Phƣơng pháp tiên đề với việc xây dựng các lý thuyết toán học

8. Cấu trúc của khóa luận

2.3. Phƣơng pháp tiên đề với việc xây dựng các lý thuyết toán học

2.3.1. Sơ lƣợc lịch sử ra đời của phƣơng pháp tiên đề

Toán học trải qua bốn giai đoạn. Giai đoạn trƣớc thế kỉ VII trƣơc Công nguyên chỉ có các tri thức toán học kinh nghiệm, hoàn toàn chƣa có tri thức toán học suy diễn. Phải đến khi Thalet phát biểu những kiến thức toán thành các mệnh đề, định lí và đƣa ra sự lí giải, chứng minh cho các kết luận trong các

mệnh đề, định lí đó thì toán học với tƣ cách là khoa học suy diễn mới thực sự ra đời. Phƣơng pháp suy diễn dần trở thành phƣơng pháp đặc thù của toán học. Cho đến khi Ơclit viết sách Cơ bản thì việc trình bày kiến thức toán (chủ yếu là kiến thức hình học) bằng phƣơng pháp tiên đề đã làm cho diện mạo của toán học có một dáng vẻ mới. Mặc dù có nhiều hạn chế, nhƣng sách Cơ bản của Ơclit trong một thời gian dài đã đƣợc xem nhƣ là mẫu mực cho cách trình bày tri thức toán. Trong giai đoạn toán học cao cấp cổ điển, việc nghiên cứu toán học đạt đến trình độ cao, đòi hỏi phải trình bày tri thức toán học một cách chặt chẽ hơn, chính xác hơn và nhiều vấn đề nảy sinh do sự thiếu rõ ràng của cách trình bày toán học theo Ơclit. Với nhiều cố gắng bền bỉ, phƣơng pháp tiên đề cũng dần đƣợc hoàn thiện. Đến cuối thế kỉ XIX, Hinbe đã đƣa ra một hệ tiên đề cho hình học và đƣợc xem là đã thỏa mãn các yêu cầu về sự rõ ràng, chính xác. Tinh thần chung của phƣơng pháp tiên đề dùng để xây dựng một lý thuyết toán học bao gồm các phần sau đây:

- Phần thứ nhất: Tiên đề hóa về mặt suy luận chung, tức là tiên đề hóa phần kiến thức logic toán. Trong phần này, thay vì xây dựng logic toán dựa theo ngữ nghĩa, ngƣời ta đã xây dựng một kiến thức logic dựa vào hình thức, dựa vào cú pháp. Việc xây dựng cú pháp nhƣ vậy phài dựa vào một bảng kí hiệu quy định sẵn (đóng vai trò các khái niệm cơ bản), đƣa ra những quy tắc mang tính hình thức tạo ra dối tƣợng chính của lôgic là các công thức. Trong số các công thức lập đƣợc ngƣời ta chọn một số tối thiểu các công thức đƣợc thừa nhận là đúng (các tiên đề). Trên cơ sở đó xây dựng nên hệ thống tri thức về lôgic toán xây dựng dựa vào cú pháp, văn phạm quy định mang tính hình thức. Đây là thành phần cơ sở suy luận chung cho mọi lí thuyết toán học. Việc xây dựng logic toán nhƣ vậy tránh đƣợc các yếu tố cảm tính, trực giác do sự nhận thức nội dung ngữ nghĩa tạo nên. Tuy nhiên, nhƣợc điểm lớn nhất của nó là quá xa lạ, quá trừu tƣợng, nên khó tiếp thu đối với những ngƣời mới bƣớc đầu làm quen với logic toán. Trong thực tế, khi xây dựng logic toán theo tiên đề ngƣời ta cũng đã cố gắng sao cho nó phù hợp với thực tiễn, phù hợp với cách tiếp cận theo ngữ nghĩa, tức là những gì đã dùng theo ngữ nghĩa vẫn đúng theo cách xây dựng dựa

vào cú pháp.

