Giả sử các tài sản cơ sở ở đây gồm một cổ phiếu có rủi ro với giá là St tại thời điểm t và một tài khoản ngân hàng không rủi ro có giá là Bt tại thời điểm t.
Gọi Wt là chuyển động Brown tiêu chuẩn trên một không gian xác suất
(Ω,F, P) và (Ft; 0 ≤t ≤ T) là bộ lọc sinh ra bởi chuyển động Brown Wt. Gọi rt là lãi suất giao ngay tại thời điểm t và giả sử thêm rằng rt là một quá trình ngẫu nhiên không âm thích nghi với bộ lọc (Ft). Số tiền Bt của tài khoản ngân hàng được xác định bởi
dBt = rtBtdt,0≤ t ≤T (3.31)
Mặt khác, giả sử quá trình giá chứng khoán (St), xét dưới độ đo xác suất P đã cho, thỏa mãn một phương trình vi phân ngẫu nhiên như sau:
dS = (µtS −δt)dt+σtSdWt (3.32) trong đóσt là một quá trình ngẫu nhiên dương, thích nghi với bộ lọc (Ft)
và thỏa mãn điều kiện
Z T
0
Eσt2dt < ∞
Hệ số µt là một quá trình ngẫu nhiên, biểu thị lợi suất trung bình và không đóng vai trò gì trong việc định giá các sản phẩm phái sinh.
Ta cũng giả thiết rằng, phương trình (3.32) có một lời giải St không âm và bình phương khả tích, tức là RΩSt2(ω)dP < ∞
Ta xét một quyền phụ thuộc, hay còn gọi là một tài sản phái sinh, viết trên cổ phiếu S với hàm thu hoạch là h(x) và với thời điểm đáo hạn là T. Ký hiệu C(t) là giá của tài sản phái sinh tại thời điểm t.
Giả sử rằng tài sản phái sinh này được đáp ứng bởi một chiến lược tự tài trợ gồm việc mua bán θt đơn vị cổ phiếu cơ sở và b(t) đơn vị tiền trong ngân hàng, như vậy:
C(t) =b(t)Bt +θ(t)St = C(0) + Z t 0 b(u)dBu+ Z t 0 θ(u)dG(u) (3.33) trong đó G(t) = St −Rt
0 δudu,0 ≤ t ≤ T và C(T) = h(ST) tại thời điểm đáo hạn T.
Từ (3.31) ta suy ra rằng, xét dưới xác suất P, ta có:
dG = S(µtdt+σtdW),0≤ t≤ T (3.34) Bây giờ ta định nghĩa một quá trình ( ˜Wt) như sau:
Khi đó ta có:
dG = S(rtdt+σtdW˜t) (3.36) Gọi Q là một độ đo xác suất sao cho dưới độ đo này thì W˜t trở thành
chuyển động Brown tiêu chuẩn. Sự tồn tại của một độ đo như vậy đảm bảo bởi định lý Girsanov.
Xem tài khoản Bt là đơn vị chuẩn, thì tỉ lệ S˜t = St
Bt cho biết giá chứng khoán St tại thời điểm t bằng bao nhiêu lần giá trị của đơn vị chuẩn tại thời điểm ấy. Theo công thức Ito thì từ (3.31) và (3.35) tính ra được:
˜
S = −δ˜tdt+σtSd˜ W˜ (3.37) trong đó δ˜t = δt
Bt
Từ (3.37) suy ra rằng, xét dưới xác suất mới Q, thì quá trình S˜ sẽ là một martingale nếu và chỉ nếu δ˜t = 0 hay δt = 0 tức là nếu và chỉ nếu cổ
phiếu không chia cổ tức.
