8. Cấu trúc của khóa luận
2.3.3.Các hệ tiên đề đƣợc dùng để xây dựng kiến thức hình học ở trƣờng
phổ thông
Về mặt lịch sử, phƣơng pháp tiên đề Ơclit sử dụng lần đầu tiên để xây dựng môn Hình học trong tác phẩm Cơ bản vào khoảng 300 năm trƣớc Công nguyên. Trong sách này Ơclit trình bày kiến thức hình học bắt đầu bằng một số tiên đề và định đề, sau đó suy ra các định lí. Ơclit không đƣa ra hệ thống các khái niệm nguyên thủy mà dƣờng nhƣ ông có ý định định nghĩa tất cả các khái niệm. Và đây cũng là chỗ yếu nhất của cuốn sách. Thực tế không thể định nghĩa đƣợc mọi khái niệm. Do đó, các định nghĩa mà Ơclit đƣa ra hoặc là chỉ mô tả mang tính trực quan hóa hoặc là thiếu tƣờng minh. Qua nghiên cứu, ngƣời ta nhận thấy các định đề là những phát biểu có nội dung hình học, còn các tiên đề là những khẳng định mang tính chất chung của suy luận. Hệ thống tiên đề và định đề trong sách Cơ bản của Ơclit cũng có chỗ chƣa hoàn chỉnh: một số thừa và một số lĩnh vực còn thiếu những tiên đề hay định đề làm cơ sở suy luận ra các kết quả. Vì những thiếu sót đó, nên mặc dù đƣợc đánh giá là một cuốn sách mẫu mực, tiên phong trong việc xây dựng lí thuyết toán học bằng phƣơng pháp tiên
đề, nhƣng trong quá trình phát triển toán học ngƣời ta phải đặt ra vấn đề xem xét lại một cách tổng thể hệ tiên đề của hình học.
Đầu thế kỉ XX nhà toán học Đức Hinbe khắc phục những thiếu sót của hệ tiên đề của Ơclit và đƣa ra một hệ tiên đề giải quyết đƣợc các yêu cầu đặt ra. Hệ tiên đề này thƣờng đƣợc gọi là hệ tiên đề Hinbe.
2.3.3.1. Hệ tiên đề Hinbe
Cuối thế kỉ XIX, Hinbe đƣa ra hệ tiên đề ngắn gọn và đầy đủ của hình học Ơclit. Hệ tiên đề Hinbe sử dụng các khái niệm cơ bản là điểm, đƣờng thẳng, mặt phẳng và các tƣơng quan có bản là thuộc (điểm thuộc đƣờng thẳng, điểm thuộc mặt phẳng), ở giữa (điểm ở giữa hai điểm cùng thuộc một đƣờng thẳng), bằng (đoạn thảng, góc). Có năm nhóm tiên đề:
- Nhóm 1 gồm tám tiên đề về tƣơng quan cơ bản thuộc:
+ Tiên đề 1.1: Bất cứ hai điểm ,A B phân biệt nào cũng có một đƣờng thẳng thuộc mỗi điểm đó.
+ Tiên đề 1.2: Bất cứ hai điểm ,A B phân biệt nào cũng có không quá một đƣờng thẳng thuộc mỗi điểm đó.
+ Tiên đề 1.3: Mỗi đƣờng thẳng thuộc ít nhất hai điểm. Có ba điểm không cùng thuộc một đƣờng thẳng.
+ Tiên đề 1.4: Bất cứ ba điểm A B C, , nào cũng có một mặt phẳng thuộc mỗi điểm ấy. Mỗi mặt phẳng có ít nhất một điểm thuộc nó.
+ Tiên đề 1.5: Bất cứ ba điểm , ,A B C nào không cùng thuộc một đƣờng thẳng cũng có không quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm ấy.
+ Tiên đề 1.6: Nếu hai điểm ,A B phân biệt thuộc đƣờng thẳng a và ,A B
thuộc mặt phẳng ( )P thì mọi điểm thuộc đƣờng thẳng a đều thuộc mặt phẳng ( )P .
+ Tiên đề 1.7: Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thì chúng cùng thuộc một điểm B khác điểm A.
+ Tiên đề 1.8: Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. - Nhóm 2 gồm bốn tiên đề về tƣơng quan cơ bản ở giữa:
+ Tiên đề 2.1: Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì ba điểm , ,
A B Ccùng thuộc một đƣờng thẳng và điểm B ở giữa điểm C và điểm A. + Tiên đề 2.2: Cho bất kì hai điểm phân biệt ,A C nào cũng có ít nhất một điểm B thuộc đƣờng thẳng AC sao cho C ở giữa Avà B.
+ Tiên đề 2.3: Trong bất cứ ba điểm cùng thuộc một đƣờng thẳng có không quá một điểm ở giữa hai điểm kia.
+ Tiên đề 2.4 (Tiên đề Pat): Cho ba điểm , ,A B C không cùng thuộc một đƣờng thẳng và một đƣờng thẳng a sao cho mọi điểm thuộc a đều thuộc mặt phẳng ( , , )A B C nhƣng a không thuộc điểm nào trong các điểm , ,A B C. Nếu có một điểm ở giữa A và C thuộc a thì có một điểm ở giữa A và B hoặc ở giữa
B và C thuộc đƣờng thẳng a.
Định nghĩa đoạn thẳng: Hai điểm phân biệt ,A B cùng với các điểm ở giữa
A và B đƣợc gọi là đoạn thẳng có các mút là A và B, kí hiệu là AB hay BA.
Định nghĩa tia: Cho đƣờng thẳng a và một điểm O thuộc a. Giả sử ,A B
là các điểm thuộc a. Nếu O ở giữa A và B thì ta nói A và B khác phía so với
O. Nếu O không ở giữa A và B thì ta nói A, B cùng phía so với O. Cho đƣờng thẳng a và một điểm O thuộc a. Giả sử A là một điểm thuộc a và khác
O. Tập hợp tất cả các điểm thuộc a và cùng phía với A đƣợc gọi là tia gốc O.
Định nghĩa góc: Hai tia Ox Oy, chung gốc O đƣợc gọi là một góc, kí hiệu (Ox Oy, ). Gốc chung O đƣợc gọi là đỉnh của góc, các tia Ox và Oy đƣợc gọi là cạnh của góc.
- Nhóm 3 có năm tiên đề về tƣơng quan cơ bản bằng (đoạn thẳng, góc):
+ Tiên đề 3.1: Nếu cho trƣớc đoạn thẳng AB và một tia có gốc A' thì có một điểm B'thuộc tia đó sao cho AB bằng ' 'A B , kí hiệu là AB A B' '.
+ Tiên đề 3.2: Cho đoạn thẳng AB, A B' ' và A B'' ''. Nếu AB A B'' '' và ' ' '' ''
A B A B thì ABA B' '.
+ Tiên đề 3.3: Cho ba điểm , ,A B C cùng thuộc một đƣờng thẳng với B ở giữa A và C. Cho A B C', ', ' là ba điểm cùng thuộc một đƣờng thẳng với B' ở giữa A' và C'. Nếu có AB A B' ' và BCB C' ' thì AC A C' '.
+ Tiên đề 3.4: Cho góc (Ox Oy, ) và một nửa mặt phẳng xác định bởi đƣờng thẳng chứa tia O x' '. Khi đó trong nửa mặt phẳng nói trên có một và chỉ một tia
' '
O y sao cho (Ox Oy, ) bằng ( ' ',O x O y' ') và kí hiệu (Ox Oy, ) = ( ' ',O x O y' '). Đối với góc (Ox Oy, ) luôn có (Ox Oy, ) = (Ox Oy, ) và (Ox Oy, ) = (Oy Ox, ).
+ Tiên đề 3.5: Cho tam giác ABC và tam giác A B C' ' '. Nếu có ' ',
AB A B AC A C' ' và (AB AC, )( ' ', 'A B A C') thì cũng có (BA BC, )( ' ', 'B A B C') và (CA CB, )( ' ', ' ')C A C B .
- Nhóm 4 gồm một tiên đề, gọi là tiên đề Đêđêkin. Định nghĩa lát cắt trên đƣờng thẳng và thừa nhận lát cắt có biên. Từ tiên đề Đêđêkin suy ra đƣợc nguyên lí dãy đoạn thắt (tiên đề Căngto) và tiên đề Acsimet.
- Nhóm 5 gồm một tiên đề về song song.
Định nghĩa hai đường thẳng song song: Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung đƣợc gọi là hai đƣờng thẳng song song.
Tiên đề: Cho một đƣờng thẳng a và một điểm A không thuộc a. Khi đó trong mặt phẳng chứa a và A có nhiều nhất một đƣờng thẳng qua A không cắt a.