- Phần thứ hai: Hệ tiên đề riêng cho từng lí thuyết toán học. Trong phần này, nhất thiết phải có một hệ thống các khái niệm nguyên thủy (khái niệm cơ bản) không định nghĩa và là cơ sở, là xuất phát điểm để định nghĩa các khái niệm khác của lí thuyết toán học đƣợc xây dựng. Cùng với các khái niệm nguyên thủy phải có một hệ thống khẳng định đƣợc thừa nhận là đúng mà không qua chứng minh. Đó là các tiên đề riêng của lí thuyết toán học. Trên cơ sở những khái niệm nguyên thủy, các tiên đề chung và riêng của lí thuyết toán học đƣợc xây dựng ngƣời ta định nghĩa các khái niệm, chứng minh các khẳng định đƣợc phát biểu thành các định lí, mệnh đề. Việc chứng minh tuân thủ theo các quy tắc suy luận đã đƣợc xây dựng trong phần thứ nhất.

2.3.2. Hệ tiên đề của một số lí thuyết toán học

2.3.2.1. Số học các số tự nhiên xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề

Để tiên đề hóa phần nội dung số học, đầu tiên ta phải đƣa ra một hệ thống khái niệm cơ bản (không định nghĩa) và hệ thống tiên đề. Sau đó là phần định nghĩa các khái niệm mới, phát biểu và chứng minh các định lí. Chẳng hạn, với hệ tiên đề Pêano ta có:

- Khái niệm cơ bản: Có hai khái niệm cơ bản là số tự nhiên (kí hiệu bởi các chữ thƣờng); số tự nhiên đi liền sau một số tự nhiên n (kí hiệu n').

- Kí hiệu tập hợp tất cả các số tự nhiên là .

- Chú ý rằng, quy ƣớc này chỉ để cho việc trình bày đƣợc ngắn gọn chứ không phải là khái niệm cơ bản.

- Tiên đề: Có 4 tiên đề, đó là: ( 1)P 0, x x,( '0), tiên đề ( 1)P thừa nhận tồn tại số tự nhiên không đi liền sau số tự nhiên nào, kí hiệu số này là số 0.

( 2)P   x, y, z,(( 'y x)( 'z x)(y x)), tiên đề ( 2)P thừa nhận mỗi số tự nhiên đi liền sau không quá một số tự nhiên.

( 3)P   x, y, z,(( 'x  y)( 'x  z) (yz)), tiên đề (P3) thừa nhận đi liền sau mỗi số tự nhiên chỉ một số tự nhiên.

( 4)P thừa nhận rằng: Giả sử M là một tập hợp con của N sao cho hai điều kiện sau thỏa mãn:

( )i M chứa số tự nhiên 0;

( )ii Nếu Mchứa số tự nhiên k thì M cũng chứa 'k , khi đó M chính là N. Chỉ với hai khái niệm cơ bản và bốn tiên đề trên ta định nghĩa đƣợc tất cả các khái niệm về số tự nhiên và suy ra đƣợc tất cả định lí về hệ thống số tự nhiên. Chẳng hạn, định nghĩa phép cộng các số tự nhiên có thể đƣa ra nhƣ sau:

0 ,

 

a a a b' (ab) '; phép nhân các số tự nhiên có thể định nghĩa bởi: .00,

a . 'a b a b a.  . Có thể chứng minh đƣợc a 0 a nhờ sử dụng định nghĩa phép cộng và tiên đề ( 4)P ,…

2.3.2.2. Hệ thống số thực xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề

Cũng giống nhƣ khi xây dựng số học các số tự nhiên, ta cũng lấy hệ toán vị từ suy rộng làm phần thứ nhất (phần tiên đề hóa về suy luận) để xây dựng hệ thống số thực bằng phƣơng pháp tiên đề. Phần thứ hai gồm có:

- Khái niệm cơ bản: Có bốn khái niệm cơ bản là: số thực (kí hiệu bởi chữ thƣờng), phép cộng (kí hiệu bởi +), phép nhân (kí hiệu bởi .), quan hệ (kí hiệu bới ). Tập hợp tất cả các số thực đƣợc kí hiệu bởi .

- Hệ thống các tiên đề: Có 6 nhóm + Nhóm I có 4 tiên đề về phép cộng: Tiên đề I1: a, b a,(   b b a); Tiên đề I2:  a, b, c a(   (b c) (a b) c); Tiên đề I3: 0, a a,(  0 a); Tiên đề I4:  a b a b, ,(  0).

Từ nhóm tiên đề I ta chứng minh đƣợc 0 nói trong tiên đề I3 là duy nhất; với mỗi số thƣc a, số b nói trong I4 là duy nhất. Số b ứng với số a đó đƣợc kí hiệu là a.