Bây giờ, từ (3.32) và (3.33) ta có:
dC = rtCdt+θ(t)σtSdW ,˜ 0 ≤t ≤ T (3.38) Theo công thức Ito, ta được
˜ C(t) = ˜C(0) + Z t 0 θ(u)σ(u) ˜SudW˜u (3.39) trong đó C˜(t) = C(t)
Bt . Công thức (3.39) chứng tỏ rằng quá trình giá
( ˜C(t)) luôn luôn là một martingale đối với (Q,Ft). Chú ý rằng, tại thời điểm đáo hạn T thì ta có:
C(T) =h(ST)
Vậy do tính chất martingale của C(t)
Bt ta được Ct = BtEQ[h(ST)
trong đó EQ[.|Ft là ký hiệu xác suất có điều kiện đối với σ-trường Ft và xét dưới xác suất Q.
Nói tóm lại, trong bài toán này, để tính giá C(t) của một Quyền phụ thuộc (hay tài sản phái sinh), ta phải:
i. Tìm một độ đo xác suất Q sao cho, xét dưới độ đo ấy thì quá trình
˜
Wt xác định bởi hệ thức (3.35) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. ii. Tính giá trị kỳ vọng (3.40) dưới xác suất Q
Ta sẽ tìm Q bằng cách áp dụng định lý Girsanov. Với một quá trình u(t) =u(t, ω)) thỏa mãn điều kiện
E[exp(1 2 Z T 0 u2sds)] < ∞ ta đặt YT = exp( Z T 0 utdt− 1 2 Z T 0 u2tdt)
và định nghĩa một độ đo xác suất mới là Q bởi
Q(A) = E[1AYT], A ∈ FT (3.41) trong đó 1A là hàm chỉ tiêu của tập A. Ta nhận thấy Q tương đương với P, bởi vì YT > 0.
Theo định lý Girsanov, thì quá trình W˜ xác định bởi ˜
Wt = Wt−
Z t
0
usds,0≤ t≤ T
là một chuyển động Brown tiêu chuẩn xét dưới xác suất Q. Theo (3.35) ta đã có một quá trình W˜ xác định như thế: ˜ Wt = Wt − Z t 0 µs −rs σs ds với ut = µt −rt σt
Ta đã hoàn tất bước (i). Đối với bước (ii), ta chỉ còn phải tính kỳ vọng có điều kiện trong công thức (3.40). Ta sẽ khảo sát quá trình giá (St) dưới xác suất mới Q. Thay (3.35) vào (3.32):
dS = (rtS −δt)dt+ σtSdW˜t,0 ≤ t≤ T
với W˜t là chuyển động Brown tiêu chuẩn dưới xác suất mới Q.
Hệ thức trên cho thấy lợi suất trung bình rt của cổ phiếu St xét dưới xác suất Q vẫn bằng với lợi suất trung bình của tài sản không rủi ro theo hệ thức (3.29). Do đó, xét dưới xác suất mới Q, hai tải sản cơ sở có cùng một lợi suất trung bình, nhưng khác nhau về độ biến động.
Việc tính St thực chất là việc giải một phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính đối với S. Trong trường hợp r và σ đều là các hằng số dương, người ta có thể tìm được St = S0exp[(r − σ 2 2 )t+σ ˜ Wt],0≤ t ≤T
Do đó giá cổ phiếu ST lúc đáo hạn là một biến ngẫu nhiên tuân theo luật loga-chuẩn , xét dưới xác suất Q.
Phụ lục
1. Quyền chọn ngoại lai
1.1. Các quyền chọn ngoại lai (Exotic Options)
Các mô hình này được Geske (1979), Hodges và Selby (1987) và Ru- binstein đưa ra. Đây là các quyền chọn trong đó lấy các quyền chọn khác làm cơ sở.
