Hàm phân thức afin thường gặp trong các bài toán tối ưu. Hàm này có dạng f(x) = p(x) q(x) = pTx+α qTx+β, trong đó p, q ∈ Rn, α, β ∈ Rvà domf = {x ∈ Rn :qTx+β > 0}.
Ký hiệu S là tập lồi sao cho q(x) = qTx+β 6= 0 với mọi x ∈ S. Nếu
q(x) có dấu khác nhau trên S, tức là có x1, x2 ∈ S sao cho qTx1 +β > 0
và qTx2 + β < 0 thì do hàm q(x) liên tục nên tồn tại x ∈
x1, x2, tức
x ∈ S, sao cho q(x) = 0. Vì thế, không giảm tổng quát, ta có thể giả thiết q(x) > 0 với mọi x ∈ S. Trường hợp q(x) < 0 với mọi x ∈ S thì nhân cả tử số p(x) và mẫu sốq(x) của hàm f(x) với (- 1) sẽ có q(x) > 0. Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương của hàm phân thức afin.
Định lý 2.6. ([3], tr. 78). f(x) = p(x)/q(x) là hàm đơn điệu trên mỗi đoạn thẳng nằm trọn trong tập lồi S = {x :qTx+β > 0}.
Chứng minh. Lấy hai điểm tùy ý a ∈ S, b ∈ Svà tính giá trị hàm f tại điểm x bất kỳ trên đoạn thẳng nối a và b, tức là x = λa+ (1−λ)b với
0≤ λ ≤ 1. Ta thấy
f(x) = p[λa+ (1−λ)b]
q[λa + (1−λ)b] =
λp(a) + (1−λ)p(b)
λq(a) + (1−λ)q(b).
Đạo hàm của f theo λ:
df(x) dλ = 1 q2(x) × p(a) p(b) q(a) q(b) = p(a)q(b)−p(b)q(a) q2(x) .
Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của biểu thức [p(a)q(b)−p(b)q(a)]. Vì thế, khi λ thay đổi trong đoạn [0,1] thì hàm f(x) hoặc tăng hoặc giảm hoặc đồng nhất bằng hằng số trên [a, b].
Định lý sau nêu một tính chất quan trọng khác của hàm phân thức afin.
Định lý 2.7. ([4], tr. 703). Giả sử f (x) = (pTx +α)/(qTx+β) và S là tập lồi sao cho (qTx+β) 6= 0 trên S. Khi đó, hàm f(x) vừa giả lồi, vừa giả lõm trên S.
Chứng minh. Ta để ý rằng hoặc qTx + β > 0 với mọi x ∈ S hoặc
qTx +β < 0 với mọi x ∈ S, vì nếu trái lại sẽ có x1 ∈ S, x2 ∈ S sao cho
qTx1 +β > 0 và qTx2 +β < 0, do đó sẽ có qTx+β = 0 với x là một tổ hợp lồi của x1 và x2, trái với giả thiết định lý.
Trước hết ta chứng minh f giả lồi. Thật vậy, giả sử x1, x2 ∈ S thỏa mãn ∇f x1T x2 −x1 ≥0. Ta cần chỉ rõ f x2 ≥ f x1. Ta có ∇f x1 = (q Tx1 +β)p−(pTx1 +α)q (qTx1 +β)2 . Do ∇f x1T x2 −x1 ≥0 và do (qTx1 + β)2 > 0 nên 0 ≤ [(qTx1 +β)p−(pTx1 +α)q]T x2 −x1 =(pTx2 +α)(qTx1 + β)−(qTx2 +β)(pTx1 +α) Vì thế, (pTx2+α)(qTx1+β) ≥(qTx2+β)(pTx1+α).Nhưng do (qTx1+β)
và (qTx2 +β) cùng dương hoặc cùng âm nên chia cả hai vế cho
(qTx1 + β)(qTx2 +β) > 0
ta nhận được pqTTxx22++βα ≥ pqTTxx11++αβ, tức là f x2 ≥f x1. Vì thế, f giả lồi. Tương tự, có thể chứng minh được rằng ∇f x1T
x2 −x1 ≤ 0kéo theo
f x2 ≤ f x1. Vì thế, f giả lõm và định lý được chứng minh.