Định nghĩa 2.6. Một phương án đầu tư (hay một chiến lược đầu tư) là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng số nào đấy. Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là: S1(t), S2(t), ..., Sn(t). Một phương án dầu tư là một cách chọn α1(t) chứng khoán S1,..., αn(t) chứng khoán Sn tại thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị phương án ấy tại thời điểm
t, ký hiệu bởi Vα(t) được xác định là:
Vα(t) = α1(t)S1(t) +...+αn(t)Sn(t) = n
X
i=1
αi(t)Si(t)
Ta có thể ký hiệu một phương án đầu tư là(α, S), trong đó α = (α1(t), ..., αn(t))
là các hàm số tất định, còn S = (S1(t), S2(t), ..., Sn(t)) là các quá trình ngẫu nhiên. Hiển nhiên giá của một phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên.
Định nghĩa 2.7. Một phương án đầu tư (α, S) được gọi là phương án bán đối với chứng khoán Si(i = 1, ..., n) tại thời điểm t nếu αi(t) > 0 và được gọi là phương án mua đối với chứng khoán ấy nếu αi(t) < 0. Giá của chứng khoán St tại thời điểm t được ký hiệu là Si(t).
Định nghĩa 2.8. Cân đối lại và tự tài trợ:
(i) Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là điều chỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán Si(1 ≤ i ≤ n). Điều đó cũng có nghĩa là thay đổi các trọng số của chúng từ α1(t), ..., αn(t)
sang β1(t), ..., βn(t)
(ii) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức là:
α1(t)S1(t) +...+αn(t)Sn(t) = β1(t)S1(t) +...+βn(t)Sn(t) (2.1)
thì ta gọi sự cân đối đó là sự cân đối tự tài trợ (self - financing). Vậy một sự điều chỉnh tự tài trợ tại một thời điểm t của một phương án đầu tư không là tăng hoặc giảm vốn đầu tư:
(a) Hệ thức (2.1) có thể viết lại thành
n
X
i=1
[βi(t)−αi(t)]Si(t) = 0 (2.2)
Điều đó có nghĩa là, với phương án đầu tư tự tài trợ, thì muốn tăng đầu tư vào một số chứng khoán nào đó thì phải giảm đầu tư vào các chứng khoán khác. (b) Đặt βi(t)−αi(t) = ∆αi(t) thì (2.2) trở thành n X i=1 Si(t)∆αi(t) = 0
hay viết dưới dạng vi phân:
n X i=1 Si(t)dαi(t) = 0 (2.3) nếu αi(t) là các hàm khả vi. Mặt khác, do Vα(t) =Pn i=1αi(t)Si(t) với αi(t) là các hàm số tất định, ta có vi phân của Vα(t) là dVα(t) = n X i=1 αi(t)dSi(t) + n X i=1 Si(t)dαi(t) (2.4) Kết hợp (2.3) và (2.4) ta có thể kết luận rằng:
Một phương án đầu tư (α, S) là một phương án tự tài trợ nếu và chỉ nếu
dVα(t) = n
X
i=1