Từ đây ta định nghĩa đƣợc phép trừ, kí hiệu bởi dấu “” nhƣ sau:

Định nghĩa: Ta gọi a ( b) là hiệu của số a với số b và kí hiệu là ab. + Nhóm II có 4 tiên đề về phép nhân:

Tiên đề II1: a, b a b,( . b a. );

Tiên đề II2:  a, b, c a b c( .( . )( . ). );a b c

Tiên đề II3: 1, a a,( .1a); Tiên đề II4:   a 0, b a b,( . 1).

Từ nhóm tiên đề II ta chứng minh đƣợc số 1 nói trong II3 là duy nhất, số

c ứng với số a trong II4 là duy nhất. Số c này đƣợc kí hiệu là a1. Từ đây ta cũng chứng minh đƣợc phép chia cho số thực khác 0.

+ Nhóm III có một tiên đề về tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:  a, b, c a b c,( .(  ) a b a c.  . ).

Từ đây ta chứng minh đƣợc phép nhân phân phối đối với phép trừ và có các đẳng thức: .0 0.a  a0; (a b).  a b. a.(b); (a).( b) a b. .

+ Nhóm IV ó 5 tiên đề về quan hê :

Tiên đề IV1:   a, b, c,((a   b) (b c) (ac)), tiên đề này thừa nhận  có tính chất bắc cầu.

Tiên đề IV2:  a, b,((a  b) (b a)(ab)), tiên đề này thừa nhận  có tính chất phản đối xứng (không nghiêm ngặt).

Tiên đề IV3:  a, b,((a  b) (b a)), tiên đề này thừa nhận  có tính chất tuyến tính (tức là quan hệ toàn phần).

Tiên đề IV4:   a, b, c,((a    b) (a c b c)), tiên đề này thừa nhận  có tính chất ổn định đối với phép cộng vào cùng một số.

Tiên đề IV5:  a, b,((0a) (0   b) (0 a b. )), tiên đề này thừa nhận  có tính chất ổn định đối với phép nhân các số không âm.

Từ đây định nghĩa đƣợc ab; ab; ab. Ta cũng chứng minh đƣợc 

a b khi và chỉ khi a b 0, chứng minh đƣợc quy tắc chuyển vế, quy tắc giản ƣớc số hạng chung ở hai vế,… Ta cũng định nghĩa đƣợc khái niệm số thực dƣơng và chứng minh đƣợc tập số thực dƣơng khép kín đối với phép cộng và phép nhân.

đƣợc gọi là tập quy nạp nếu 0A và hễ aA thì a 1 A. Ta chứng minh đƣợc giao của một họ khác rỗng tùy ý các tập quy nạp trong là một tập hợp quy nạp trong . Ta định nghĩa tập hợp số tự nhiên là giao của tất cả các tập hợp quy nạp của và kí hiệu là .

Ta cũng định nghĩa đƣợc phần tử lớn nhất, phần tử bé nhất, phần tử cực đại, phần tử cực tiểu của một tập con trong , định nghĩa khái niệm lát cắt trong tập hợp số thực , biên của lát cắt trong .

+ Nhóm V có một tiên đề (Tiên đề Đêđêkin): Lát cắt trong luôn có biên. + Nhóm VI có một tiên đề (Tiên đề Acsimet):

, ((0 ) ,( . )).

 a b b   n N an b

Với sáu nhóm tiên đề trên ta có thể định nghĩa đƣợc mọi khái niêm về số thực và chứng minh đƣợc tất cả các tính chất của số thực.

2.3.2.3. Hệ tiên đề của Lí thuyết nhóm

Phần tiên đề riêng của lí thyết nhóm bao gồm một tập hợp G  mà các phần tử của nó kí hiệu bởi các chữ cái. Một vị từ riêng biểu thị cho phép toán trên G kí hiệu bởi dấu . Đó là những khái niệm nguyên thủy.

Các tiên đề của nhóm gồm có (G1), (G2), (G3) nhƣ sau:

1 (G )   a, b, c a,(     (b b) (a b) c); 2 (G )  e, a a e,(  a); 3 (G )  a b b a, ,(  e).