(a) Quyền chọn mua xây dựng trên quyền chọn mua (Call on call)
Gọi X1 là giá thực thi của quyền chọn mua dùng làm tài sản cơ sở, X2 là giá thực thi của quyền chọn mua xây dựng trên quyền chọn mua trên và gọi CGBS(S, X1, T2) là công thức quyền chọn mua theo mô hình Black - Scholes mở rộng với giá thực thi là X1 và thời gian đáo hạn là T2. Thu hoạch sẽ là
max[CGBS(S, X1, T2)−X2,0]
(b) Quyền chọn bán xây dựng trên quyền chọn mua (Put on call) Thu hoạch sẽ là
max[X2 −CGBS(S, X1, T2),0]
(c) Quyền chọn mua xây dựng trên quyền chọn bán (Call on put) Thu hoạch sẽ là
max[PGBS(S, X1, T2)−X2,0]
trong đó PGBS là giá quyền chọn bán theo công thức Black - Scholes mở rộng với giá thực thi là X1 và đáo hạn tại T2.
(d) Quyền chọn bán xây dựng trên quyền chọn bán (Put on put) Thu hoạch sẽ là
max[X2 −PGBS(S, X1, T2),0]
1.2. Quyền chọn với rào cản (Barriers Options)
Giả sử ta có một quyền chọn xây dựng trên cổ phiếu St tuân theo mô hình Black - Scholes, nhưng giá ban đầu S0 là bị chặn cả trên lẫn dưới: L < S0 < H. Các cận trên H và cận dưới L được gọi là các rào cản của quyền chọn.
Cho g : R → R là một hàm tất định.
StM = max0≤s≤tSt (giá cổ phiếu lớn nhất trong khoảng thời gian [0, t]) Stm = min0≤s≤tSt (giá cổ phiếu nhỏ nhất trong khoảng thời gian [0, t]) Ta xây dựng một hàm f như sau:
f(ST, StM, Stm) =
g(ST) nếu L < STm và STM < H
0 nếu L > STm hoặc STM > H
Ta sẽ dùng hàm này làm thu hoạch của quyền chọn và đó sẽ là một quyền chọn mua với rào cản nếu g(ST) = (ST −X)+ và sẽ là một quyền chọn bán với rào cản nếu g(ST) = (X −ST)+, trong đó X là giá thực thi. 1.3. Quyền chọn "Nhìn lại" (Lookbacks)
Xét một quyền chọn mà cho đến lúc đáo hạn T, ta nhìn lại cả quá trình diễn biến của t từ 0 đến T và tìm xem giá trị nhỏ nhất min0≤t≤TSt và giá trị lớn nhất max0≤t≤TSt là bao nhiêu.
Khi đó
1. Nếu lấy thu hoạch là ST −min0≤t≤TSt ta có quyền chọn mua nhìn lại.
2. Nếu lấy thu hoạch là max0≤t≤TSt − ST ta có quyền chọn bán nhìn lại.
Nhận xét: Với ký hiệu StM = max0≤s≤tSt và Stm = min0≤s≤tSt thì ta có Stm < ST < StM. Ta đặt ST
STM = λ(0 < λ ≤ 1) và ST
STm = µ(0 < µ ≤ 1) thì thu hoạch quyền chọn mua nhìn lại ở trên sẽ là [λSTM −ST]+ và thu hoạch quyền chọn bán nhìn lại sẽ là [ST −µSTm]+.
1.4. Xây dựng quyền chọn trên lãi suất (Interest rate option) Một quyền chọn mua xây dựng trên lãi suất là một hợp đồng quyền chọn mà người giữ hợp đồng có quyền nhận được một khoản tiền lãi dựa trên một lãi suất biến đổi và sau đó trả một khoản tiền lãi khác dựa trên một lãi suất cố định. Nếu quyền chọn được thực thi, nhà đầu tư nào bán quyền chọn mua lãi suất sẽ phải trả cho người giữ hợp đồng khoản tiền bằng giá thực thi.
Quyền chọn mua lãi suất có thể được dùng bởi một nhà đầu tư muốn phòng hộ cho một khoản nợ của mình trong đó phải trả nợ theo một lãi suất thả nổi. Bằng cách mua quyền chọn mua lãi suất, một nhà đầu tư có thể dự đoán được luồng tiền sẽ được thanh toán khi lãi suất được trả.
