức là nói chung: ABạBA;
2) Kết hợp (đối với phép nhân với một số):
l(AB) = (lA)B với l là một số thực bất kỳ;
3) Kết hợp (đối với phép nhân giữa các ma trận nhân được): (AB)C = A(BC) = ABC ;
4) Phân phối đối với các phép cộng trừ hai ma trận: (A ±B)C = AC ±BC;
C(A ±B) = CA ± CB;
5) AE = A;
EB = B,
với: A, B, E là các ma trận vuông cùng cấp; E là ma trận đơn vị;
(Tính chất 5 còn có thể mở rộng với A và B không phải là ma trận vuông, còn E là ma trận vuông đơn vị, nhân được bên trái với A (hoặc bên phải với B)).
6) ( )c c c
AB =B A
(Chuyển vị của một tích hai ma trận nhân được bằng tích các chuyển vị của hai ma trận ấy tính theo thứ tự ngược lại).
Chú ý: Từ AB = o nói chung không suy ra A = o hoặc B = o được. Từ AB = AC nói chung không suy ra B = C được.