2.3.3.2. Hệ tiên đề Vây (Weyl)
Hệ tiên đề Vây do nhà toán học Đức đƣa ra năm 1918 và đƣợc gọi là hệ tiên đề Vây hay hệ tiên đề điểm – véctơ.
Hệ tiên đề Vây sử dụng hai đối tƣợng cơ bản là điểm và véctơ. Các tƣơng quan cơ bản của hệ tiên đề Vây gồm có cộng véctơ với véctơ, nhân số với vectơ, tích vô hƣớng của hai vectơ . Có năm nhóm tiên đề:
- Nhóm 1 có bốn tiên đề về tƣơng quan cơ bản cộng vectơ với vectơ. Bốn tiên đề trong nhóm 1 mô tả cấu trúc nhóm cộng giao hoán trên tập hợp vectơ.
- Nhóm 2 có bốn tiên đề về nhân số thực với vectơ. Nhóm 1 và nhóm 2 chính là hệ tiên đề về không gian vectơ với điều kiện unita, tức là x(1.xx).
- Nhóm 3 có hai tiên đề về số chiều của không gian: Định nghĩa độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính sau đó đƣa ra hai tiên đề.
+ Tiên đề 3.2: Bất kì bốn vectơ nào cũng phụ thuộc tuyến tính.
Ý nghĩa của nhóm tiên đề này là thừa nhận không gian vectơ có ba chiều. - Nhóm 4 có bốn tiên đề về tích vô hƣớng.
+ Tiên đề 4.1: Thừa nhận tích vô hƣớng hai vectơ có tính chất giao hoán. + Tiên đề 4.2: Thừa nhận tích vô hƣớng có tính chất phân phối.
+ Tiên đề 4.3: Thừa nhận ( . ).k x yk x y.( . ).
+ Tiên đề 4.4: Thừa nhận tính xác định dƣơng của bình phƣơng vô hƣớng. - Nhóm 5 có hai tiên đề về đặt vectơ.
+ Tiên đề 5.1: Cho vectơ x và một điểm A, khi đó tốn tại duy nhất điểm
B để vectơABx.
+ Tiên đề 5.2: Với mọi điểm , ,A B C luôn có vectơ AB cộng với vectơ BC
bằng vectơ AC.
2.3.3.3. Hệ tiên đề Pôgôrêlôp
Viện sĩ Pôgôrêlôp (Nga) đã đƣa ra một hệ tiên đề của hình học Ơclit trong một cuốn sách viết cho sinh vên các trƣờng đại hoc sƣ phạm ở Nga. Hệ tiên đề này sử dụng đối tƣợng cơ bản là điểm, đƣờng thẳng, mặt phẳng và các tƣơng quan cơ bản của điểm thuộc đƣờng thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, điểm đi trƣớc một điểm khác, dời. Hệ tiên đề này có năm nhóm tiên đề. Sau này Pôgôrêlôp đã nghiên cứu và cải tiến các hệ tiên đề về hình học cho học sinh phổ thông. Hệ tiên đề này có sáu nhóm tiên đề. Từ năm 1982 ở Liên Xô cũ và ở Nga ngày nay, sách giáo khoa hình học trƣờng phổ thông trình bày theo hệ tiên đề này. Sách giáo khoa Toán trung học cơ sở (phần hình học) và sách Hình học trung học phổ thông của các nƣớc ta hiện nay cũng sử dụng hệ tiên đề đó để xây dựng hệ thống kiến thức hình học. Trong phần sau đây chúng ta tìm hiểu hệ tiên đề này để có căn cứ hiểu rõ kiến thức hình học ở trƣờng phổ thông. Có sáu tiên đề.
- Nhóm 1 có hai tiên đề:
+ Tiên đề 1.1: Mỗi đƣờng thẳng có những điểm thuộc nó và có những diểm không thuộc nó.
+ Tiên đê 1.2: Qua hai điểm phân biệt bất kì có một và chỉ một đƣờng thẳng. - Nhóm 2 có hai tiên đề:
+ Tiên đề 2.1: Với ba điểm phân biệt thuộc một đƣờng thẳng có một và chỉ một điểm ở giữa hai điểm còn lại.