2. Các quyền chọn tổng hợp
2.1. Quyền chọn kiểu châu Á
Quyền chọn châu Á là một quyền chọn được xác định bởi giá của một tài sản cơ sởS tại một số thời điểm cố địnhT1, T2, ..., Tn : ST1, STn, ..., STn;Ti ≤
T.
Cho f là một hàm tất định nào đó, thì thu hoạch AT của một quyền chọn châu Á tại một thời điểm đáo hạn T sẽ là
AT = f(ST1 +STn +...+STn
2 )
Diễn biến giá tài sản của cơ sở S có thể theo mô hình Black - Scholes hoặc không.
2.2. Quyền chọn Quanto
Giả sử chúng ta ở Việt Nam, dùng tiền Việt Nam nhưng mua xăng dầu ở Singapore và phải trả bằng đô la Singapore. Vậy có hai nguồn ngẫu nhiên ở đây: Nguồn thứ nhất do sự biến động giá xăng dầu tại thị trường Singapore, nguồn thứ hai do sự biến động của tỷ giá hối đoái giữa VND và đô la Singapore.
Các hợp đồng tài chính tính theo các loại tiền khác nhau được gọi là các hợp đồng Quanto.
Gọi St là giá một loại chứng khoán ở Singapore tính theo tiền đô la Singapore và Ct và giá một đô la Singapore tính theo VND. Giả sử St và Ct diễn biến theo các quy trình:
St = S0exp(µt+σ1W1(t))
Ct = C0exp(νt+ρσ2W1(t) + ρσ2W2(t))
Trong đó W1(t) và W2(t) là hai chuyển động Brown độc lập, 0≤ ρ ≤1
và ρ= p1−ρ2, µ và ν là hai hằng số, σ1 và σ2 là hai hằng số dương. Ta có thể xây dựng được các quyền chọn dựa trên hai "tài sản cơ sở" là: giá chứng khoán St tại Singapore và tỷ giá giữa đồng đô la Singapore và đồng Việt Nam, tuân theo hai công thức trên. Một hợp đồng quyền chọn như thế được gọi là một quyền chọn Quanto.
2.3. Quyền chọn theo giỏ (Basket Option)
Một giỏ ở đây là một tài sản tổng hợp gồm một số cổ phiếu với những khối lượng khác nhau.
Gọi Pt là giá tại thời điểm t của một giỏ gồm α1 cổ phiếu S1, α2 cổ phiếu S2, ..., αn cổ phiếu Sn. Vậy
Pt = α1S1(t) +α2S2(t) +...+αnSn(t)
Một quyền chọn xây dựng trên một giỏ làm tài sản cơ bản được gọi là một quyền chọn theo giỏ.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2010), Các phương pháp Toán học trong Tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Trần Trọng Nguyên (2010), Cơ sở toán tài chính, NXB Khoa học và Kỹ thuật
[3] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn Toán học Tài chính, NXB Khoa học và Kỹ thuật.
[4] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Giáo dục.
[5] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài chính căn bản, NXB Văn hóa Thông tin.
[6] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà nội.
[7] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009),Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục.
[8] Dieter Sondermann (2006), Lecture Notes in Economics and Mathe- matical Systems, Springer.
[9] Michael Meyer (2001), Continuous Stochastic Calculus with Applica- tions to Finance, Chapman and Hall/CRC.
[10] Morters and Peres (2010), Brownian Motion, Cambridge.
[11] Jaksa Cvitanic, Fernando Zapatero (2004), Introduction to the eco- nomics and mathematics financial markets, The MIT Press.
[12] Jose Santiago Fajardo,Equivalent Martingale Measures and Lévy Pro- cesses, IBMEC Business School, http://www.scielo.br.