Chúng ta đã biết rằng tìm tất cả các khóa tối tiểu là một bài toán quan trọng trong lý thuyết thiết kế CSDL quan hệ. Hơn nữa, rõ ràng bài toán này cũng còn đƣợc xem nhƣ là bài toán khai phá dữ liệu, bởi thật sự chính là chúng ta đi tìm những tính chất mới của dữ liệu.
Demetrovices J., Vu Duc Thi [19] (1999), đã chỉ ra rằng có thể tính đƣợc tất cả các khóa tối tiểu của sơ đồ quan hệ bằng siêu đồ thị. tác giả chứng tỏ đƣợc có thể mô tả đƣợc tất cả khóa tối tiểu của một quan hệ bất kỳ thông qua họ trù mật của quan hệ đó. Trong mục này chúng ta tiếp tục nghiên cứu khóa tối tiểu của sơ đồ quan hệ và quan hệ theo các phƣơng pháp này , đầu tiên chúng ta nghiên cứu khóa tối tiểu của quan hệ.
Gọi U là một tập hữu hạn khác rỗng các thuộc tính, P(U) là tập lũy thừa của U và D là một tập con của P(U). Khi đó họ bù của D, ký hiệu , là một họ trên U đƣợc định nghĩa là
Cho R = {h1, h2, …, hm} là một quan hệ trên U và NR là hệ không bằng nhau của R, nghĩa là,
ở đây . Chúng ta đặt
Họ min( ) đƣợc gọi hệ không bằng nhau cực tiểu của R.
Định lý 2.4.1. Giả sử R là một quan hệ trên U. Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 47
(2) .
(3) .
Chứng minh:
(1)Theo định nghĩa của quan hệ R, ta có εR. Từ đây, mệnh đề 2.3.5, định lý 2.3.4 và mệnh đề 2.1.8 đã chứng minh đƣợc.
(2)Vì R là một quan hệ nên εR. Hơn nữa, . Từ điều này và (1) đã chứng minh rõ ràng.
(3) Rõ ràng từ mệnh đề 2.3.3, định lý 2.3.4 và mệnh đề 2.1.8 Định lý đƣợc chứng minh.
Nhƣ vậy đối với quan hệ, chúng ta có thể sử dụng định lý 2.4.1 để tính tập tất cả các khóa tối tiểu.
Rõ ràng, hệ không bằng nhau là một siêu đồ thị trên U. Do đó, định lý 2.4.1 (2) cho thấy rằng khóa tối tiểu của quan hệ có thể đƣợc đặc trƣng thông qua siêu đồ thị.
Đối với định lý 2.4.1 (1) và (3), khóa tối tiểu của quan hệ có thể xem đƣợc đặc trƣng bởi họ R – trù mật.
Dƣới đây là một ứng dụng của định lý 2.4.1 (1), đó là thuật toán tình tất cả khóa tối tiểu của quan hệ R cho trƣớc. Nhớ rằng, bài toán này vốn có độ phức tạp hàm mũ theo kích thƣớc của R (Demetrovices J., Vu Duc Thi [16] (1987)).
Thuật toán 2.4.2. (Tìm tập tất cả khóa tối tiểu của một quan hệ) Vào: quan hệ R = {h1, h2, …, hm} trên U.
Ra:
Phƣơng pháp:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 48 = ở đây Bƣớc 2: Tính họ bù của εR nhƣ sau Ký hiệu các phần tử của là N1, … , Nk. Bƣớc 3: Từ tính họ .
Bƣớc 4. Từ thuật toán 2.1.11, tính siêu đồ thị transversal Tr(minh( )).
Độ phức tạp thời gian của thuật toán này chính là độ phức tạp thời gian của thật toán 2.1.11. Trong nhiều trƣờng hợp thuật toán này rất hiệu quả.
Nếu số các phần tử của hệ bằng nhau εR là hằng số, nghĩa là | εR | k với k là hằng số, thì độ phức tạp thời gian tìm KR của quan hệ cho trƣớc R chỉ là đa thức theo kích thƣớc của U.
Nếu thay họ bằng hệ không bằng nhau NR thì chúng ta cũng có ngay một thuật toán hiệu quả tƣơng tự tính tập tất cả khóa tối tiểu KR của quan hệ R.
Ví dụ 2.4.3. Xét quan hệ R = SINHVIEN ở ví dụ 1.2.1. Hãy xác định tập tất cả khóa tối tiểu của quan hệ R
Để tiện cho lập luận, giả sử ta ký hiệu các thuộc tính STT, HOTEN, GIOITINH, NAMSINH, NGANH và KHOA tƣơng ứng bằng các số 1,2,3,4,5,6. khi đó ta có.
