6 Phương pháp tích phân theo thời gian trong phân tích bà
2.10Sự phụ thuộc của biên độ dao động điều hòa vào tần số tả
Nghiệm của (2.61) là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng: u(t) = p0 k 1 1− ω2 ω2
sinωt+Acosωt+Bsinωt (2.68) Hai hằng số A và B được xác định từ điều kiện ban đầu. Từ phương trình mô tả chuyển vị của hệ, ta thấyu(t)bao gồm 2 thành phần dao động riêng biệt:
• Thành phần chứasinωt: dao động do tải trọng điều hòa gây ra. • Thành phần chứasinωt và cosωt: dao động tự do của hệ.
Thành phần thứ nhất còn gọi là dao động cưỡng bức hay trạng thái dao động ổn định vì lực tác dụng không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu. Thành phần thứ hai mô tả trạng thái dao động tạm thời, trạng thái này phụ thuộc vào chuyển vị và vận tốc ban đầu. Trong thực tế, đối với các hệ dao động, lực cản luôn tồn tại và nó làm cho dao động tự do tắt dần theo thời gian. Đó chính là lí do mà trạng thái thứ hai được gọi là trạng thái dao động tạm thời. Trạng thái dao động ổn định có thể được viết lại dưới dạng dao động điều hòa với biên độ u0 và pha θ tại thời điểm ban đầu t= 0:
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 31 trong đó u0 luôn có giá trị dương, được gọi là biên độ của dao động
u0 = (ust)0Rd (2.70)
(ust)0 là chuyển vị tĩnh lớn nhất, do tải trọng tĩnh p = p0 tác dụng trên hệ gây ra (ust)0 = p0 k (2.71) Rd gọi là hệ số động Rd= 1 |1− ω2 ω2| (2.72)
Dễ dàng nhận thấy u0 =|C|, góc phaθ nhận một trong hai giá trị sau:
θ=
0 nếu ω < ω π nếu ω > ω
Trên hình 2.11 biểu diễn sự thay đổi của hệ số động Rd theo tỉ số ω/ω. Khi
ω/ω nhỏ thì Rd xấp xỉ bằng 1, biên độ của dao động cũng xấp xỉ bằng biến dạng tĩnh. Khi ω/ω > √
2 thì Rd< 1, biên độ dao động nhỏ hơn biến dạng tĩnh. Khi tỉ số ω/ω ngày càng tăng thìRd càng nhỏ đi và tiệm cận tới 0 khi
ω/ω → ∞. Khi tỉ số ω/ω gần với giá trị 1 thì Rd lớn hơn nhiều lần so với 1, hay nói cách khác, biên độ dao động lớn hơn nhiều lần so với biến dạng tĩnh.
Ví dụ 2.2: Xét dầm một đầu ngàm có khối lượng tập trung tại đầu tự do như hình 2.12. Bỏ qua khối lượng của dầm so với khối lượng tập trung m. Dầm có chiều dài l và độ cứng chống uốn EI. Khối lượng chịu tác dụng của tải trọng động p(t) = p0sinωt. Viết phương trình dao động ở trạng thái ổn định. Xác định độ võng lớn nhất của dầm.
Lời giải: Độ cứng của hệ:
k = 3EI L3 Tần số dao động riêng: ω = r k m = r 3EI mL3
Hình 2.11: Sự thay đổi của hệ số động Rd và góc lệch pha θ theo tỉ số ω/ω Hệ số động: Rd= 1 1− ω2 ω2 = 1 1− ω2mL3 3EI Phương trình dao động ở trạng thái ổn định:
up(t) = p0L
3
3EIRdsinωt
Độ võng lớn nhất của dầm (tại vị trí khối lượng m)
umax =um+udp = mgL
3
3EI + p0L3
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 33
Hình 2.12: Ví dụ hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng điều hòa
Ví dụ 2.3: Xét hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng động như hình 2.13a. Khối lượng m có trọng lượng 30kN. Tải trọng động có biên độ
p0 = 10kN, tần số của tải trọng điều hòa ω = 30rad/s. Module đàn hồi Young E = 2,1×108kN/m2, moment quán tính I = 78×10−6m4. Vẽ biểu đồ moment uốn động của khung.
Lời giải: Độ cứng của hệ: Cho "lực" k tác dụng tại vị trí khối lượng theo phương dao động. Biểu đồ moment như hình 2.13b. Tính chuyển vị của khối lượng do "lực" k gây ra bằng cách nhân biểu đồ moment Mb và Mc. Cho chuyển vị này bằng 1 ta xác định được độ cứng k: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
k = 24EI 23 Tần số dao động riêng: ω = r k m = r 24EI 23m = r 9,81×24×2,1×108×78×10−6 23×30 = 74,76rad/s Hệ số động: Rd= 1 1−ω2 ω2 = 1 1− 30 74,76 2 = 1,192
Tải trọng tĩnh tương đương 7
peq=p0×Rd= 10×1,192 = 11,92kN
7Tải trọng tĩnh tương đương là tải trọng gây ra biến dạng bằng biến dạng lớn nhất do tải trọng động gây ra. Khi đã xác định được tải trọng tĩnh tương đương, bài toán được tính như bài toán tĩnh chịu tác dụng củapeq.
Hình 2.13: Ví dụ xác định biểu đồ moment uốn động hệ một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng điều hòa
Biểu đồ moment uốn động được biểu diễn trên hình 2.13d.
Hiện tượng cộng hưởng: Tần số cộng hưởng được định nghĩa là tần số của tải trọng tác dụng mà ứng với tần số đó Rd đạt giá trị cực đại. Đối với hệ không xét đến lực cản, tần số cộng hưởng bằng tần số dao động riêng ω
và Rd =∞. Tuy nhiên, chuyển vị của hệ không trở thành vô cùng lớn ngay lập tức.
Nếuω =ω, dạng nghiệm (2.63) không còn đúng nữa vì nó là một phần của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Chúng ta tìm nghiệm riêng dưới dạng sau: up(t) = Ctcosωt. Thay vào (2.61) và giải phương trình ta tìm được hằng số tích phân
C=−p0
2.6. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC HỆ MỘT BẬC TỰ DO 35