+ Tiên đề 2.2: Một đƣờng thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. - Nhóm 3 có hai tiên đề:
+ Tiên đề 3.1: Mỗi đoạn thẳng có một độ dài xác định dƣơng. Nếu điểm C
ở giữa hai điểm AB thì độ dài đoạn thẳng AB bằng tổng độ dài các đoạn thẳng
AC và CB.
+ Tiên đề 3.2: Mỗi góc có số đo xác định dƣơng. Góc bẹt có số đo 180. Nếu tia Oc ở giữa hai tia Oa và Ob thì số đo góc (Oa Oc, ) và (Oc Ob, ).
Từ đây chứng minh đƣợc số đo của góc nhỏ hơn hay bằng 180. - Nhóm 4 có ba tiên đề:
+ Tiên đề 4.1: Cho trƣớc tia Ox và số m0. Trên tia Ox có một điểm A
duy nhất sao cho độ dài đoạn thẳng OA bằng m.
+ Tiên đề 4.2: Cho nửa mặt phẳng có bờ là đƣờng thẳng chƣa tia Ox và một số m thỏa mãn 0 m 180, tồn tại duy nhất một tia Oy nằm trong nửa mặt phẳng đã cho sao cho số đo góc (Ox Oy, ) bằng m.
+ Tiên đề 4.3: Cho tam giác ABC bất kì và một tia A x' , có một và chỉ một tam giác A B C' ' ' bằng tam giác ABC sao cho cạnh A B' ' nằm trên tia A x' và điểm 'C thuộc nửa mặt phẳng xác định bởi đƣờng thẳng chứa tia A x' .
- Nhóm 5 có một tiên đề:
+ Tiên đề 5: Trong mặt phẳng cho một đƣờng thẳng a bất kì và một điểm
A không thuộc a. Có không quá một đƣờng thẳng đi qua A và không cắt a. - Nhóm 6 có ba tiên đề:
+ Tiên đề 6.1: Mỗi mặt phẳng có những điểm thuộc nó và có những điểm không thuộc nó.
+ Tiên đề 6.2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì chúng cắt nhau theo một đƣờng thẳng.
+ Tiên đề 6.3: Nếu hai đƣờng thẳng phân biệt có điểm chung thì có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đƣờng thẳng đó.
KẾT LUẬN
Với nhiệm vụ đặt ra, khoá luận đã trình bày một cách có hệ thống và tƣơng đối đầy đủ các kiến thức cơ bản về logic Toán và cơ sở logic của kiến thức môn toán Trung học phổ thông. Cụ thể:
Một là, khóa luận đã sơ lƣợc về logic toán xây dựng theo ngữ nghĩa. Trong phần này tôi đã trình bày về đại số mệnh đề và đại số vị từ (đƣa ra các khái niệm, các phép toán, các công thức, các phép suy luận… có ví dụ minh họa).
Hai là, khóa luận đã giới thiệu logic toán xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề. Trong phần này tôi đã trình bày chi tiết về các hệ tiên đề của một số lí thuyết Toán học (hệ tiên đề của Lí thuyết nhóm, hệ tiên đề của không gian vectơ trên trƣờng F,…) và các hệ tiên đề đƣợc dùng để xây dựng kiến thức hình học ở phổ thông (hệ tiên đề Hinbe, hệ tiên đề Vây, hệ tiên đề Pôgôrêlôp).
Nhƣ chúng ta đã biết Toán học là khoa học suy diễn. Để học tốt môn toán nhất thiết ngƣời học cần nắm vững hệ thống kiến thức tối thiểu, cơ bản về logic, đặc biệt là logic Toán. Chúng tôi mong rằng khóa luận này sẽ trở thành một trong các tài liệu tham khảo hữu ích cho những bạn đọc quan tâm.
Do thời gian hạn chế, chắc chắn khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận đƣợc sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Văn Hạo (chủ biên) (2013), Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục. [2] Trần Diên Hiển (chủ biên) (2007), Cở sở lí thuyết tập hợp và logic toán,
Nhà xuất bản Đại học Sƣ phạm Hà Nội.
[3] Nguyễn Mộng Hy (1999), Xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề, Nhà xuất bản Giáo dục.
[4] Đào Tam (2004), Giáo trình hình học sơ cấp, Nhà xuất bản Đại học Sƣ phạm Hà Nội.
[5] Chu Trọng Thanh (chủ biên) (2011), Cơ sở toán học hiện đại của kiến thức môn toán phổ thông, Nhà xuất bản Giáo dục.