εR = { , {3}, {4, 5, 6}}. Suy ra
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 49
Do đó
Tr(min( )) = {{1}, {2}, {3,4}, {3,5}, {3,6}}.
Nhƣ vậy, tập tất cả khóa tối tiểu của quan hệ R là: {STT}, {HOTEN}, {GIOITINH, NAMSINH}, {GIOITINH, NGANH}, {GIOITINH, KHOA}.
Kết thúc vấn đề khóa tối tiểu của quan hệ với việc tìm hiểu một số tính chất của họ R – trù mật. Giả sử R là một quan hệ và D là một họ các tập con của U. Nếu D
là R – trù mật có bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.4. Giả sử U là một tập hữu hạn cà A là một tập con của tập lũy thừa
P(U). Khi đó
Chứng minh. Một cách tƣơng đƣơng, ta sẽ chứng minh .
Gọi . Do đó . Điều này có nghĩa là
Hay
Do vậy, ta có .
Mặt khác, giả sử làm tƣơng tự nhƣ trên ta có
Bổ đề đƣợc chứng minh.
Mệnh đề 2.4.5. Nếu D là R – trù mật, thì
Chứng minh. Theo định lý 2.4.1 (1), chúng ta có KR = Tr(min( )). Từ bổ đề 2.4.4 ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 50 Vì D là R – trù mật, và từ định lý 2.3.4, ta có KR = Tr( ). Hơn nữa, theo mệnh đề 2.1.8 chúng ta có Tr( ) = Tr(min( )). Do đó KR= Tr(min( )). (2.2) Từ (2.1) và (2.2), ta có Tr(min( )) = Tr( ) Mệnh đề đƣợc chứng minh. Hệ quả 2.4.6. Nếu D là R – trù mật, thì min( ) = min(NR) Chứng minh. Theo bổ đề 2.4.4, ta có = min( ). Hơn nữa, NR = . Suy ra
= min(NR) Do mệnh đề 2.4.5 đã chứng minh đƣợc.
Kết thúc mục này với việc nghiên cứu khóa tối tiểu của sơ đồ quan hệ. Tƣơng tự nhƣ đối với quan hệ, chúng ta sử dụng cac công cụ siêu đồ thị và họ trù mật để mô tả khóa tối tiểu của sơ đồ quan hệ.
Định lý 2.4.7. Giả sử s = (U, F) là một sơ đồ quan hệ và D là một họ các tập con của U. Khi đó nếu D là s – trù mật, thì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 51
Chứng minh. Giả sử K là một khóa tối tiểu của s. . Gọi
. Bởi bổ đề 2.3.12. . Có thể thấy nếu tồn một khóa tối tiểu
thì với mọi . Điều này mâu thuẫn với giả sử K=
Tr( ). Do vậy, K phải là một khóa tối tiểu của s. Định lý đƣợc chứng minh.
Nhƣ vậy họ s – trù mật đã đƣợc chỉ ra trong chƣơng 2, bây giờ sẽ có các kết quả cụ thể sau có thể đƣợc sử dụng để tính tập tất cả các khóa tối tiểu của sơ đồ quan hệ.
Định lý 2.4.8. Giả sử s = (U, F) là một sơ đồ quan hệ. Khi đó
(1)Ks = Tr( )). (2)Ks = Tr( )). (3)Ks = Tr( ). Chứng minh. (1)Từ mệnh đề 2.1.8 và mệnh đề 2.3.10. (2)Chứng minh theo mệnh đề 2.1.8, mệnh đề 2.3.11 và định lý 2.4.7 (3)Bởi định nghĩa họ và họ min( ), rõ ràng
Từ đây và (2), định lý đƣợc chứng minh.
Biết rằng, họ tất cả tập độc lập tối tiểu min(Is) là một siêu đồ thị trên U. Do đó, định lý 2.4.8 (3) cho thấy rằng khóa tối tiểu của sơ đồ quan hệ có thể đƣợc đặc trƣng thông qua siêu đồ thị (kết quả này đƣợc tìm thất trong Demetrovices J., Vu Duc Thi [19] (1999)).
Đối với định lý 2.4.8 (1) và (2), khóa tối tiểu của sơ đồ quan hệ có thể xem đƣợc đặc trƣng bởi họ s – trù mật.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 52
Nhận xét 2.4.9. Vì họ min( ) là một siêu đồ thị đơn nên theo mệnh đề 2.1.7 (1) và định lý 2.4.8, chúng ta có đƣợc
Tr(Ks) = min( ) Bởi bổ đề 2.4.4 suy ra
= max( ).
Điều này có nghĩa là tập tất cả các phần tử tối đại của Ms (theo mệnh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 53
CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG TÌM KHÓA TỐI THIỂU TRONG MỘT FILE DỮ LIỆU