F à min, à max.
4.3.3 Thiết lập cỏc quan hệ với cỏc toỏn tử trọng số
Lỳc này, ta chuyển tới cỏc toỏn tử trọng số. Nú cú thể được biểu diễn để một lớp cú phạm vi rộng của tựa trung bỡnh cộng trọng số là cỏc tớch phõn mờ.
Định lý 11. Ta hóy xột một tựa trung bỡnh cộng trọng số 1,..., n
f w w
M trờn [ ]0,1n, với f bị ràng buộc tới lớp cỏc hàm tăng dần hoàn toàn dương. Khi đú 1,..., n
f w w
M ≡ Fà, với à là cộng tớnh, định
nghĩa theo sự phõn loại của nú à( ){ }xi =wi, và F = ∆ +( ),$ ,với ∆ cú f là tiền đề.
Do vậy, một lớp cú phạm vi rộng của cỏc toỏn tử trung bỡnh và kiểu trọng số (weighted version) của chỳng là cỏc tớch phõn mờ thực tế với độ đo cộng tớnh (điều này cho thấy cỏc tớch phõn mờ cũn là một lớp lớn hơn nhiều). Cho vớ dụ, tất cả cỏc toỏn tử trung bỡnh của họ Dyckhoff-Pedrycz với α >0 là cỏc tớch phõn mờ ( f x( ) =xα). Nhưng quan sỏt thấy trung bỡnh
nhõn ( f x( ) = 1 lnn x) , trung bỡnh điều hũa ( f x( ) = 1x) khụng là cỏc tớch phõn mờ.
Một kết quả gần đõy nhất liờn quan tới mối liờn lạc giữa cỏc toỏn tử OWA và tớch phõn Choquet. Những người khỏc Fodor đó cho thấy rằng tất cả OWA là cỏc tớch phõn Choquet.
Định lý 12. Với mọi tập cỏc trọng số w1,...,wn mà ∑in=1wi =1, ta cú OWAw1,...,wn ≡Cà, với à
định nghĩa theo cỏch ( ) 1 0 , i n j j A w A à − − = =∑ ∀ mà A i= .
Một kết quả tổng quỏt hơn xem định lý 14.
Diễn tả quan hệ tương hỗ, ta cú cỏc kết quả sau đõy, bằng một ứng dụng trực tiếp của cỏc định lý 3 và 12.
Định lý 13. Bất kỳ tớch phõn Choquet giao hoỏn Cà là một toỏn tử OWA, cỏc trọng số của nú là wi =à(An i− +1)−à(An i− ), i=2,...,n, và w1 = −1 ∑ni=2wi. Ai là tập con bất kỳ của X với
i A =i.
Kết quả như nhau đỳng với toỏn tử tựa OWA: Chỳng là cỏc trường hợp riờng của cỏc tớch phõn t-conorm mờ với F = ∆ +( ),$ ,cho f là tiền đề của ∆, mỗi khi f là dương và tăng dần ngặt.
Khi ai đú phải đối mặt với việc lựa chọn một toỏn tử kết hợp trong bài toỏn ra quyết định, một cõu hỏi cơ bản đưa ra: cỏi nào là cỏc toỏn tử mà dẫn tới quyết định như nhau, vớ dụ cho cỏc khả năng thay thế như nhau?
Vấn đề này được đưa ra đầu tiờn bởi tỏc giả trong, và sau đú nghiờn cứu kỹ lưỡng hơn. Do vấn đề này là một trong những vấn đề quan trọng trong ra quyết định, ta trỡnh bày ở đõy cỏc kết quả chớnh.
Đầu tiờn, ta định nghĩa hai quan hệ tương đương giữa cỏc toỏn tử, để tỡm ra giải phỏp cho bài toỏn.
Định nghĩa 13. Hai toỏn tử H1và H2 từ [ ]0,1n tới [ ]0,1 là tương đương mạnh nếu và chỉ nếu
1
H ( )x > H1 ( )x' ⇔ H2( )x > H2( )x' .
Chỳ ý. H1 : H2: Nú là dễ dàng để kiểm chứng rằng : thực sự là một quan hệ tương đương, tức là phản xạ, đối xứng, và bắc cầu.
