2.3.1 Cơng thức phần tử hữu hạn
Đất bão hịa được mơ hình như một loại vật liệu hai pha: pha rắn và pha lỏng dựa trên lý thuyết của Biot (1962) [2]. Trong lý thuyết này, cơng thức u-p được sử dụng với u là chuyển vị của khung hạt đất, p là áp lực lỗ rỗng, u và p đều là những ẩn số ban đầu của bài tốn. Cơng thức này được tính tốn dựa vào các giả thiết sau:
- Biến dạng và gĩc xoay nhỏ
- Độ cơ đặc của chất rắn và chất lỏng là hằng số theo thời gian và khơng gian - Độ rỗng của đất đồng nhất và là hằng số theo thời gian
- Các hạt đất khơng nén được
- Gia tốc của pha rắn và pha lỏng trong đất bằng nhau
Cơng thức u-p được định nghĩa bởi Chan (1988) [5] bao gồm: - Phương trình chuyển động của hỗn hợp rắn & lỏng
- Phương trình bảo tồn khối lượng cho pha lỏng của đất, áp dụng phương trình chuyển động của pha lỏng và định luật Darcy
Các phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo cĩ thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau [5]: 0 = − + Ω ′ +∫ Ω S T f Qp d B U
M&& σ (2.4a)
0 = − + + p T f Hp p S U Q & & (2.4b)
M : ma trận khối lượng, U : vectơ chuyển vị, B : ma trận biến dạng - chuyển vị,
σ′ : tenxơ ứng suất hữu hiệu, Q : thành phần gradient rời rạc kết nối giữa pha rắn và pha lỏng, p : vectơ áp lực lỗ rỗng, S : ma trận nén, H : ma trận thấm , fS
và fP đặc trưng cho ảnh hưởng của các lực thành phần và điều kiện biên đã đưa ra cho pha rắn và pha lỏng của đất.
Trong phương trình (2.4a), thành phần thứ nhất đặc trưng cho lực quán tính của hỗn hợp chất rắn & lỏng, thành phần tiếp theo là nội lực do biến dạng của khung hạt đất và nội lực do áp lực nước lỗ rỗng gây ra.
Trong phương trình (2.4b), hai thành phần đầu đặc trưng cho tốc độ thay đổi thể tích theo thời gian của khung hạt đất và pha lỏng của đất, tiếp theo là thành phần đặc trưng cho tốc độ thấm của nước lỗ rỗng.
Cả 2 phương trình (2.4a) và (2.4b) đều được tích phân theo thời gian dùng phương pháp Newmark (Chan 1988, Parra 1996) [5, 22]. Sử dụng phương pháp Newton- Raphson cải tiến cho mỗi bước thời gian phân tích (Parra) [22].
Phần tử tiêu biểu trong cơng thức u-p được thể hiện trong hình vẽ 2.7 với 9 nút cho pha rắn và 4 nút cho pha lỏng nhằm để giảm sự phức tạp của bài tốn khi pha lỏng của đất là khơng thể nén được (Chan 1988) [5]. Mỗi nút thuộc pha rắn cĩ 2 bậc tự do (2 DOF) đĩ là chuyển vị đứng và chuyển vị ngang. Mỗi nút thuộc pha lỏng cĩ 1 bậc tự do (1 DOF) là áp lực nước lỗ rỗng.
2.3.2 Mơ hình cơ bản của đất (Soil constitutive model)
Ứng xử cắt của đất trong khi hĩa lỏng được mơ hình hĩa để biểu diễn sự hồi phục cường độ của đất cùng với sự gia tăng biến dạng trong mỗi chu kỳ chịu tải trọng tác dụng. Ứng xử này đĩng vai trị quan trọng trong việc tính tốn độ lớn biến dạng cắt của đất đã được quan sát ở thí nghiệm tại phịng và thí nghiệm hướng tâm (centrifuge test).
