Nội dung đƣờng trũn đó đƣợc học sinh tiếp xỳc đến từ cấp học trung học cơ sở. Vỡ vậy cỏc trƣờng hợp thiết kế chủ yếu tập trung vào rốn luyện cho học sinh cỏc kỹ năng biến đổi phƣơng trỡnh, viết đƣợc phƣơng trỡnh tổng quỏt của đƣờng trũn, củng cố kiến thức cơ bản và khai thỏc để vận dụng vào những dạng bài tập cơ bản, nõng cao.
2.2.2. Tổ chức thảo luận theo 4 bước
2.2.2.1. Rốn luyện kỹ năng viết phương trỡnh tổng quỏt của đường trũn.
a) Chọn nội dung: Giải cỏc bài tập về phƣơng trỡnh tổng quỏt của đƣờng trũn. Rốn luyện kỹ năng ập phƣơng trỡnh tổng quỏt.
PHIẾU THẢO LUẬN SỐ 1 Viết phƣơng trỡnh đƣờng trũn:
a) Đƣờng kớnh AB với A(3 ; 1) và B(2 ; - 2) .
b) Cú tõm I(1 ; - 2) và tiếp xỳc với đƣờng thẳng d: x + y – 2 = 0 c) Cú bỏn kớnh 5, tõm thuộc Ox và qua A(2 ; 4) .
d) Cú tõm I(2 ; - 1) và tiếp xỳc ngoài với đƣờng trũn: (x – 5)2 + (y – 3)2 = 9 e) Tiếp xỳc với hai trục và cú tõm trờn đƣờng thẳng ∆: 2x – y – 3 = 0 c) Hỡnh thành và rốn luyện kỹ năng thảo luận nhúm cho học sinh.
Bước 1: Tỡm hiểu vấn đề sẽ thảo luận:
Giỏo viờn phỏt phiếu học tập cho học sinh đồng thời yờu cầu học sinh khụng đƣợc thảo luận ngay mà bản thõn mỗi học sinh phải tự nghiờn cứu phiếu học tập, viết ý kiến của mỡnh vào phiếu học tập. Trong quỏ trỡnh đú nếu giỏo viờn thấy cần thiết thỡ đƣa ra cỏc cõu hỏi gợi ý.
Dự kiến cỏc cõu hỏi gợi ý:
- Phiếu học tập cho biết điều gỡ? Yờu cầu gỡ?
- Phƣơng trỡnh tổng quỏt của cỏc đƣờng cú dạng nhƣ thế nào?
- Tỡm tọa độ (a ; b) của tõm và tớnh bỏn kớnh R, phƣơng trỡnh đƣờng trũn cần tỡm là: (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
- Tỡm a, b, c, phƣơng trỡnh đƣờng trũn cần tỡm là : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
Bước 2: Trỡnh bày và lắng nghe:
Mời một học sinh trong nhúm trỡnh bày kết quả của mỡnh. Khi trỡnh bày cần núi rừ cỏch àm, hƣớng đi của bài. Những học sinh trong nhúm chỳ ý lắng nghe, ghi lại những ý kiến, xem xột và dự kiến những cõu hỏi sẽ hỏi bạn.
Cõu hỏi đặt ra à: Cơ sở nào để giải đƣợc cỏc bài tập trờn? Cỏc thành viờn trong nhúm đƣa ra cõu hỏi mà mỡnh đó chuẩn bị sẵn để ngƣời trỡnh bày sẵn sàng trả lời. Xin ý kiến của cả nhúm để thống nhất ý kiến. Nhúm trƣởng trỡnh bày cỏc ý kiến của nhúm cho thành viờn trong nhúm nghe. Cỏc thành viờn trong nhúm trao đổi, tổng hợp lại kết quả theo từng suy nghĩ mà cỏ nhõn thấy đỳng đắn nhất, đồng thời cũng chỉ ra đƣợc hƣớng đi mà nhúm cảm thấy đỳng đắn nhất để giải bài toỏn.