Định nghĩa 14. Hai toỏn tử H1 và H2 từ [ ]0,1 n tới [ ]0,1 là tương đương yếu nếu và chỉ nếu
1
H ( )x > H1 ( )x' ⇒H2( )x ≥ H2( )x' .
Chỳ ý. H1 ≈H2: Quan hệ này là phản xạ, đối xứng, nhưng khụng bắc cầu.
Tương đương mạnh sẽ đảm bảo rằng cỏc toỏn tử trong lớp tương đương giống nhau sẽ mang lại cỏc quyết định chớnh xỏc như nhau, vớ dụ cỏc khả năng thay thế như nhau và tập như nhau cỏc khả năng thay thế khụng theo quy tắc gỡ (khụng thể quyết định được), trong khi quan hệ yếu sẽ chỉ đảm bảo là cỏc quyết định khụng mõu thuẫn sẽ được thực hiện, vớ dụ, đú là khụng (x x, ') cho cỏi mà H1 quyết định x x> ' và H2 nghịch đảo. Nhưng một vài khả năng thay thế cú thể bị bỏ quờn khụng được phõn loại bởi một vài toỏn tử và tớnh chất được xếp loại bởi cỏc tớnh chất khỏc trong cựng lớp tương đương (yếu) giống nhau. Nú là một vấn đề của ứng dụng liờn quan mà cú thể quyết định kiểu của quan hệ tương đương phải được dựng.
Một vài kết quả chung được cho thấy, để tỡm cỏc lớp tương đương, hoặc theo chiều mạnh hoặc theo chiều yếu. Về bản chất:
• Liờn quan đến tương đương mạnh, ta cú thể tạo ra tất cả cỏc toỏn tử tương đương của một H đó cho bằng cỏch đơn giản lấy uoH, trong đú u là một song ỏnh tăng dần từ [0,1] đến [0,1]. Tớnh chất cơ bản của hai toỏn tử tương đương là để chỳng cú cỏc mặt khụng phõn biệt như nhau. Cỏc mặt khụng phõn biệt hoặc cỏc mặt mức đơn giản là cỏc hỡnh ảnh nghịch đảo của một toỏn tử, vớ dụ, tập tất cả H −1( )z @{a∈[ ]0,1n H ( )a =z} . Ngoài ra, nếu H là đơn điệu, thỡ điều kiện của đẳng thức giữa cỏc mặt khụng phõn biệt là cần và đủ.
• Liờn quan đến tương đương yếu, H1 và H2 là tương đương yếu nếu và chỉ nếu ở đõy tồn tại một phộp ỏnh xạ đa giỏ trị khụng giảm riờng biệt u: 0,1[ ] → P [ ]0,1 như là H2( )x ∈u
(H1 ( )x ), ∀ ∈x [ ]0,1 trong đú “khụng giảm” cú nghĩa
[ ] ( ) ( )
1, 2 0,1 , 1 2 1 1 , 2 2 , 1 2
y y y y z u y z u y z z
∀ ∈ > ⇒ ∀ ∈ ∀ ∈ ≥ . Hai toỏn tử tương đương yếu cú cỏc mặt
khụng phõn biệt là cỏc phõn hoạch dưới của mỗi cỏi khỏc, vớ dụ, ∀ ∈y1 [ ]0,1 ,∃ ⊂A [ ]0,1 cú H
( ) 21 1 1− y1 y A ∈ =U H 1( ) 2 y2 −
và tương tự với tất cả y2 trong đoạn [0,1]. Điều kiện này là cần và đủ nếu cỏc toỏn tử là đơn điệu.
Cỏc kết quả này đó được ứng dụng cho cỏc tớch phõn mờ. Những điều sau đõy đó cho thấy.