Thành phần thứ hai trong phương trình (2.4a) được xác định bởi mơ hình cơ bản ứng suất- biến dạng của đất. Chương trình phần tử hữu hạn sử dụng mơ hình cơ bản của đất dựa vào lý thuyết dẻo đa mặt của Prevost [24]. Mơ hình này được phát triển dùng để mơ phỏng sự tích lũy biến dạng cắt cĩ xét đến hĩa lỏng ở đất rời.
• Phương trình cơ bản (Constitutive equation)
Phương trình cơ bản được viết dưới dạng khai triển như sau: [24]
) (
: P
E ε ε
σ&′= &− & (2.5) Trong đĩ: σ&′ = tốc độ thay đổi của tenxơ ứng suất Cơsi
ε& = tốc độ thay đổi của tenxơ biến dạng ε&P = tốc độ thay đổi của tenxơ biến dạng dẻo
E = tenxơ hệ số đàn hồi đẳng hướng
Sự thay đổi của tenxơ biến dạng dẻo được xác định như sau:
L P
P =
ε& (2.6)
Với : P là tenxơ hạng 2 đối xứng xác định hướng biến dạng dẻo trong khơng gian ứng suất.
L là hàm số tải trọng dẻo của đất, L = max (L, 0). Hàm tải trọng L được định nghĩa như sau:
H’: mođun dẻo của đất
Q : tenxơ hạng 2 đối xứng đơn vị xác định hướng của pháp tuyến ngồi đến mặt chảy dẻo.
f f
Q=∇ / ∇ f: hàm chảy dẻo (2.8)
Dựa theo lý thuyết dẻo cổ điển (Hill 1950) [13], giả thiết rằng vật liệu là tuyến tính, đẳng hướng trong lý thuyết đàn hồi và chấp nhận kết quả phi tuyến và dị hướng trong lý thuyết dẻo, hàm chảy dẻo được chọn (Prevost 1985, Lacy 1986)
[16, 24] hình thành nên mặt conic trong khơng gian ứng suất với đỉnh là (-po′) dọc theo trục thủy tĩnh của nĩ (hình vẽ 2.8).
Hình 2.8. Mặt chảy dẻo conic của đất trong khơng gian ứng suất chính và mặt phẳng lệch .
• Hàm chảy dẻo của đất (Yield Function)
Hàm chảy dẻo f (Yield Function)được chọn như sau (trong miền p’ > = 0) [10]
(2.9)
Trong phương trình (2.9):
s = tenxơ ứng suất lệch: s=σ′− p′δ p’ = ứng suất chính hữu hiệu
p0 = hằng số dương thêm vào để tiện lợi trong tính tốn khi p’= 0 (p0= 1 KPa).
α = tenxơ lệch động học hạng 2 xác định vị trí chảy dẻo trong khơng gian ứng suất lệch.
M = kích thước mặt chảy dẻo.
Theo lý thuyết dẻo đa mặt, các mặt chảy dẻo tương tự nhau cĩ cùng đỉnh (- po′) dọc theo trục thủy tĩnh của nĩ hình thành nên vùng tái bền. Mỗi mặt chảy dẻo cĩ một mođun dẻo hằng số.
• Luật chảy dẻo (Flow rule)
Các tenxơ P và Q cĩ thể phân tích thành hai thành phần: thành phần lệch và thành phần thể tích : Q= Q’+ Q’’δ ; P = P’+ P’’δ (Prevost ) [24]. Đối với thành phần thể tích, sử dụng luật chảy dẻo khơng kết hợp Q’’≠ P’’. Đối với thành phần lệch, dùng luật chảy dẻo kết hợp Q’= P’.
Theo Parra [22] , thì P’’ được tính như sau: ψ η η η η 1 ) / ( 1 ) / ( 2 2 + − = ′′ P (2.10) Trong đĩ :
η : tỷ số ứng suất hữu hiệu, tính theo cơng thức sau:
(2.11)
η là thơng số vật liệu xác định tỷ số ứng suất dọc theo mặt chuyển pha
ψ là hàm scalar xác định sự co dãn thể tích phụ thuộc vào mức độ chèn bĩ và biến dạng dẻo tích luỹ
Những nghiên cứu về hiện tượng hĩa lỏng (Ishihara 1975) đã hình thành nên khái niệm về mặt chuyển tiếp pha (phase transformation surface). Dưới điều kiện khơng thốt nước, tải trọng cắt bên trong hay bên ngồi mặt chuyển tiếp
pha (PT) cĩ mối liên hệ đến sự co dãn thể tích dẫn đến sự thay đổi của áp lực nước lỗ rỗng và ứng suất chính hữu hiệu p’. Luật chảy dẻo xác định các giai đoạn mơ tả đáp ứng của đất như sau:
Hình 2.9. Các giai đoạn diễn tả đáp ứng mơ hình cơ bản của đất khi chịu tải trọng với điều kiện khơng thốt nước ( τ : ứng suất bát diện, γ : biến dạng bát diện, p’: áp lực chèn bĩ hữu hiệu)
- Giai đoạn co thể tích của đất nằm trong mặt phẳng chuyển pha (hình 2.9, giai đoạn 0-1).
- Giai đoạn dãn nở thể tích khi chịu tải trọng cắt, với trạng thái ứng suất nằm bên ngồi mặt chuyển pha (hình 2.9, giai đoạn 2-3).
- Giai đoạn co thể tích của đất khi dỡ tải trọng cắt cho đến khi áp lực chèn bĩ hữu hiệu trở về giá trị pD′ (hình 2.9, giai đoạn 3-4).
- Khi áp lực chèn bĩ hữu hiệu nhỏ, ứng suất tiến đến mặt chuyển tiếp pha khi chịu tải. Biến dạng cắt cố định được tích luỹ khi ứng suất cắt khơng thay đổi (hình 2.9 , giai đoạn 1-2). Điều này dẫn đến sự hình thành vùng hĩa dẻo lý tưởng (PPZ) trước khi bắt đầu dãn nở bên ngồi mặt chuyển tiếp pha (hình 2.9, giai đoạn 2-3).
Mơ hình cơ bản của đất được ứng dụng cho cát sạch ở Nevada với độ chặt tương đối khoảng 40% [22, 29]. Quá trình đo đạc dựa vào các kết quả ở phịng thí nghiệm và các dữ liệu từ sự mơ phỏng mơ hình hướng tâm (centrifuge test). Các thơng số chính của mơ hình gồm cĩ các đặc trưng động học tiêu chuẩn của đất như mođun biến dạng cắt, gĩc ma sát cũng như các hằng số đo được để kiểm sốt quá trình dãn nở của đất : gĩc chuyển tiếp pha, các thơng số co dãn và mức độ biến dạng dẻo cĩ xét đến hĩa lỏng.
2.4 CHƯƠNG TRÌNH MƠ PHỎNG SỰ HĨA LỎNG CỦA ĐẤT
Trong luận văn, tác giả sử dụng chương trình CYCLIC 1D được viết bởi Parra, Yang và Elgamal [22, 29] để mơ phỏng hiện tượng hĩa lỏng xảy ra trong đất và các đáp ứng động đất tại hiện trường.
2.4.1 Giới thiệu về chương trình CYCLIC 1D
Đất hĩa lỏng là một trong những nguyên nhân chính gây phá hỏng kết cấu trong các trận động đất mạnh trong quá khứ. Trong những năm gần đây, một số chương trình máy tính đã được phát triển để tính tốn các đáp ứng phi tuyến của đất khi động đất và hiện tượng hĩa lỏng: DYSAC2, DYNAFLOW SUMDES2D …. Tuy nhiên, việc sử dụng các chương trình này cịn nhiều hạn chế do trong mơ hình cơ bản của đất ở bên dưới cần nhiều thơng số nhập vào (từ 10- 20 thơng số tiêu biểu cho mỗi loại đất), quá trình tính tốn dài và phức tạp. Ngồi ra, việc phân tích các dữ liệu từ những mơ phỏng này cần những cơng cụ tính tốn hữu hiệu.