Thống nhất cỏc ý kiến thảo luận nhúm: a) Tớnh độ dài AB => R=AB 2 ( R à bỏn kớnh đƣờng trũn), tõm I à trung điểm AB. => PTĐT b) Bỏn kớnh của đƣờng trũn R = d(I/d) =>PTĐT c) Vỡ tõm I ∈ Ox nờn I = (a; 0). Ta cú : IA= R (a – 2)2 + (4 – 0)2 = 25 (a – 2)2 = 9 a – 2 = 3 hoặc a – 2 = - 3 a = 5 hoặc a = - 1. Phƣơng trỡnh đƣờng trũn cần tỡm : (x – 5)2 + y2 = 25 Hoặc (x + 1)2 + y2= 25
d) Tỡm tọa độ tõm I’ của đƣờng trũn đó cho. Tớnh II’. R à bỏn kớnh đƣờng trũn cần tỡm. R’ à bỏn kớnh đƣờng trũn đó cho.
=> R= II’ – R’. ( Do hai đƣờng trũn tiếp xỳc ngoài nhau). => PTĐT.
e) Vỡ đƣờng trũn cần tỡm tiếp xỳc với hai trục tọa độ, dễ dàng suy ra tõm I của đƣờng trũn thuộc đƣờng thẳng x – y = 0 hoặc x+ y = 0.
=> I (3; 3) hoặc I(1; -1) R= 3 hoặc R= 1. => PTĐT.
Mỗi thành viờn tự xem xột, tổng hợp kết quả để khi cần thiết đều cú thể trỡnh bày kết luận của nhúm, nếu chỗ nào chƣa rừ thỡ trao đổi lại với cả nhúm.
2.2.2.2. Rốn luyện kỹ năng lập phương trỡnh tiếp tuyến với đường trũn.
a) Chọn nội dung: Lập phƣơng trỡnh tiếp tuyến với đƣờng trũn. b) Nhiệm vụ thảo luận.
PHIẾU THẢO LUẬN SỐ 2
a) Viết phƣơng trỡnh tiếp tuyến của đƣờng trũn (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 tại điểm cú hoành độ là - 1.
b) Cho (C): x2 + y2 = 1 và (C’): (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4. Viết phƣơng trỡnh tiếp tuyến chung trong của hai đƣờng trũn.
c) Viết phƣơng trỡnh tiếp tuyến của đƣờng trũn : x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 biết tiếp tuyến qua điểm A(- 1 ; 2).
c) Hỡnh thành và rốn luyện kỹ năng thảo luận nhúm cho học sinh.
Bước 1: Tỡm hiểu vấn đề sẽ thảo luận:
Giỏo viờn phỏt phiếu học tập cho học sinh đồng thời yờu cầu học sinh khụng đƣợc thảo luận ngay mà bản thõn mỗi học sinh phải tự nghiờn cứu phiếu học tập, viết ý kiến của mỡnh vào phiếu học tập. Trong quỏ trỡnh đú nếu giỏo viờn thấy cần thiết thỡ đƣa ra cỏc cõu hỏi gợi ý.
Dự kiến cỏc cõu hỏi gợi ý:
- Phiếu học tập cho biết điều gỡ? Yờu cầu gỡ?
- Nếu biết tiếp điểm là T (x0 ; y0) thỡ phƣơng trỡnh tiếp tuyến à đƣờng thẳng qua (x0 ; y0) và vuụng gúc với IT= (x0 – a ; y0 - b).
- Nếu khụng biết tiếp điểm thỡ dựng điều kiện sau để giải: ∆ là tiếp tuyến của đƣờng trũn (I, R) d(I, ∆) = R
Mời một học sinh trong nhúm trỡnh bày kết quả của mỡnh. Khi trỡnh bày cần núi rừ cỏch àm, hƣớng đi của bài. Những học sinh trong nhúm chỳ ý lắng nghe, ghi lại những ý kiến, xem xột và dự kiến những cõu hỏi sẽ hỏi bạn. Do cõu 1 và cõu 3 cú 2 trƣờng hợp xảy ra nờn rất nhiều HS sẽ quờn mất chia trƣờng hợp để giải.