Định lý 14. Xột một độ đo mờ đó cho à. Lớp tương đương (theo chiều ngặt) Co à của tớch phõn Choquet theo à được định nghĩa như sau
o à ={H H C ( 1 ) ( ) 1 ,..., n n i i i a a u k aσ σ = = ∑ cho thấy:
• u: Song ỏnh tăng dần ngặt bất kỳ định nghĩa trờn [0,1],
• ∑in=1kiσ = ∀ ∈1, σ G, • σ : Phộp hoỏn vị như là aσ(1) ≤ ≤... aσ( )n , • kiσ (A ( )i ) (A ( 1)i ) σ σ à à + = −
Nhận xột rằng việc cho u x( ) =x ta tớnh ra biểu thức chung của tất cả cỏc toỏn tử là cỏc tớch
i i
kσ =w (xem định nghĩa OWA), và tương đương Cà được định nghĩa theo như
( ) 1 n i i n A A w à =∑= − + (xem thờm định lý 12).
Liờn quan đến tớch phõn Sugeno, ta cú kết quả tương tự với tương đương mạnh. Cuối cựng, ta chuyển tới cỏc tớch phõn t-conorm mờ, và cho cỏc kết quả với tương đương yếu, điều mà đỏng quan tõm hơn.
Định lý 15. Cho ∆ là một t-conorm. Lỳc này, ∆ là tương đương yếu để tớch phõn t- conorm mờ hữu hạn Fà, với F = ∆ ⊥( , ) cỏc tiền đề của nú lần lượt là h, g, và goà là một độ đo mờ cộng tớnh. Hơn nữa, nếu ∆ là ngặt thỡ tương đương là mạnh.
Điều này cho thấy toàn bộ lớp cỏc t-conorm được bao gồm trong lớp tương đương của cỏc tớch phõn mờ. Trong định lý, chỳ ý rằng ⊥-độ đo phõn tớch được của kiểu NSA bất kỳ với
{ }
( )xi
à =g−1( )1
n sẽ được thực hiện.
Tương tự nhưng kết quả yếu hơn đỳng với cỏc t-norm. Ta cần định nghĩa sau đõy.
Định nghĩa 15. Xột một t-conorm lũy linh ∆. Biểu thị T∆, t-norm đối ngẫu-∆ của ∆, được định nghĩa bởi quan hệ:
aT∆ b@1−∆(1−∆a) (∆ −1 ∆b)
với giả sai phõn −∆ định nghĩa theo như (11). Khi đú, những điều sau đõy đỳng.
Định lý 16. Cho ∆ là một t-conorm lũy linh, và T∆ t-norm đối ngẫu-∆ của nú. Khi đú, T∆ là tương đương yếu tới tớch phõn t-conorm mờ hữu hạn Fà, với F =(∆ ⊥, ), và goà một độ đo mờ cộng tớnh, phõn phối của nú goà ( ){ }x =1 , 1,..., ,n i= n ⊥ là
t-conorm lũy linh bất kỳ với tiền đề g.
Khi trước, nhận xột rằng mọi ⊥-độ đo phõn tớch được của kiểu NSA mà à( ){ }x =g−1( )1
n
sẽ thực thi. Hai định lý này tổng quỏt húa thực tế là tổng bị chặn và tớch bị chặn
( )
: 0 1
4.5 Tớnh chất cộng tớnh của cỏc độ đo mờ và sự độc lập ưu tiờn
Lỳc này, ta chuyển tới bài toỏn khú về việc làm thế nào biểu diễn sự phụ thuộc hoặc sự độc lập của cỏc tiờu chuẩn bằng một độ đo mờ. Từ khi bắt đầu ứng dụng cỏc độ đo mờ và cỏc tớch phõn mờ cho cỏc bài toỏn ước lượng đa tiờu chuẩn, ta cảm thấy rằng tớnh khụng cộng tớnh của cỏc độ đo mờ cú thể làm mụ hỡnh phụ thuộc giữa cỏc tiờu chuẩn, nhưng cho đến gần đõy, điểm này khụng được nghiờn cứu tỉ mỉ theo một cỏch khắt khe, vỡ khụng ai định nghĩa được chớnh xỏc cỏi mà ứng dụng cỏc độ đo mờ và cỏc tớch phõn mờ cho cỏc bài toỏn ước lượng đa tiờu chuẩn cú mục đớch gỡ do “phụ thuộc”.
