1. Vị trí và yêu cầu của dạy học định lí Hình học:
Việc dạy học các định lí toán học nhằm cung cấp cho HS một hệ thống kiến thức cơ bản của bộ môn, là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở HS khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ.
Việc dạy các định lí toán học cần đạt các yêu cầu sau:
- Nắm được nội dung các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng các định lí vào hoạt động giải toán.
- Làm cho HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận chính xác (tuy nhiên phù hợp với HS THCS).
- Phát triển năng lực chứng minh toán học.
2. Các con đường dạy học định lí:
a) Con đường có khâu suy đoán, bao gồm: tạo động cơ ; phát hiện định
lí ; phát biểu định lí ; chứng minh định lí (hoặc thừa nhận đối với các định lí không yêu cầu chứng minh hoặc đối tượng HS có năng lực hạn chế) ; vận dụng định lí.
Ví dụ 1: Khi dạy định lí về góc nội tiếp theo con đường có khâu suy đoán
GV có thể tiến hành như sau:
- GV cho HS tính số đo góc nội tiếp (BAC) và cung bị chắn (BC) trong các trường hợp sau và tìm quan hệ giữa chúng.
b) a) C A B O O C B A
+ HS nhận thấy số đo của góc BAC bằng một nửa số đo của cung BC.
+ GV chốt lại vấn đề: Kết quả trên cũng đúng với góc nội tiếp BAC tùy ý và đó là nội dung của định lí sau: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn”.
- Chứng minh định lí (dựa vào vị trí tương đối của tâm O và các cạnh của góc thì ta phải xét ba trường hợp. Tuy nhiên GV chỉ cần chứng minh một trường hợp hai trường hợp còn lại giao về nhà cho HS).
- Bài tập củng cố và vận dụng định lí nên gắn với việc hình thành các hệ quả của định lí.
Ví dụ 2: Khi dạy định lí tổng ba góc của một tam giác theo con đường có
khâu suy đoán GV có thể tiến hành như sau:
b) a)
C B
A
- Vẽ một tam giác bất kì, dùng thước đo góc đo ba góc của mỗi tam giác rồi tính tổng của chúng (hình a).
- Cắt một tấm bìa hình tam giác, cắt rời hai góc rồi đặt chúng kề với góc còn lại. Hãy nêu dự đoán về tổng ba góc của tam giác (hình b).
- HS sinh nhận thấy tổng ba góc của một tam giác bằng 1800. - GV chốt lại vấn đề bằng định lí về tổng ba góc của một tam giác.
- Tổ chức cho HS chứng minh định lí (lấy ý tưởng từ hoạt động cắt bìa tam giác để vẽ đường phụ).
x C
B
A
b) Con đường suy diễn, bao gồm: tạo động cơ ; suy luận lôgic dẫn tới định
lí; phát biểu định lí ; củng cố định lí.
Ví dụ 1: Khi dạy định lí tổng ba góc của một tam giác theo con đường suy
diễn GV có thể tiến hành như sau:
- Cho HS làm bài toán: Tính tổng ba góc của tam giác ABC.
- GV gợi ý chuyển các góc B và C về kề với góc A để sử dụng được tính chất cộng góc (học ở lớp 6). Để thực hiện điều đó HS cần vẽ đường thẳng xy qua A và song song với BC để tạo các cặp góc so le trong bằng nhau. Phần việc còn lại là khá đơn giãn.
- Sau khi tính được A + B + C = 1800 bằng suy luận lôgic thì GV tổ chức cho HS phát biểu định lí.
- Cuối cùng tổ chức cho HS củng cố và vận dụng định lí.
Ví dụ 2: Khi dạy định lí về góc ngoài
của tam giác theo con đường suy diễn GV tổ chức cho HS suy luận để đi đến các khẳng định sau:
+ Tổng ba góc của tam giác ABC bằng 1800 nên: A B 180µ + µ = 0 −Cµ (1) + Vì ACx là góc ngoài của tam giác ABC nên ACx 180· = 0 −Cµ (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra ACx A B· = +µ µ
- Từ kết quả trên GV tổ chức cho HS phát biểu định lí về góc ngoài của tam giác: “ Góc ngoài của mỗi tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó”.
- Cuối cùng GV tổ chức cho HS củng cố và vận dụng định lí.
Một vài lưu ý đối với GV:
Việc chọn con đường nào không phải là tùy tiện mà phụ thuộc vào nội dung định lí và điều kiện cụ thể về HS. Ban đầu, ở mức độ thấp dạy học định lí
y x 2 1 C B A
nên theo con đường có khâu suy đoán, về sau ở trình độ cao hơn, có thể dạy định lí theo con đường suy diễn.
3. Trình tự dạy học định lí:
Dạy định lí Hình học thường theo ba giai đoạn sau: + Phát hiện, tiếp cận định lí.
+ Chứng minh định lí (hoặc thừa nhận đối với những định lí không yêu cầu chứng minh).
+ Củng cố và vận dụng định lí.
Ví dụ 1: Khi dạy định lí về tính chất đường phân giác của tam giác ta có thể
tiến hành như sau:
HĐ 1: Tiếp cận định lí:
- Tạo động cơ: Chỉ dùng thước đo độ dài và bằng phép tính có thể nhận biết được tia phân giác của tam giác hay không ?
- Cho HS làm ?1 ở SGK + Vẽ ∆ABC biết: AB = 3cm; AC = 6cm;
+ Dựng phân giác AD
+ Đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh các tỉ số: AB
AC và DB DC.
(Khi thực hiện ?1 cần lưu ý: Để tiết kiệm thời gian và đảm bảo được độ chính xác thì GV nên cho HS đo trực tiếp hình vẽ ở SGK. Ngoài ra có thể sử dụng phần mền Geometer/s Sketchpad để hổ trợ cho việc dựng hình, đo đạc
và tính toán).
- Sau khi thực hiện xong ?1 và có được kết quả AB DB
AC = DC thì GV cho HS biết kết quả trên đúng với tất cả các tam giác và đi đến định lí:
“ Trong một tam giác , đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy”.
HĐ 2: Chứng minh định lí:
GV tổ chức cho HS chứng minh định lí theo các bước sau:
- Vẽ hình, điền các kí hiệu thích hợp - Xác định giả thiết và kết luận của định lí
6 3 D C B A E D C B A
( HS phải thật sự hiểu rõ nội dung của định lí GV mới tổ chức cho HS chứng minh).
- Chứng minh:
GV tổ chức phân tích GT, KL để tìm cách chứng minh:
+ Vì nội dung của định lí liên quan đến đoạn thẳng tỉ lệ và ở bài trước HS đã được học định lí Ta-lét nên GV định hướng cho HS sử dụng định lí Ta-lét để chứng minh.
+ Muốn sử dụng định lí Ta-lét thì phải tạo ra các đường thẳng song song, kết hợp với giả thiết AD là phân giác thì vẽ BE // AC là hợp lí.
Khi đó ta có: DB BE AB
DC = AC =AC (do BE = AB).
+ Cách chứng minh trên được trình bày trong SGK , đối với lớp chọn có thể yêu cầu HS tìm thêm cách chứng minh khác, chẳng hạn: Vẽ BF // AD ta được: DB AF AB
DC = AC= AC (do AF = AB); hoặc cho HS sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh: Ta có: DB S AB.DH AB DC S AC.DK AC ABD ACD = = = (với DH, DK là
khoảng cách từ D tới AB, AC và DH = DK). + Đối với lớp đại trà chất lượng HS hạn chế
GV chỉ cần giúp HS nắm được định lí để vận dụng làm bài tập, đừng mất quá nhiều thời gian cho chứng minh.
HĐ 3: Củng cố và vận dụng định lí: