Hàm lồi, hàm lõm có tính chất quan trọng được nêu trong định lý sau.
Định lý 3.1. ([2], tr. 67). Mọi điểm cực tiểu địa phương của hàm lồi f trên tập lồi S khác rỗng đều là điểm cực tiểu toàn cục. Tập Argminx∈Sf (x) là tập con lồi của S. Tương tự, mọi điểm cực đại địa phương của hàm lõm f trên tập lồi S 6= ∅ đều là điểm cực đại toàn cục. Tập Argmaxx∈Sf (x) là tập con lồi của S.
Với hàm lồi chặt, lõm chặt ta có tính chất đáng chú ý sau.
Định lý 3.2. ([2], tr. 67). Một hàm lồi chặt f trên tập lồi S có nhiều nhất một điểm cực tiểu trên S, nghĩa là tập Argminx∈Sf (x) gồm nhiều nhất một phần tử. Tương tự, một hàm lõm chặt f trên tập lồi S có nhiều nhất một điểm cực đại trên S, nghĩa là tập các điểm cực đại Argmaxx∈Sf (x) gồm không qúa một phần tử.
Chứng minh. Nếu hàm f có hai điểm cực tiểu khác nhau x1, x2 ∈ S thì do tính lồi chặt của f nên
f 1 2x 1 + 1 2x 2 < f x1 = f x2,
điều này không thể xảy ra!
Ví dụ 3.1. Hàm lồi chặt một biến f (x) = (x−1)2 có duy nhất một điểm cực tiểu x∗ = 1, trong khi đó hàm lồi chặt f (x) = ex+ 1(x ∈ R)
không có điểm cực tiểu nào.
Định lý 3.1 có thể mở rộng cho hàm tựa lồi chặt (xem Định nghĩa 2.2).
Định lý 3.3. ([4], tr. 139). Cho S là một tập lồi, khác rỗng trong Rn và
f : Rn →R là một hàm tựa lồi chặt. Mọi điểm cực tiểu địa phương của
f trên S đều là điểm cực tiểu toàn cục.
Chứng minh. Giả sử x¯ ∈ S là một điểm cực tiểu địa phương của f trên
S. Nếu x¯ không là cực tiểu toàn cục trên S thì tìm được xˆ ∈ S sao cho
f(ˆx) < f(¯x). Do S lồi nên λxˆ+ (1−λ) ¯x ∈ S với mọi λ ∈ (0,1). Do x¯ là cực tiểu địa phương nên f(¯x) ≤ f[λxˆ + (1−λ)¯x]với mọi λ ∈ (0, δ),trong đó δ > 0 đủ nhỏ. Nhưng vì hàm f tựa lồi chặt và f(ˆx) < f(¯x). nên ta có f[λ xˆ+ (1−λ)¯x] < f(¯x) với mọi λ ∈ (0,1). Điều này trái với x¯ là cực tiểu địa phương và vì thế định lý được chứng minh.
Định lý sau cho thấy với hàm tựa lồi mạnh, cực tiểu toàn cục là duy nhất.
Định lý 3.4. ([4], tr. 141). Cho f : Rn → R là hàm tựa lồi mạnh. Xét bài toán min{f (x) : x ∈ S}, trong đó S là tập lồi khác rỗng trong Rn. Nếu x¯ là một nghiệm cực tiểu địa phương thì x¯ là nghiệm cực tiểu toàn cục duy nhất của bài toán.
Chứng minh. Vì x¯ là nghiệm cực tiểu địa phương nên tồn tại lân cận
Nε(¯x) của x¯ sao cho f (x) ≥ f(¯x) với mọi x ∈ S∩Nε(¯x). Giả sử kết luận của định lý không đúng, tức là tồn tại điểm xˆ ∈ S sao cho xˆ 6= ¯x và
f(ˆx) < f(¯x). Do f tựa lồi mạnh nên
f[λxˆ + (1−λ)] < max{f(ˆx), f(¯x)} = f(¯x) với mọi λ ∈ (0,1).
Nhưng với λ > 0 đủ nhỏ thì λxˆ + (1−λ) ∈ S∩Nε(¯x). Do đó bất đẳng thức trên mâu thuẫn với x¯ là nghiệm cực tiểu địa phương và vì thế định
lí được chứng minh.
Về cực đại của hàm lồi ta chú ý tới tính chất sau.
Định lý 3.5. ([5], tr. 702). Giả sử S là một tập lồi compac trong Rn và
f : S →R là một hàm lồi. Khi đó, nếu f đạt cực đại trên S thì cực đại sẽ đạt tại một điểm cực biên của S.
Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng hàm f đạt cực đại tại một điểm biên của S. Giả sử x∗ ∈ S là điểm tại đó f đạt cực đại trên S. Nếu x∗
không phải điểm biên của S thì ta đặt
là đường thẳng đi qua x∗, trong đó d ∈ Rn là véctơ với các toạ độ dương. Khi đó, sử dụng tính lồi và tính compac của S, ta thấy rằng tập S ∩ L
là tập có dạng
{x∗ + λd : λ1 ≤ λ ≤ λ2}
với các số λ2 > 0 và λ1 < 0 nào đó và véctơ
¯
x = x∗ +λ1d
là một điểm biên của S. Nếu f(¯x) < f(x∗) thì từ tính lồi của f ta có
f (x∗) ≤ λ2 λ2 −λ1f(¯x) + 1− λ2 λ2 −λ1 f(x∗ +λ2d) < λ2 λ2 −λ1f (x ∗ ) + 1− λ2 λ2 −λ1 f(x∗ +λ2d).