2.3.2.4. Hệ tiên đề của cấu trúc vành và cấu trúc trƣờng

Để xây dựng khái niệm vành và khái niệm trƣờng, ngƣời ta sử dụng một kí hiệu R (hoặc F) cùng hai kí hiệu , . để chỉ phép toán (đây chính là các vị từ riêng) xem nhƣ khái niệm nguyên thủy. Hệ tiên đề riêng của vành và hệ tiên đề riêng của trƣờng đƣợc đƣa vào nhƣ sau:

- Hệ tiên đề riêng của vành (các biến tử nhận giá trị trong R): 1

( )V   x, y, z (x(y z) (xy)z) (phép cộng có tính chất kết hợp). 2

(V )  x, y (x  y y x) (phép cộng có tính chất giao hoán). 3

4

(V )  x y, (x y 0) (mỗi phần tử đều có phần tử đối xứng theo phép cộng).

5

( )V   x, y, z ( .( . )x y z ( . ). )x y z (phép nhân có tính chất kết hợp). 6

(V )   x, y, z (( .(x y z) x y. x z. ))((yz x).  y x. z x. )) (phép nhân phân phối đối với phép cộng cả hai phía phải và trái).

- Hệ tiên đề riêng của trƣờng (các biến tử nhận giá trị trong F): 1

( )T   x, y, z (x(y z) (xy)z) (phép cộng có tính chất kết hợp). 2

(T )  x, y (x  y y x) (phép cộng có tính chất giao hoán). 3

( )T 0, x (x 0 x) (tồn tại phần tử trung hòa đối với phép cộng). 4

(T )  x y, (x y 0) (mỗi phần tử đều có phần tử đối xứng theo phép cộng).

5

( )T   x, y, z ( .( . )x y z ( . ). )x y z (phép nhân có tính chất kết hợp). 6

( )T  x, y ( .x y  y x. ) (phép nhân có tính chất giao hoán). 7

(T ) 1, x ( .1x  x) (tồn tại phần tử đơn vị đối với phép nhân). 8

( )T   x, y, z (( .(x y z) x y. x z. )) (phép nhân phân phối đối với phép cộng).

9

(T ) x (x0) (có ít nhất hai phần tử)(T10) x ((x  0) y x y( . 1)) (mỗi phần tử khác 0 đều có phần tử nghịch đảo đối với phép nhân).

2.3.2.5. Hệ tiên đề của không gian vecto trên trƣờng F

Để xây dựng khái niệm không gian vectơ trên một trƣờng Fta dùng kí hiệu , ,.

V và hai loại biến tử: một loại nhận giá trị trong V và một loại nhận giá trị trong F. Các biến tử thuộc Fđƣợc gọi là các vô hƣớng và luôn viết bên trái trong các tích với phần tử của V . Trong tiên đề sau đây, chúng ta ghi rõ miền biến thiên của các biến tử trong dấu lƣợng từ. Hệ tiên đề riêng gồm có tám tiên đề.

1

(K )      x V, y V, z V (x(y z) (x y)z) (phép cộng trên V có tính chất kết hợp).

2

3

(K ) 0   V, x V (x 0 x) (tồn tại phần tử trung hòa đối với phép cộng trên V ).

4

(K )    x V, y V (x y 0) (mỗi phần tử thuộc V đều có phần tử đối xứng đối với phép cộng trên V ).

5

(K )      x V, y V, k F (( .(k x y)k x. k y. )) (phép nhân phân phối đối với phép cộng trong V ).

6

(K )      k F, l F, x V ((kl x). )( .k xl x. ) (phép nhân vô hƣớng với phần tử của V có tính chất phân phối bên trái đối với phép cộng trong F).

7

(K )      k F, l F, x V ( .( . )k l x ( . ). )k l x (phép nhân vô hƣớng với phần tử của V có tính chất kết hợp).

8

(K ) x ( .l x x) (điều kiện unita).Khi F là trƣờng số thực hay trƣờng số phức ta có khái niệm không gian vectơ thực hay không gian vectơ phức tƣơng ứng.