Bước 3: Thảo luận để đi đến kết quả thống nhất:
Cõu hỏi đặt ra à: Cơ sở nào để giải đƣợc cỏc bài tập trờn? Cỏc thành viờn trong nhúm đƣa ra cõu hỏi mà mỡnh đó chuẩn bị sẵn để ngƣời trỡnh bày sẵn sàng trả lời. Xin ý kiến của cả nhúm để thống nhất ý kiến. Nhúm trƣởng trỡnh bày cỏc ý kiến của nhúm cho thành viờn trong nhúm nghe. Thụng qua việc trao đổi đú mỗi thành viờn trong nhúm đều rỳt ra đƣợc những kinh nghiệm cho bản thõn.
Thống nhất cỏc ý kiến thảo luận nhúm: a) Tõm I(3 ; - 1), bỏn kớnh r = 5
Thay x = - 1 vào phƣơng trỡnh đƣờng trũn, ta cú : 16 + (y + 1)2 = 25 (y + 1)2
= 9 y + 1 = ± 3
y = 2 hoặc y = - 4. Vậy tọa độ tiếp điểm là (- 1; 2) hoặc (- 1; - 4).
•Với tiếp điểm T (- 1; 2), tiếp tuyến vuụng gúc IT = (- 4 ; 3) cú phƣơng trỡnh là:
- 4(x + 1 ) + 3(y – 2 ) = 0 - 4x + 3y – 10 = 0
•Với tiếp điểm (- 1; - 4 ), tiếp tuyến vuụng gúc IT= (- 4 ; - 3) cú phƣơng trỡnh là:
4(x + 1) + 3(y + 4) = 0 4x + 3y + 16 = 0. b) Viết dạng khai triển của 2 phƣơng trỡnh đƣờng trũn.
Trừ tƣơng ứng hai phƣơng trỡnh => Phƣơng trỡnh tiếp tuyến chung trong của hai đƣờng trũn.
( Vỡ tiếp tuyến chung trong của hai đƣờng trũn chớnh là trục đẳng phƣơng của hai đƣờng trũn đú).
c) Đƣờng trũn cú tõm I(2 ; 1), bỏn kớnh R = 3.
Gọi VTPT của tiếp tuyến là n(a; b). Vỡ nú đi qua A(- 1 ; 2) => PT tiếp tuyến cú dạng: a(x+ 1) + b(y- 2) = 0 (d). (a2 + b2 0) (d) tiếp xỳc với đƣờng trũn d(I/d) = R.
2 2 a(2+1)+b(1-2) =3 a +b b( 4b + 3a) = 0 b= 0 => (d): x + 1= 0 4b + 3a = 0. Chọn a= 4, b= -3 => (d): 4(x+ 1) - 3(y- 2) = 0 4x – 3y + 10 =0.
Bước 4: Tổng hợp để trỡnh bày kết quả của nhúm.
Mỗi thành viờn tự xem xột, tổng hợp kết quả để khi cần thiết đều cú thể trỡnh bày kết luận của nhúm, nếu chỗ nào chƣa rừ thỡ trao đổi lại với cả nhúm. Kết thỳc phần thảo luận mỗi học sinh thấy mỡnh hiểu bài và nhớ bài hơn.
2.2.2.3. Rốn luyện kỹ năng phỏt hiện vấn đề trong bài toỏn về đường trũn.
a) Chọn nội dung: Yờu cầu học sinh tỡm sai lầm và sửa chữa sai lầm trong lời giải bài toỏn.
b) Nhiệm vụ thảo luận.