Lý thuyết thỏa dụng đa thuộc tớnh đưa ra đầy đủ khuụn mẫu cú tớnh lý thuyết để giải quyết bài toỏn này : Ta định nghĩa trong mục 2.3 khỏi niệm của sự độc lập ưu tiờn giữa cỏc tiờu chuẩn. Gần đõy, Murofushi và Sugeno đó chứng minh một kết quả cơ sở nhờ vào sự độc lập ưu tiờn và tớnh cộng tớnh của độ đo mờ.
Định lý 17. Cho X =X1ì ì... Xn là khụng gian cỏc hệ quả, với n số thuộc tớnh, và ta giới
hạn tập cỏc hàm lợi ớch tới tớch phõn Choquet, vớ dụ, u x( 1,...,xn) =Cà (x1,...,xn). Nếu ớt nhất cú ba thuộc tớnh cần thiết, thỡ cỏc mệnh đề sau đõy tương đương:
(i) Cỏc thuộc tớnh là độc lập ưu tiờn lẫn nhau. (ii) à là cộng tớnh.
Xi được coi là một thuộc tớnh cần thiết nếu ở đõy tồn tại x yi, i∈Xi và xic ∈Xic mà
(x xi, ic) (> y xi, ic). Rừ ràng, điều này cho thấy cỏc thuộc tớnh là phụ thuộc trong một vài ngữ
cảnh khi độ đo khụng cộng tớnh thờm, nhưng ta vẫn thấy phương thức chớnh xỏc của việc phụ thuộc vào tớnh khụng cộng tớnh và sự phụ thuộc. Tất nhiờn, một vài kiến thức thuộc về trực giỏc đó tồn tại về quan điểm này, như ta sẽ cho biết ở dưới, cựng với một vớ dụ minh họa. Cỏc cơ sở lập luận phổ biến sau đõy được thừa nhận rộng rói.
• Một độ đo mà cộng tớnh dưới đối với hai tiờu chuẩn i và j biểu diễn một sự phụ thuộc yếu giữa cỏc tiờu chuẩn này, theo nghĩa mà i và j là khụng cần thiết (dư thừa). Tức là, sự thỏa món một tiờu chuẩn phần nào đú kế thừa sự thỏa món cỏc tiờu chuẩn khỏc. Bởi vậy, trọng số quan trọng gắn kốm { }i j, là thấp hơn tổng cỏc trọng số riờng lẻ.
• Một độ đo mà là siờu cộng tớnh đối với hai tiờu chuẩn i và j biểu diễn một phụ thuộc mạnh giữa chỳng, theo nghĩa mà cỏc tiờu chuẩn i và j hỗ trợ mỗi tiờu chuẩn khỏc. Tức là, nếu sự thỏa món cỏc tiờu chuẩn i và j độc lập nhau là khụng ảnh hưởng nhiều (khụng quan trọng lắm), sự thỏa món đồng thời cỏc tiờu chuẩn này được xem là ảnh hưởng lớn(rất quan trọng). Bởi vậy, trọng số quan trọng kốm theo { }i j, lớn hơn tổng cỏc trọng số riờng lẻ.
Nhận xột rằng, một độ đo mờ cú thể là siờu cộng tớnh đối với một vài tập con cỏc tiờu chuẩn và siờu cộng tớnh đối với tập khỏc. Ở đõy là lũy thừa cú ý nghĩa của cỏc độ đo mờ: cỏc độ đo mờ phõn tớch được (vớ dụ, độ đo khả năng, cỏc độ đo-λ Sugeno) khụng cú khả năng này vỡ chỳng là cộng tớnh dưới hoặc siờu cộng tớnh trờn toàn bộ tập cỏc tiờu chuẩn.
Do đó núi ở trờn, điều này đơn thuần chỉ là một cỏch hiểu thuộc về trực giỏc, và nhiều thao tỏc được thực hiện để hỡnh thức húa và đưa ra cỏc kết quả này theo một khuụn mẫu nghiờm ngặt. Minh họa cỏc độ đo siờu cộng tớnh và cộng tớnh dưới, ta đưa ra vớ dụ sau đõy của định giỏ đa tiờu chuẩn: