Các hàm lôga-lồi và lôga-lõm được định nghĩa dưới đây thường gặp trong lý thuyết xác suất và trong các nghiên cứu kinh tế.
Định nghĩa 2.6. Hàm nhận giá trị dương f gọi là hàm lồi theo lôga hay lôga-lồi (log-convex) nếu logf là hàm lồi, nghĩa là
f[θx + (1−θ)y] ≤ f(x)θf(y)(1−θ) với mọi 0 ≤θ ≤1.
Hàm f gọi là lõm theo lôga hay lôga-lõm (log-concave) nếu −f là lôga-lồi, nghĩa là:
Ví dụ 2.5. về các hàm lôga-lõm:
• Hàm luỹ thừa: xα trên R++ là lôga-lồi với α ≤ 0 và lôga-lõm với
α ≥ 0.
• Hàm mật độ phân phối chuẩn là lôga-lõm:
f (x) = p 1
(2π)ndet Σe
−12(x−¯x)TΣ−1(x−¯x) . • Hàm phân phối luỹ tích Gauss Φ là lôga-lõm
Φ (x) = √1
2π Z x
−∞
e−u2/2du.
Hàm lôga-lõm có một số tính chất như sau:
a) Hàm f khả vi hai lần trên tập lồi là loga-lõm khi và chỉ khi
f (x)∇2f (x) 4 ∇f (x)∇f(x)T với mọi x ∈ dom f.
b) Tích các hàm lôga-lõm là hàm lôga-lõm.
c) Tổng các hàm lôga-lõm không nhất thiết là hàm lôga-lõm. d) Tích phân: Nếu f : Rn ×Rm → R là lôga lõm thì
g(x) =
Z
f (x, y)dy
là hàm lôga-lõm (tính chất này không dễ chứng minh). Các hệ quả của tính chất tích phân:
• Tích chập f ∗g của hai hàm lôga-lõm f và g là hàm lôga-lõm
(f ∗g) (x) =
Z
f (x−y)g(y)dy
• Nếu C ⊆ Rn là tập lồi và y là một biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất lôga-lõm thì
f (x) =prob(x+y ∈ C)
là hàm lôga lõm.
Tóm lại, chương này đã giới thiệu một số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng và các tính chất của chúng. Đáng chú ý là hàm tựa lồi khi và chỉ khi mọi tập mức dưới của nó là lồi (Định lý 2.1), hàm tựa lồi chặt là tựa lồi nếu nó nửa liên tục dưới (Định lý 2.3), hàm giả lồi vừa tựa lồi chặt
vừa tựa lồi (Định lý 2.4), hàm giả lồi chặt là hàm tựa lồi mạnh (Định lý 2.5), hàm phân thức afin vừa giả lồi vừa giả lõm (Định lý 2.7). Hàm lồi tại một điểm và các hàm lôga-lồi, lôga-lõm, cùng các tính chất của chúng cũng được đề cập tới.
Chương 3
CỰC TRỊ CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY RỘNG
Chương này trình bày những tính chất cực trị đáng chú ý của các hàm lồi suy rộng. Chẳng hạn, mọi cực tiểu địa phương của hàm tựa lồi chặt đều là cực tiểu toàn cục, cực tiểu của hàm tựa lồi mạnh là duy nhất, cực đại của hàm tựa lồi liên tục trên đa diện lồi (nếu có) đạt được tại một đỉnh của đa diện đó. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [4], [5].
3.1. CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC
Trước hết ta nhắc lại khái niệm cực tiểu (cực đại) địa phương và toàn cục.
Định nghĩa 3.1. x∗ ∈ S gọi là một điểm cực tiểu địa phương (local minimum) của f trên S nếu có ε > 0 sao cho f (x∗) ≤ f (x) với mọi
x ∈ S và ||x−x∗|| < ε. Nếu f (x∗) < f (x) với mọi x ∈ S, x 6= x∗ và
||x−x∗|| < ε thì x∗ được gọi là cực tiểu địa phương chặt (strictly local minimum) của f trên S.
Định nghĩa 3.2. x∗ ∈ S gọi là một điểm cực tiểu toàn cục (global minimum) của f trên S nếu f (x∗) ≤ f (x) với mọi x ∈ S . Nếu f (x∗) < f (x) với mọi x ∈ S, x 6= x∗ thì x∗ được gọi là cực tiểu toàn cục chặt (strictly global minimum) của f trên S.
Các khái niệm cực đại địa phương, cực đại địa phương chặt, cực đại toàn cục và cực đại toàn cục chặt được định nghĩa tương tự.
Đối với một hàm tùy ý f trên tập S, ta ký hiệu tập tất cả các điểm cực tiểu (cực đại) toàn cục của f trên S là Argminx∈Sf (x)
(Argmaxx∈Sf (x)).
Tập {f (x) : x ∈ S} được gọi là miền trị của hàm f. Có hai khả năng xảy ra:
a) Tập {f (x) : x ∈ S} bị chăn dưới, nghĩa là có một số α sao cho
α ≤ f (x) với mọi x ∈ S. Trong trường hợp này cận dưới lớn nhất của
{f (x) : x ∈ S} là một số thực và được ký hiệu là inf
x ∈ Sf(x). Chẳng hạn,
inf
x ∈ Rex = 0.
b) Tập {f (x) : x ∈ S} không bị chặn dưới, tức là tập này chứa các số thực nhỏ tùy ý. Trong trường hợp này ta viết inf
x ∈ Sf(x) = −∞.