Để đáp ứng những yêu cầu trên, Parra và Yang đã phát triển chương trình CYCLIC 1D (hình 2.10), một chương trình phần tử hữu hạn dùng phần tử biến dạng phẳng 2 chiều, nhằm để làm đơn giản hĩa trong quá trình tính tốn cho người sử dụng. Khi nhập dữ liệu đầu vào, đất được phân ra thành 15 loại, mỗi
loại đất cĩ hằng số vật liệu được xác định trước. Chương trình này sử dụng cơng thức phần tữ hữu hạn kết hợp giữa pha rắn -pha lỏng của đất (Chan 1988) [5] và mơ hình cơ bản của đất để phân tích hiện tượng hĩa lỏng [22, 29]. Cĩ thể tải chương trình này từ trang web http:// cyclic.ucsd.edu.
Hình 2.10. Website chương trình CYCLIC 1D dùng để mơ phỏng sự hĩa lỏng
2.4.2 Nhập dữ liệu đầu vào
• Mặt cắt ngang mơ hình mẫu đất (Model profile)
Các thơng số cần nhập vào:
- Chiều cao của mẫu đất : nhập bất kỳ giá trị nào trong khoảng 5m300m. - Số phần tử (10100 phần tử): số phần tử càng nhiều thì bài tốn càng mang tính khơng gian cao.
- Chiều sâu mực nước ngầm: Nếu đất ở trên mực nước ngầm, xem như mẫu đất khơ. Đất ở dưới mực nước ngầm, xem như đất bão hịa hồn tồn . Chiều sâu 0m tượng trưng cho mực nước ngầm nằm tại mặt đất.
- Gĩc nghiêng của mặt cắt mẫu đất : nhập giá trị từ 00
100
- Đặc trưng của nền : được phân ra thành nhiều trường hợp : Rigid, hard rock, medium rock, soft rock. Đối với trường hợp U-Rock , người sử dụng cần nhập vào vận tốc sĩng cắt (m/s) và khối lượng riêng của nĩ (kg/m3).
• Các đặc trưng của đất (Soil Properties)
Các loại vật liệu xác định trước được chia ra thành 2 loại chính: đất rời và đất dính. Đối với đất rời, độ chặt tương đối của đất và hệ số thấm là những thơng số ảnh hưởng lớn đến ứng xử ứng suất-biến dạng phi tuyến và đáp ứng hĩa lỏng của đất. Đất rời được phân ra thành 4 nhĩm tùy theo độ chặt tương đối như sau: nhĩm đất rời ( độ chặt 15-35 %), đất trung bình chặt (35- 65%), đất chặt (65-85%) và đất rất chặt ( 85-100%). Ngồi ra, mỗi nhĩm đất cịn gắn liền với 3 hệ số thấm tiêu biểu cho đất bột, đất cát và cuội sỏi, dẫn đến cĩ tổng cộng 12 loại vật liệu khác nhau. Đối với đất dính, phân ra thành 3 nhĩm dựa theo sức chống cắt : sét mềm, sét trung bình & sét cứng. Ngồi ra, người sử dụng cĩ thể xác định các loại đất sét và đá (U-clay rock) bằng cách thêm vào khối lượng riêng, sức chống cắt và vận tốc sĩng cắt.
Hình 2.12. Xác định các đặc trưng của đất
• Tính cản nhớt (Viscous Damping)
Trong Cyclic 1D, sự cản nhớt bắt nguồn từ đáp ứng trễ phi tuyến của đất. Tính cản nhớt của đất cĩ thể tính tốn bằng cách trực tiếp xác định 2 hệ số cản Rayleigh hoặc xác định 2 tỉ số cản ở 2 tần số khác nhau. Sau khi xác định các hệ số này, cĩ thể vẽ được đường cong tỷ số cản theo tần số. Điều này giúp cho người sử dụng xác định sự phụ thuộc của tỉ số cản vào tần số.
• Tải trọng động nhập vào ( input motion) Tải trọng động nhập vào cho mơ hình theo 2 cách sau:
- Dùng thư viện cĩ sẵn trong chương trình chứa các dữ liệu về chuyển động của mặt đất gần nơi xảy ra đứt gãy của các trận động đất mạnh trong quá khứ trên thế giới.
- Người sử dụng nhập vào tải trọng (U- Shake).
