Khi động đất xảy ra, nếu đất nền bên dưới bị hĩa lỏng thì trong suốt thời gian chịu động đất, các đặc trưng của đất như tính cản nhớt (damping) và hệ số đàn hồi k (spring coefficient) của đất nền khơng cịn là hằng số trong quá trình chuyển động mà sẽ thay đổi giảm yếu trong suốt thời gian động đất. Điều này dẫn đến phương trình vi phân chuyển động của hệ khơng cịn là phương trình tuyến tính mà trở thành phương trình vi phân phi tuyến và bài tốn cần phải giải quyết là bài tốn phân tích phản ứng của kết cấu phi tuyến. Yếu tố phi tuyến nằm ở độ cứng và hệ số cản của đất.
Hệ một bậc tự do
Xét hệ một bậc tự do cĩ các đặc trưng m, k, c, peff(t) cĩ thể là các đại lượng suy rộng. Giả thiết k(v) và c(v&) là các hàm phi tuyến
Theo nguyên lý D’Alembert , phương trình cân bằng của hệ cĩ dạng như sau fI (t) + fD(t) + fS (t) = peff(t) (3.26)
Ở thời điểm t +∆t (∆t bé)
fI (t+∆t) + fD(t+∆t) + fS (t+∆t) = peff(t+∆t) (3.27) Lấy (3.27) – (3.26) nhận được phương trình
∆fI (t) + ∆fD(t) + ∆fS (t) = ∆peff(t) (3.28) Số gia của các lực được xác định như sau
∆fI (t) = fI (t+∆t) - fI (t) = m∆v&&(t)
∆fD (t) = fD (t+∆t) - fD (t) ≈ c(t)∆v&(t)
∆fS(t) = fS (t+∆t) - fS (t) ≈ k(t)∆v(t)
∆peff(t) = p(t+∆t) - p(t) (3.29) Trong đĩ c(t) và k(t) là độ dốc tiếp tuyến ở đầu mỗi thời đoạn ∆t (độ dốc cát tuyến khơng xác định được vì chưa biết được trị của fD (t+∆t) và fS (t+∆t) ở thời điểm t+∆t t D v d df t c ≈ & ) ( ; t S dv df t k ≈ )
( (c, k = const nếu dao động tuyến tính) Thế (3.30) vào (3.29)
m∆v&&(t) + c(t)∆v&(t) + k(t)∆v(t) = ∆peff(t) (3.30) Đây là phương trình số gia cân bằng của bài tốn động lực học. Để giải bài tốn cần biểu diễn ∆v&&(t),∆v&(t)theo ∆v(t) trong đĩ∆v(t) là biến cơ bản được tìm trước
Hệ nhiều bậc tự do
Tương tự như hệ một bậc tự do, phương trình số gia cân bằng cho hệ nhiều bậc tự do chịu động đất được viết dưới dạng ma trận như sau