Cho D là một họ các tập con của tập thuộc tính U. Jarvinen J., định nghĩa tập FD nhƣ sau:
FD = {X Y | ( A D)X A Y A}
Mệnh đề 2.3.1. FD là một họ f trên U.
Định nghĩa 2.3.2. Cho R là một quan hệ trên U. Họ các tập thuộc tính D đƣợc gọi là R – trù mật (hay trù mật trong R) nếu FR = FD.
Bây giờ chúng ta ký hiệu LR = {XR+ | X U}, nghĩa là LR là họ tất cả các bao đóng của tập thuộc tính trên quan hệ R.
Mệnh đề 2.3.3. LR là họ R-trù mật lớn nhất. J. Jarvinen chứng minh rằng khóa tổi tiểu của quan hệ có thể đƣợc đặc trƣng thông qua họ R-trù mật.
Định lý 2.3.4. Giả sử R là một quan hệ trên U. Nếu D P(U) là R trù mật, thì (1)K là một kháo của R nếu và chỉ nếu K chứa một thuộc tính từ mỗi tập trong họ { | A D, A U}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40
(2)K là một khóa tổi tiểu của R nếu và chỉ nếu K tối tiểu với tính chất chứa một thuộc tính từ mỗi tập trong họ { | A D, A U}.
Rõ ràng, thuộc tính a U thuộc tất cả các khóa tối tiểu của quan hệ R nếu = {a} đối với một số A D, ở đây D là một họ R-trù mật.
Bây giờ chúng ta chỉ ra có thêm một R-trù mật nữa, với lực lƣợng tối đa phần tử (m = |R|). Chúng ta cúng khẳng định đƣợc, đây là họ R-trù mật nhỏ nhất.
Mệnh đề 2.3.5. Hệ bằng nhau εR là R-trù mật.
Chứng minh: Giả sử X → Y FR. Gọi Eij εR sao cho X Eij.Điều này có nghĩa là hi(a) = hj(a) với mọi b X. Từ đây và theo định nghĩa phụ thuộc hàm, ta có hi(b) = hj(b) với mọi b Y. Do đó, Y Eij. Bởi định nghĩa của đó là
= {X → Y | ( Eij εR)X Eij Y Eij}
Rõ ràng ta có X→ Y .
Mặt khác, gọi X → Y . Giả sử có hai bộ hi, hj R sao cho hi(a) = hj(a) với
mọi a X, 1 ≤ i ≤ j ≤ m. Nghĩa là, X Eij. Do X→ Y , nên Y Eij. Do đó, ta cũng có hi(b) = hj(b) với mọi b Y. Vậy X → Y FR.
Mệnh đề đƣợc chúng minh.
Mệnh đề 2.3.6.εR là họ R-trù mật nhỏ nhất.
Chứng minh: Gọi D là một họ R-trù mật bất kỳ, và Eij εR. Giả sử có X→ Y FD sao cho X Eij. Suy ra hi(a) = hj(a) với mọi b X. Vì D là R-trù mật nên theo định nghĩa phụ thuộc hàm, ta có hi(b) = hj(b) với mọi b Y. Do đó Y Eij. Bởi định nghĩa cuả FD, rõ ràng Eij D.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 41
Chúng ta đƣa ra một điều kiện cần và đủ để một họ D bất kỳ là R-trù mật.
Định lý 2.3.7. Giả sử là một quan hệ và D là một họ các tập con của U. Điều kiện cần và đủ để D R-trù mật là với mọi X U
ở đây LR(X) = {a U | X → {a} FR}.
Chứng minh: Đầu tiên chúng ta chứng tỏ rằng với bất kỳ họ D P(U) thì
Với mọi X U sao cho = {a U | X → {a} FD}.
Giả sử X là một tập sao cho không có A D với X A. Bởi định nghĩa của FD
và , dễ dàng thấy Y → U FD. Do đó, = U.
Vì A A, nên theo định nghĩa của FD và chúng ta thu đƣợc
Nếu X và có một A D sao cho X A thì chúng ta đặt
G = {A | X A, A D},
Dễ thấy X B. Rõ ràng, nếu G = D hoặc G # D, thì chúng ta đều có X → B FD. Hơn nữa, nếu có một thuộc tính b sao cho b B, thì có A D sao cho b A. Khi đó, theo định nghĩa của FD, ta có B → B {b} b FD. Tóm lại
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 42
Bởi định lý 1.3.20, dễ dàng thấy rằng FR = FD nếu và chỉ nếu LR = Định lý đƣợc chứng minh.
Lƣu ý rằng, tập LR(X) định nghĩa ở trên chính là bao đóng của tập thuộc tính X trên quan hệ R, nghĩa là LR(X) = XR+.
Hệ quả 2.3.8. Giả sử R là một quan hệ trên U, D P(U) và U D. Khi đó (1)D là R-trù mật nếu và chỉ nếu D {U} là R-trù mật.
(2)Họ εR {U} là R-trù mật.
Chứng minh: (1) Rõ ràng từ định lý 2.3.7.
(3)Theo mệnh đề 2.3.5 và (1), chúng minh là rõ ràng. Lƣu ý rằng U εR.
Hệ quả đƣợc chúng minh.