Định nghĩa 2.15. Ta nói rằng phái sinh X được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường M nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X, tức là nếu ta có hệ thức
Vt(φ) = Vt(ψ),∀t≤ T
với hai phương án đầu tư bất kỳ φ và ψ thuộc về ΦX. Trong trường hợp này quá trình Vt(φ) được gọi là quá trình sở hữu của X trong M.
Định lý 2.1. Giả sử M là một thị trường không có độ chênh thị giá. Khi đó mọi tài sản phái sinh đạt được X đều được đáp ứng duy nhất trong M.
Chứng minh. Cho M là một thị trường không có độ chênh thị giá. Giả sử phản chứng rằng hợp đồng phái sinh X có hai phương án đáp ứng φ và ψ sao cho với một t nào đó < T, ta có:
Vu(φ) =Vu(ψ) với mọi u < t ,và Vt(φ) 6= Vt(ψ).
Đầu tiên, giả sử t = 0 để cho V0(φ) > V0(ψ) với hai phương án đáp ứng φ và ψ nào đó. Cũng giả sử rằng thị trường M có k chứng khoán cơ sở S1, ..., Sk và chứng khoán cuối cùng được ký hiệu là B mà giá trị tại t là Bt = Stk và tại t= 0 là B0 = S0k.
Xét một phương án đầu tư ς được xác định như sau: ςu = ψu−φu+ (0, ...,0, v0B0−1)1A,
trong đó v0 = V0(φ)−V0(ψ) > 0 và 1A là hàm chỉ tiêu của một biến cố A = {ω :v0(ω) > 0} nào đó. Khi đó thì V0(ς) = 0 và
VT(ς) = v0B0−1, BT > 0 với mọi ω, cho nên ς là một cơ hội có độ chênh thị giá.
Bây giờ giả sử t > 0. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng P(A) > 0 với A là biến cố ngẫu nhiên sau:
A = {ω : Vt(φ) > Vt(ψ)}
Ký hiệu ξ là biến ngẫu nhiên xác định bởi ξ = Vt(φ)−Vt(ψ)
Xét phương án đầu tư sau đây:
ηu = φu−ψu∀u < tηu = (φu−ψu)1Ac + (0, ...,0, ξBt−1)1Avớiu ≥t, Ta thấy, với u ≥ t, nếu biến cố A xảy ra thì cả hai phương án đều là thanh khoản và đều đầu tư vào tài sản cơ sở thứ k.
Rõ ràng rằng η là một phương án đầu tư tự tài trợ và V0(η) = 0. Hơn nữa, giá trị đáo hạn VT(η) của quá trình sở hữu là
VT(η) =ξB−1BT1A. Cuối cùng ta thấy rằng
VT(η) ≥0 và P{VT(η) > 0} = P(A) > 0
Vậy η là một cơ hội có độ chênh thị giá. Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng M là một thị trường không có độ chênh thị giá. Định lý được chứng minh xong.
Chương 3
ĐỊNH GIÁ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CHÊNH THỊ GIÁ
Chương này nêu rõ cách vận dụng khái niệm độ chênh thị giá để định giá một tài sản tài chính, đặc biệt là định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu theo mô hình Black - Scholes. Nói rằng định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá thực chất là tính giá trên cơ sở giả thiết thị trường không có độ chênh thị giá
3.1 Độ đo xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale tương đương
Định nghĩa 3.1. (Độ đo xác suất rủi ro trung tính)
Một độ đo xác suất Q trên (Ω,F) được gọi là một xác suất rủi ro trung tính nếu
i. Qtương đương với P, có nghĩa làQ(A) = 0 nếu và chỉ nếuP(A) = 0, với A ∈ F.
ii. Hầu chắc chắn ta có
EQ[ St
β(t)|Fs] = Ss
β(s),∀0≤ s ≤ t≤ T (3.1)
trong đó EQ là ký hiệu kỳ vọng lấy theo xác xuất Q, còn EQ[.|Fs] là kỳ vọng có điều kiện đối với Fs và theo xác suất Q.