2.3.3. Các hệ tiên đề đƣợc dùng để xây dựng kiến thức hình học ở trƣờng phổ thông phổ thông

Về mặt lịch sử, phƣơng pháp tiên đề Ơclit sử dụng lần đầu tiên để xây dựng môn Hình học trong tác phẩm Cơ bản vào khoảng 300 năm trƣớc Công nguyên. Trong sách này Ơclit trình bày kiến thức hình học bắt đầu bằng một số tiên đề và định đề, sau đó suy ra các định lí. Ơclit không đƣa ra hệ thống các khái niệm nguyên thủy mà dƣờng nhƣ ông có ý định định nghĩa tất cả các khái niệm. Và đây cũng là chỗ yếu nhất của cuốn sách. Thực tế không thể định nghĩa đƣợc mọi khái niệm. Do đó, các định nghĩa mà Ơclit đƣa ra hoặc là chỉ mô tả mang tính trực quan hóa hoặc là thiếu tƣờng minh. Qua nghiên cứu, ngƣời ta nhận thấy các định đề là những phát biểu có nội dung hình học, còn các tiên đề là những khẳng định mang tính chất chung của suy luận. Hệ thống tiên đề và định đề trong sách Cơ bản của Ơclit cũng có chỗ chƣa hoàn chỉnh: một số thừa và một số lĩnh vực còn thiếu những tiên đề hay định đề làm cơ sở suy luận ra các kết quả. Vì những thiếu sót đó, nên mặc dù đƣợc đánh giá là một cuốn sách mẫu mực, tiên phong trong việc xây dựng lí thuyết toán học bằng phƣơng pháp tiên

đề, nhƣng trong quá trình phát triển toán học ngƣời ta phải đặt ra vấn đề xem xét lại một cách tổng thể hệ tiên đề của hình học.

Đầu thế kỉ XX nhà toán học Đức Hinbe khắc phục những thiếu sót của hệ tiên đề của Ơclit và đƣa ra một hệ tiên đề giải quyết đƣợc các yêu cầu đặt ra. Hệ tiên đề này thƣờng đƣợc gọi là hệ tiên đề Hinbe.

2.3.3.1. Hệ tiên đề Hinbe

Cuối thế kỉ XIX, Hinbe đƣa ra hệ tiên đề ngắn gọn và đầy đủ của hình học Ơclit. Hệ tiên đề Hinbe sử dụng các khái niệm cơ bản là điểm, đƣờng thẳng, mặt phẳng và các tƣơng quan có bản là thuộc (điểm thuộc đƣờng thẳng, điểm thuộc mặt phẳng), ở giữa (điểm ở giữa hai điểm cùng thuộc một đƣờng thẳng), bằng (đoạn thảng, góc). Có năm nhóm tiên đề:

- Nhóm 1 gồm tám tiên đề về tƣơng quan cơ bản thuộc:

+ Tiên đề 1.1: Bất cứ hai điểm ,A B phân biệt nào cũng có một đƣờng thẳng thuộc mỗi điểm đó.

+ Tiên đề 1.2: Bất cứ hai điểm ,A B phân biệt nào cũng có không quá một đƣờng thẳng thuộc mỗi điểm đó.

+ Tiên đề 1.3: Mỗi đƣờng thẳng thuộc ít nhất hai điểm. Có ba điểm không cùng thuộc một đƣờng thẳng.

+ Tiên đề 1.4: Bất cứ ba điểm A B C, , nào cũng có một mặt phẳng thuộc mỗi điểm ấy. Mỗi mặt phẳng có ít nhất một điểm thuộc nó.

+ Tiên đề 1.5: Bất cứ ba điểm , ,A B C nào không cùng thuộc một đƣờng thẳng cũng có không quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm ấy.

+ Tiên đề 1.6: Nếu hai điểm ,A B phân biệt thuộc đƣờng thẳng a và ,A B

thuộc mặt phẳng ( )P thì mọi điểm thuộc đƣờng thẳng a đều thuộc mặt phẳng ( )P .

+ Tiên đề 1.7: Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thì chúng cùng thuộc một điểm B khác điểm A.

+ Tiên đề 1.8: Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. - Nhóm 2 gồm bốn tiên đề về tƣơng quan cơ bản ở giữa:

+ Tiên đề 2.1: Nếu điểm B ở giữa điểm A và điểm C thì ba điểm , ,

A B Ccùng thuộc một đƣờng thẳng và điểm B ở giữa điểm C và điểm A. + Tiên đề 2.2: Cho bất kì hai điểm phân biệt ,A C nào cũng có ít nhất một điểm B thuộc đƣờng thẳng AC sao cho C ở giữa Avà B.