Từ đó f (x∗) < f(x∗ +λ2d) Điều này trái với x∗ là cực đại của f trên
S và do đó f(¯x) = f (x∗), nghĩa là ta đã chỉ ra rằng cực đại của f đạt tại điểm biên x¯ ∈ S.
Nếu x¯ là điểm cực biên của S thì định lý được chứng minh xong. Trái lại, ta xét một siêu phẳng H đi qua x¯và để S ở một phía của nửa không gian sinh bởi H. Theo giải tích lồi, tương giao T1 = S ∩ H là một tập lồi compac và giao này nằm trong tập afin M1 có thứ nguyên (số chiều)
n−1. Hơn nữa, f đạt cực đại trên T1 tạix¯. Lập luận tương tự như trước đây, f cũng đạt cực đại tại một điểm biên x1 của T1. Nếu x1 là điểm cực biên của T1 thì như đã biết trong giải tích lồi, x1 cũng sẽ là một điểm cực biên của S và định lý được chứng minh. Nếu trái lại (x1 không phải là điểm cực biên của T1) thì ta xem M1 như không gian (n−1) chiều và xây dựng T2 là giao của T1 với một siêu phẳng của T1 trong M1 đi qua
x1 và để T1 ở một phía của nửa không gian tạo bởi siêu phẳng đó. Siêu phẳng này có số chiều bằng (n−2). Lặp lại quá trình này nhiều nhất
n lần, cho đến khi nhận được tập Tn gồm duy nhất một phần tử. Đó là điểm cực biên của Tn, do đó là điểm cực biên của Tn−1, ..., bằng cách áp dụng nhiều lần suy luận này ta thấy đó cũng là điểm cực biên của S.
Định lý được chứng minh.
Định lý sau cho thấy một hàm tựa lồi (do đó hàm lồi) đạt cực đại trên một đa diện lồi (khác rỗng) tại một đỉnh của đa diện đó.
Định lý 3.6. ([4], tr. 136). Giả sử S 6= ∅ là một tập lồi đa diện bị chặn trong Rn và f : S → R là hàm tựa lồi và liên tục trên S. Khi đó, f đạt cực đại trên S tại một đỉnh của S.
Chứng minh. Do hàm f liên tục trên tập compac S nên f phải đạt cực đại trên S, chẳng hạn tại điểm x∗ ∈ S. Nếu tồn tại đỉnh x¯ ∈ Svới
f(¯x) = f (x∗) thì định lý được chứng minh. Trái lại, giả sử x1, ..., xk là các đỉnh của S và f xi< f (x∗) với mọi i = 1, ..., k. Tương tự Định lý 1.1, ta có biểu diễn x∗ = k X i= 1 λixi với λi ≥0, i= 1, ..., k, và k X i= 1 λi = 1.
Do f (x∗) > f xi với mọi i = 1, ..., k nên
f (x∗) > max
1≤i≤kf xi = α. (3.1) Xét tập Sα = {x : f (x) ≤ α}. Để ý là xi ∈ Sαvới mọi i = 1, ..., k và theo giả thiếtf tựa lồi nên Sα là một tập lồi. Do đó x∗ = Pk
i=1λixi ∈ Sα. Suy ra f (x∗) ≤ α , trái với 3.1. Điều này chứng tỏ f (x∗) = f xi với
một đỉnh xi nào đó của S.
Từ Định lý 2.7 (Chương 2) suy ra các hệ quả đáng chú ý sau đây về hàm phân thức afin f(x) = (pTx+α)/(qTx+β):
1. Do hàm f(x) vừa giả lồi vừa giả lõm nên theo Định lý 2.4 (Chương 2), f(x) cũng đồng thời là hàm tựa lồi, tựa lõm, tựa lồi chặt và tựa lõm chặt.
2. Do hàm f(x) vừa tựa lồi chặt vừa tựa lõm chặt nên theo Định lý 3.3 điểm cực tiểu (cực đại) địa phương cũng là điểm cực tiểu (cực đại) toàn cục trên tập lồi khác rỗng bất kỳ.
3. Hàm f(x) vừa giả lồi vừa giả lõm nên theo Định lý 4.3.8 ([4], tr. 207), điểm thỏa mãn điều kiện KKT cho bài toán cực tiểu cũng là điểm cực tiểu toàn cục trên tập lồi khác rỗng bất kỳ. Tương tự, điểm thỏa mãn điều kiện KKT cho bài toán cực đại cũng là điểm cực đại toàn cục trên tập lồi khác rỗng bất kỳ.
4. Do hàm f(x) tựa lõm (tựa lồi) nên theo Định lý 3.5 , f(x) đạt cực tiểu (cực đại) trên tập lồi compac khác rỗng tại một điểm cực biên của
tập lồi đó. Nói riêng, f(x) đạt cực tiểu (cực đại) trên đa diện lồi tại một đỉnh của đa diện đó.
Các hệ quả nêu trên về hàm phân thức afin f(x) cho thấy rằng nếu bài toán qui hoạch phân tuyến tính min{f(x) : x ∈ D} với D là tập lồi đa diện, có nghiệm tối ưu thì nó cũng có nghiệm cực biên tối ưu, nghĩa là có thể tìm nghiệm tối ưu trong số các đỉnh của tập lồi đa diện D. Do vậy, phương pháp đơn giản là đi từ một đỉnh của D, qua đỉnh kề nó, cho tới khi gặp đỉnh thỏa mãn điều kiện KKT thì dừng lại và đó là đỉnh tối ưu.