PHIẾU THẢO LUẬN SỐ 3
Trong mặt phẳng Oxy,viết phƣơng trỡnh tiếp tuyến của đƣờng trũn(C): 2 2
x – 2 y – 1 4 biết tiếp tuyến đú đi qua điểm M(4;2). Bạn Quyết giải bài toỏn trờn nhƣ sau:
Gọi phƣơng trỡnh tiếp tuyến đi qua M cú dạng:y k x – 4 2 ( ) hay kx – y 2 – 4k 0
( ) tiếp xỳc với (C) (I;Δ) 2 2 2k 1+2 4k 3 d =R 2 k 4 k +1
Võỵ phƣơng trỡnh tiếp tuyến cần tỡm là : y 3x 5 4
Sau khi đọc lời giải của bạn Quyết, bạn Cƣơng núi: “ Lời giải của bạn Quyết à sai ”. Theo em, Bạn Cƣờng núi đỳng hay sai? Vỡ sao?
c) Hỡnh thành và rốn luyện kỹ năng thảo luận nhúm cho học sinh.
Bước 1: Tỡm hiểu vấn đề sẽ thảo luận:
Giỏo viờn phỏt phiếu học tập cho học sinh đồng thời yờu cầu học sinh khụng đƣợc thảo luận ngay mà bản thõn mỗi học sinh phải tự nghiờn cứu phiếu học tập, viết ý kiến của mỡnh vào phiếu học tập. Trong quỏ trỡnh đú nếu giỏo viờn thấy cần thiết thỡ đƣa ra cỏc cõu hỏi gợi ý.
Dự kiến cỏc cõu hỏi gợi ý:
- Phiếu học tập cho biết điều gỡ? Yờu cầu gỡ?
- Viết phƣơng trỡnh tiếp tuyến theo hệ số gúc cần cỏc yếu tố nào
- Tiếp tuyến đi qua điểm và song song với cỏc trục tọa độ thỡ cú dạng nhƣ thế nào
Bước 2: Trỡnh bày và lắng nghe:
Mời một học sinh trong nhúm trỡnh bày kết quả của mỡnh. Khi trỡnh bày cần núi rừ cỏch àm, hƣớng đi của bài. Những học sinh trong nhúm chỳ ý lắng nghe, ghi lại những ý kiến, xem xột và dự kiến những cõu hỏi sẽ hỏi bạn.
Dự kiến cỏc tỡnh huống trong khi học sinh trỡnh bày trong nhúm: í kiến 1: Ta cần x t thờm trƣờng hợp tiếp tuyến đi qua M và song song với Oy. Dựa vào điều kiện tiếp xỳc ta thấy x=4 là một tiếp tuyến của (C). Vậy cú hai tiếp tuyến thoả món.
í kiến 2: Gọi phƣơng trỡnh tiếp tuyến đi qua M(4;2) cú dạng tổng quỏt : A(x– 4) +B(y–2) = 0 ( ) ( 2 2
(C) cú tõm I(2;1) và bỏn kớnh R=2 ( ) tiếp xỳc với (C) 2 2 (I;Δ) 2 2 B 0 2A+B 4A 2B d =R 2 2A+B 2 A B 4A=3B A +B
í kiến 3: Lời giải của bạn Quyết à đỳng.
Bước 3: Thảo luận để đi đến kết quả thống nhất:
Cõu hỏi đặt ra à: Cơ sở nào để giải đƣợc cỏc bài tập trờn? Cỏc thành viờn trong nhúm đƣa ra cõu hỏi mà mỡnh đó chuẩn bị sẵn để ngƣời trỡnh bày sẵn sàng trả lời. Xin ý kiến của cả nhúm để thống nhất ý kiến. Nhúm trƣởng trỡnh bày cỏc ý kiến của nhúm cho thành viờn trong nhúm nghe. Thụng qua việc trao đổi đú mỗi thành viờn trong nhúm đều rỳt ra đƣợc những kinh nghiệm cho bản thõn.
Thống nhất cỏc ý kiến thảo luận nhúm:
Cỏch 1: Với cỏch giải trờn ngoài phƣơng trỡnh đƣờng thẳng viết theo hệ số
gúc ta cần x t thờm trƣờng hợp tiếp tuyến đi qua M và song song với Oy . Dựa vào điều kiện tiếp xỳc ta thấy x=4 là một tiếp tuyến của (C). Vậy cú hai tiếp tuyến thoả món
Cỏch 2: Gọi phƣơng trỡnh tiếp tuyến đi qua M(4;2) cú dạng tổng quỏt :
A(x–4) +B(y–2) = 0 ( ) ( 2 2 A +B 0) Ax+By–4A–2B =0 (C) cú tõm I(2;1) và bỏn kớnh R=2 ( ) tiếp xỳc với (C) 2 2 (I;Δ) 2 2 B 0 2A+B 4A 2B d =R 2 2A+B 2 A B 4A=3B A +B Với B =0 ta chọn A=1 : PTTT là x–4=0
Với 4A=3B thỡ chọn A=3, B= 4: PTTT là : 3x+4y–20=0. Vậy cú hai tiếp tuyến cần tỡm là: x– 4=0 và 3x+4y–20=0.
Mỗi thành viờn tự xem xột, tổng hợp kết quả để khi cần thiết đều cú thể trỡnh bày kết luận của nhúm, nếu chỗ nào chƣa rừ thỡ trao đổi lại với cả nhúm. Kết thỳc phần thảo luận mỗi học sinh thấy mỡnh hiểu bài và nhớ bài hơn.
2.2.2.4. Tỡm quỹ tớch.
a) Chọn nội dung: Rốn luyện cho học sinh xỏc định hƣớng đi cho những bài toỏn tƣơng tự.
b) Thiết kế tỡnh huống
PHIẾU THẢO LUẬN SỐ 4 Cho đƣờng trũn 2 2
( ) :C x y 4x4y 4 0 và đƣờng thẳng d x: y 2 0 cắt đƣờng trũn (C) tại 2 điểm phõn biệt A; B. Tỡm điểm M( )C sao cho chu vi tam giỏc MAB lớn nhất
c) Hỡnh thành và rốn luyện kỹ năng thảo luận nhúm cho học sinh.
Bước 1: Tỡm hiểu vấn đề sẽ thảo luận: Giỏo viờn phỏt phiếu học tập cho từng
cỏ nhõn học sinh trong cỏc nhúm và một phiếu chung của cả nhúm, giỏo viờn yờu cầu học sinh khụng đƣợc thảo luận ngay. Mỗi học sinh tự nghiờn cứu phiếu học tập của mỡnh và suy nghĩ vấn đề một cỏch độc lập. Sau 5 phỳt học sinh tự nghiờn cứu, giỏo viờn đi đến từng nhúm quan sỏt học sinh thực hiện và giỏo viờn đƣa ra cỏc cõu hỏi hƣớng dẫn học sinh thực hiện khi học sinh hỏi. Dự kiến cỏc cõu hỏi gợi ý:
- Phiếu học tập cho biết điều gỡ? Yờu cầu làm gỡ? - Áp dụng đƣợc bất đẳng thức nào vào tam giỏc? - Dõy cung?
- Hệ thức ƣợng trong tam giỏc?
Bước 2: Trỡnh bày và lắng nghe: iỏo viờn hƣớng dẫn học sinh trong nhúm
chọn những học sinh trỡnh bày suy nghĩ của mỡnh theo thứ tự nhất định. Yờu cầu học sinh đƣợc trỡnh bày phải trỡnh bày to, rừ ràng những suy nghĩ của
mỡnh cho cỏc bạn trong nhúm nghe. Cỏc bạn khỏc trong nhúm chỳ ý lắng nghe, khụng đƣợc ngắt lời bạn khi bạn đang trỡnh bày. Trong quỏ trỡnh ắng nghe ghi lại những ý kiến khỏc với ý kiến của mỡnh và ghi lại những cõu hỏi mỡnh dự kiến sẽ hỏi bạn để chuẩn bị thảo luận trong bƣớc tiếp theo.