2.4.3 Dữ liệu xuất ra của chương trình
Nhiều người sử dụng quan tâm đến đáp ứng lịch sử thời gian ở tại một độ sâu xác định. Các đáp ứng lịch sử thời gian này bao gồm gia tốc, chuyển vị, áp lực nước lỗ rỗng, quan hệ ứng suất cắt và biến dạng cắt tại mỗi thời điểm ở những độ sâu khác nhau (hình 2.14). Trong chương trình CYCLIC 1D, người sử dụng cĩ thể xem kết quả đáp ứng theo thời gian cho bất kỳ độ sâu nào và các đáp ứng của mặt cắt ngang mẫu đất. Ngồi các dạng dữ liệu kể trên, người sử dụng cĩ thể xuất kết quả ra dưới dạng văn bản bằng phần mềm Microsoft Word hoặc dạng Rich Text Format (RTF).
Chương 3
PHÂN TÍCH ẢNH HƯỞNG SỰ HĨA LỎNG ĐẾN CƠNG TRÌNH CHỊU ĐỘNG ĐẤT
Để khảo sát ảnh hưởng sự hĩa lỏng của đất, cần phân tích động lực học cơng trình chịu động đất trong hai trường hợp khơng xét đến sự hĩa lỏng của đất và cĩ xét đến sự hĩa lỏng của đất. Khi phân tích phản ứng của kết cấu dưới tác dụng của động đất, để cĩ thể dự đốn chính xác phản ứng của kết cấu theo thời gian và biết được thời điểm nào phản ứng của kết cấu đạt giá trị cực đại, tác giả chọn phương pháp phân tích phản ứng kết cấu theo lịch sử thời gian.
3.1 PHÂN TÍCH CƠNG TRÌNH CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT VỚI SƠ ĐỒ NGAØM , KHƠNG XÉT ĐẾN ẢNH HƯỞNG ĐẤT NỀN ĐỒ NGAØM , KHƠNG XÉT ĐẾN ẢNH HƯỞNG ĐẤT NỀN
3.1.1 Phương trình chuyển động của hệ nhiều bậc tự do chịu động đất [25]Để đơn giản bài tốn mà vẫn thu được kết quả tương đối chính xác , người Để đơn giản bài tốn mà vẫn thu được kết quả tương đối chính xác , người ta sử dụng phương pháp rời rạc hĩa kết cấu. Đĩ là dùng phương pháp khối lượng thu gọn để thay thế hệ kết cấu thực cĩ khối lượng phân bố thành các khối lượng tập trung theo nguyên tắc tương đương tĩnh học, khối lượng được thu gọn về các điểm nút.
Khi động đất xảy ra kết cấu chịu tác động của chuyển động nền vg(t) Gọi vj là chuyển vị tương đối giữa khối lượng mj và nền đất
Và vjT là chuyển vị tuyệt đối hay chuyển vị tổng của khối lượng mj
Ở mỗi khoảng thời gian chuyển vị tổng là
Đối với hệ nhiều bậc tự do cĩ N khối lượng phương trình trên được viết lại dưới dạng vectơ như sau
[vT(t)] = [v(t) ]+ vg(t){ }1 (3.2) Trong đĩ { }1 là vectơ cĩ các phần tử bằng 1 và cĩ kích thước (Nx1)
Phương trình cân bằng động lực học
[fI ]+[ fD] + [fS ]= 0 (3.3)
Chỉ cĩ chuyển vị tương đối u giữa khối lượng và mĩng gây ra biến dạng cho kết cấu và phát sinh lực đàn hồi và lực cản , thành phần chuyển vị cứng của kết cấu khơng phát sinh nội lực.
Lực quán tính quan hệ với gia tốc của khối lượng như sau
[fI ] = [m][&v&T] (3.4)
Thay (3.4), (3.3), (3.2) vào (3.1) ta cĩ
[m][&v&] + [c][v&] + [k] [v] = -[m]{ }1 &v&g(t) (3.5) Trong đĩ
[m] là ma trận khối lượng của hệ kết cấu [c] là ma trận cản của hệ kết cấu
[k] là ma trận độ cứng của hệ kết cấu