Định lý 3.1. (Định lý cơ bản định giá tài sản)
Một thị trường là không có độ chênh thị giá (AAO) nếu và chỉ nếu tồn tại một xác suất rủi ro trung tính Q (hay độ đo martingale Q).
Sau đây ta sẽ đưa ra các ví dụ để làm rõ ứng dụng của độ đo martingale và nguyên lý AAO vào việc định giá tài sản:
Giả sử Z là một biến ngẫu nhiên với E(Z) = 1 và Z > 0hầu chắc chắn trên (Ω,F, P). Có thể định nghĩa: ˜ P(A) = Z A Z(ω)dP(ω), A ∈ F
ta gọi Z là đạo hàm Radon - Nikodym của P˜ đối với P, ký hiệu là:
Z = dtildeP
dP .
Định nghĩa 3.2. Nếu Z là đạo hàm Radon - Nikodym của P˜ đối với P
thì Zt = E[Z|Ft],0 ≤ t ≤ T là quá trình đạo hàm Radon - Nikodym đối với Ft
Bổ đề 3.1: Quá trình đạo hàm Radon - Nikodym là một martingale đối với Ft
Chứng minh.
E[Zt|Fs] = E[E[Z|Ft]|Fs] = E[Z|Fs] = Zs
Bổ đề 3.2: Cho Y là một biến ngẫu nhiên Ft đo được, với 0 ≤ s≤ t khi đó:
˜
E[Y|Fs] = 1
ZsE[Y Zt|Fs]
Định lý 3.2. Trên (Ω,F, P) với Wt là một chuyển động Brown và Ft = FW
t . Cho Θt là một quá trình thích nghi với 0 ≤ t≤ T, ta định nghĩa:
˜
Wt = Wt +Rt
Khi đó tồn tại Zt dưới dạng hiện xác định P˜ mà E(ZT) = 1 và dưới P˜ thì
quá trình (Itô) W˜t là một chuyển động Brown đối với FW t .
Quá trình giá của chúng ta có dạng:
dSt = µtStdt+ σtStdWt
Lãi suất không rủi ro có thể được cho dưới dạng một quá trình ngẫu nhiên rt và ta có được nhân tố chiết khấu: Dt = exp(−Rt
0 rsds)
Quá trình giá chiết khấu có biến phân bậc 2 bằng 0, vì vây: DtSt = S0exp( Z t 0 σsdWs+ Z t 0 (µs −rs− 1 2σ 2 s)ds)
Dưới dạng vi phân, quá trình giá chiết khấu là
d(DtSt) = S0σtDtSt(Θtdt+dWt),Θt = µt −rt σt
Sử dụng định lý Girsanov với Θ biến đổi thành P˜ thì:
d(DtSt) = σtDtStdW˜t
Quá trình giá chiết khấu là một martingale, từ đó ta có: khoản chi chiết khấu DtVt cũng là một martingale.
Lời giải cho phương trình vi phân của ta là St = S0exp( Z t 0 σsdW˜s + Z t 0 rs − 1 2σ 2 sds)
tính toán giá quyền chọn mua từ đẳng thức martingale f(0, S0) = ˜E[e−rT(ST −K)+|F0]
lấy tích phân trực tiếp, ta thu được Black - Scholes
Định lý 3.3. (Biểu diễn Martingale)
Trong không gian (Ω,F, P) với Wt và Ft với 0 ≤ t ≤ T, cho Mt là một martingale đối với Ft duy nhất đáp ứng quá trình Γt mà
Mt = M0 +
Z t
0
Ta muốn sự tồn tại của Ft đáp ứng Γ˜ cho martingale M˜ dưới P˜ tức là: ˜ Mt = ˜M0 + Z t 0 ˜ ΓsdW˜s
Chuyển thành độ đo rủi ro trung tính, làm cho DtVt là một martingale DtVt = V0 +
Z t
0
˜
ΓsdW˜s,0 ≤t ≤ T
Mặt khác ta muốn quá trình đầu tư Xt phải là tự tài trợ dXt = ΛtdSt +rt(Xt −ΛSt)dt
trong đó ta giữ Λt cổ phần của chứng khoán và đầu tư (hoặc vay) với lãi suất rt với X0 tài sản ban đầu.