Bước 3: Hoạt động tƣ duy đối thoại cú phờ phỏn: Cõu hỏi đặt ra à: Cơ sở nào để àm đƣợc cỏc bài tập trờn? Suy luận nhƣ vậy cú hợp lụgic khụng? Kết luận cú phự hợp khụng? Cỏc cỏ nhõn khỏc chia sẻ sự nhất trớ hoặc ý kiến khỏc trờn cơ sở xõy dựng, dựa vào những kiến thức đó học. Đặt những cõu hỏi mỡnh dự kiến sẽ hỏi bạn. Với những ý kiến xỏc đỏng thỡ học tập, đồng thời phỏt hiện những sơ hở trong lập luận của bạn để trao đổi, tranh luận làm sỏng tỏ vấn đề. Trong quỏ trỡnh lắng nghe và thảo luận mỗi cỏ nhõn sẽ tự hoạt động tƣ duy riờng, tự ghi vào phiếu học tập của mỡnh, nhận ra những thiếu xút của mỡnh và tự khắc phục mà khụng nhất thiết bỏo cỏo trong nhúm.
Bước 4: Tổng hợp, kết luận vấn đề và phỏt triển vấn đề:
Nhúm trƣởng thống nhất lại những ý kiến trao đổi của nhúm cho cỏc thành viờn trong nhúm nghe và thƣ kớ ghi ại vào phiếu học tập chung của cả nhúm.
Kết luận vấn đề:
Đƣờng trũn (C) cú tõm I(2;2) và bỏn kớnh R=2
Do AB khụng đổi nờn chu vi tam giỏc MAB lớn nhất Khi MA+MB lớn nhất
Mà MAMB 2(MA2 MB )2 Nờn ta đi x t tổng 2 2
MA MB
Trƣớc tiờn thấy M phải thuộc AB lớn Lấy M bất kỡ thuộc cung AB lớn của (C) Đặt MIA u; MIB v và AIB thỡ
M u v I A B d
2 2 2 MA IA IM 2IA.IM.cos u 2 MA 8 8cos u Tƣơng tự 2 MB 8 8cos v 2 2 MA MB 16 8(cos u cos v) u v u v 16 16cos cos 2 2 2 AIB u v 16 16cos cos 2 2 AIB u v 16 16.cos .cos 2 2 AIB 16 16.cos 2
Dấu ’’=’’ xảy ra cosu v 1 u v MA MB 2
Hay M à điểm chớnh giữa AB lớn
Đƣờng thẳng qua I(2;2) và vuụng gúc với d cú phƣơng trỡnh à x-y=0 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phƣơng trỡnh
2 2 x y 0 x y 4x 4y 4 0 x y 2 2(t m) x y 2 2(loai) Vậy điểm M(2 2;2 2)
2.2.2.5. Tỡm lời giải bài toỏn theo nhiều cỏch
a) Chọn nội dung: Rốn luyện cho học sinh xỏc định hƣớng đi cho những bài toỏn tƣơng tự.
b) Thiết kế tỡnh huống:
PHIẾU THẢO LUẬN SỐ 5
Cho đƣờng trũn (C): (x1)2 + (y2)2 = 9. Xỏc định toạ độ cỏc đỉnh B, C của ABC đều nội tiếp trong đƣờng trũn (C), biết điểm A(2, 2). Hóy tỡm ra lời giải cho bài toỏn b ng nhiều cỏch.
Phiếu học tập đƣợc thiết kế với dụng ý từ hoạt động cú thể hƣớng cho HS cú thờm nhiều tƣ duy, khụng phải chỉ cú 1 cỏch giải bài toỏn là chớnh xỏc.