6 Phương pháp tích phân theo thời gian trong phân tích bà
6.1.1 Phương pháp sai phân đúng tâm
Phương pháp sai phân đúng tâm dựa trên việc xấp xỉ vận tốc và gia tốc bằng các sai phân hữu hạn các giá trị chuyển vị tại các thời điểm. Theo hình 6.1 ta có:
un−1/2 = un−1+un
2 ; un+1/2 =
un+un+1
2 (6.1)
Vận tốc của hệ tại thời điểmtn được biểu diễn bằng sai phân hữu hạn:
˙
un= un+1/2−un−1/2
∆t (6.2)
Thay các giá trị trong (6.1) vào (6.2) ta thu được biểu thức vận tốc tại thời điểm tn:
˙
un= un+1−un−1
2∆t (6.3)
Vận tốc tại thời điểm tn−1/2 và tn+1/2:
˙
un−1/2 = un−un−1
∆t ; u˙n+1/2 =
un+1−un
6.1. HỆ TUYẾN TÍNH MỘT BẬC TỰ DO 95 Từ đó xác định được gia tốc tại thời điểm tn dựa vào sai phân hữu hạn:
¨
un= u˙n+1/2−u˙n−1/2
∆t =
un+1−2un+un−1
∆t2 (6.5)
Thay các biểu thức vận tốc (6.3) và gia tốc (6.5) vào phương trình cân bằng động học ta có:
mun+1−2un+un−1
∆t2 +cun+1/2−un−1/2
∆t +kun =pn (6.6)
Sau khi biến đổi phương trình trên, ta thu được:
m ∆t2 + c 2∆t ! un+1 =pn− m ∆t2 − c 2∆t ! un−1− k− 2m ∆t2 ! un (6.7) Biểu thức (6.7) được viết gọn lại như sau:
b kun+1 =pbn (6.8) trong đó: b k = m ∆t2 + c 2∆t (6.9) b pn = pn− m ∆t2 − c 2∆t ! un−1− k− 2m ∆t2 ! un (6.10)
Vận tốc tại thời điểm tn+1:
un+1 = pbn b
k (6.11)
Như vậy, để tính được chuyển vị un+1 tại thời điểm tn+1 ta cần biết các chuyển vị un−1 và un. Dựa vào biểu thức vận tốc (6.3) và gia tốc (6.5) tại thời điểm tn, ta xác định được chuyển vị un−1 như sau:
un−1 =un−∆tu˙n+∆t
2
2 u¨n (6.12)
Thay các giá trị chuyển vị, vận tốc, gia tốc tại thời điểm ban đầu t = 0, ta tìm được biểu thức tính chuyển vị tại thời điểm t−1:
u−1 =u0−∆tu˙0+ ∆t
2
Để phương pháp sai phân đúng tâm ổn định và cho kết quả chính xác ta phải chọn bước thời gian ∆t nhỏ hơn một giá trị tới hạn ∆tcr
∆t <∆tcr = T
π = 0,3183T (6.14)
trong đó: T là chu kỳ dao động của hệ.
Thuật toán tính dao động bằng phương pháp sai phân đúng tâm: 1. Điều kiện ban đầu:
u0 và u˙0
¨
u0 = p0−cu˙0−ku0
m
2. Chọn bước thời gian: ∆t <∆tcr =T /π
3. Tính các hằng số tích phân:
a0 = 1
∆t2 và a1 = 1 2∆t
4. Tính chuyển vị u−1 tại thời điểm t−1
u−1 =u0−∆tu˙0+∆t 2 2 u¨0 5. Tính độ cứng: bk=a0m+a1c 6. Tính vòng lặp: b pn =pn−(a0m−a1c)un−1−(k−2a0m)un un+1 =pbn/bk
Ví dụ 6.1: Tính dao động của hệ như hình 6.2, biết rằng khối lượng của hệm = 5×105kg, độ cứng k = 3×105kN/m và tham số tắt dần ξ = 0,05. Hệ chịu tác dụng của tải trọng động p(t) = 5000 sin(2πt)kN trong khoảng thời gian td= 0,5s.
6.1. HỆ TUYẾN TÍNH MỘT BẬC TỰ DO 97
Hình 6.2: Trụ cầu chịu tác dụng của tải trọng động (a), Tải trọng động (b)
Lời giải: Tần số dao động riêng của hệ:
ω= r k m = r 3×108 5×105 = 24,4949rad/s Chu kỳ dao động của hệ:
T = 2π
ω = 0,2565s
Hệ số cản:
c= 2mωξ= 1,2247×106N.s/m
Chọn bước thời gian ∆t = 0,05s < ∆tcr =T /π = 0,08s. Kết quả tính toán được cho trong bảng, cột cuối cùng là nghiệm chính xác được xác định theo công thức đã biết trong chương 2: hệ dao động một bậc tự do chịu tác dụng của tải trọng điều hòa.