Viết lại điều này dưới P˜ và có được
DtXt = X0 +
Z t
0
∆sσsDsSsdW s,˜ 0≤ t ≤T
Tính toán điều này với các khẳng định trước
DtVt = V0 + Z t 0 ˜ ΓsdW˜s,0 ≤t ≤ T ta phải chọn Λt = ˜ Γt σtDtSt,0 ≤ t≤ T .
Bây giờ ta sẽ giải thích rõ hơn về ý tưởng chính của phương pháp độ chênh thị giá:
Giả sử Vt là giá của một phương án đầu tư tại một thời điểm t nhằm thực hiện một hợp đồng phái sinh kiểu châu Âu có giá trị đáo hạn làX. Đó là một quá trình ngẫu nhiên xét trên một không gian có lọc(Ω,F,(Ft),0≤
t ≤ T), P), trong đó (Ft) là luồng thông tin thị trường với F0 = {Ω,∅}
và P là xác suất ban đầu. Giả sử thêm rằng thị trường không có cơ hội có độ chênh thị giá hay nói cách khác thị trường thỏa mãn nguyên lý AAO.
Nói chung, dưới độ đo ban đầu P thì (Vt) không phải là một martingale đối với Ft. Người ta đi tìm một độ đo xác suất mới Q và một hệ số tất định k(t) sao cho:
a) Q tương đương với độ đo xác suất cũ P
b) Dưới độ đo Q thì quá trình V˜t = k(t)Vt là một martingale đối với
luồng thông tin thị trường Ft, tức là
EQ( ˜Vt|Fs) = ˜Vs,∀s ≤ t (3.2) với EQ là ký hiệu kỳ vọng lấy theo độ đo xác suất mới Q. Nếu ta chọn thời điểm s = 0 và t = T thì hệ thức trên cho ta:
EQ( ˜VT|F0) = ˜V0 (3.3) do F0 = {Ω,∅} nên EQ(.|F0) =EQ(.), tức là kỳ vọng có điều kiện đối với F0 cũng chính là kỳ vọng thường. Vậy ta có:
EQ( ˜VT) = ˜V0 (3.4) hay
EQ(k(T)VT) = k(0)V0 (3.5) Vì k(t) là một hàm tất định nên ta có thể rút được V0 bằng cách chia cả hai vế cho k(0):
V0 = k(T)
k(0)EQ(VT) (3.6)
Vì ta giả thiết rằng nguyên lý AAO được thỏa mãn nên theo định lý 2.1, tồn tại một phương án đáp ứng φ với giá Vt = Vt(φ) sao cho VT = XT(=X). Thay vào biểu thức (3.6)
V0 = k(T)
Rõ ràng từ giá trị mong muốn X của hợp đồng, ta đã tính toán được vốn đầu tư ban đầu V0. Hơn nữa, với suy luận tương tự như trên, ta lại nhận được biểu thức xác định giá của hợp đồng phái sinh tại một thời điểm t bất kỳ 0 ≤t ≤ T
Vt = k(T)
k(t)EQ(XT) (3.8) Hệ số k(t) được gọi là hệ số chiết khấu hay hệ số tính lùi (discounted coeficient). Nhờ có hệ số này mà ta có thể tính lùi giá của tài sản từ thời điểm đáo hạn T về giá tại các thời điểm trước đó. Trong trường hợp tổng quát, k(t) không nhất thiết phải là tất định mà còn có thể là một quá trình ngẫu nhiên. Việc tính toán khá phức tạp vì vậy ở đây ta chỉ nêu ra biểu thức của giá tính lùi Vt như sau:
Vt = EQ[k(T, ω)
k(t, ω)XT|Ft] (3.9)