5. Cấu trúc của đề tài
2.2. Lịch sử về các kiến thức hình học
Cũng như các khái niệm về số, những khái niệm đầu tiên về hình học xuất hiện trong thời kì sơ khai của loài người. Sự nảy sinh các khái niệm này gắn liền mật thiết với hoạt động thực tiễn phong phú của loài người. Từ khi con người không còn đi hái lượm những thức ăn có sẵn trong thiên nhiên mà tự mình sản xuất để tạo ra những điều kiện sống cần thiết cho mình, người ta bắt đầu phải tiếp xúc nhiều đến các đại lượng và các quan hệ không gian của các vật thể. Những khái niệm này ngày càng trở nên phong phú, hoàn thiện và ngày càng được con người hiểu biết một cách kĩ càng. Công việc này cày cấy mặc dù còn đơn sơ vẫn đòi hỏi phải đo đạc các đám đất, cân đong và phân chia lương thực, hàng hóa,…. Công việc xây cất nhà cửa đòi hỏi phải tìm ra những quy tắc để vạch ra các đường thẳng, dựng những chiếc cột hay những bức tường thẳng đứng… Để có thể tính toán thời vụ, cần quan sát sự di chuyển của mặt trăng, mặt trời, các vì sao, và do đó dẫn đến việc đo đạc các góc,… Phương Đông cổ đại, trong đó chủ yếu là Ai Cập và Babylon, được xem như cái nôi của hình học. Người Ai Cập cổ đại đã biết các phương pháp tính thể tích và diện tích. Diện tích hình chữ nhật, hình tam giác được tính theo công thức đúng như ngày nay. Để tính diện tích hình tròn có đường kính d, người ta xem nó bằng diện tích hình
vuông có cạnh 2 2 3 h V a abb 2 8 8 : 9d S 9d
, như vậy là ứng với số
m là: 2 8 4 3,1605 9
(sai số nhỏ hơn 2%). Thể tích của hình hộp, hình lập
phưng, hình lăng trụ, hình trụ đều được tính bằng cách lấy diện tích đáy nhân với chiều cao. Một thành tựu sáng chói nhất và cũng đáng làm cho chúng ta ngạc nhiên nhất của nguời Ai Cập là công thức tính thể tích hình chóp cụt có đáy là hình vuông:
2 2
3
h
V a abb
Trong đó, a và b lần lượt là cạnh của đáy trên và đáy dưới, h là chiều cao của hình chóp cụt. Công thức này đã làm cho một số người dự đoán người Ai Cập đã biết đến định lí Pi-ta-go.
Những kiến thức hình học của người Babylon phần lớn có liên quan đến việc đo đạc các hình đơn giản thường gặp khi phân chia ruộng đất, xây dựng nhà cửa, đắp đập, đào sông,… Bên cạnh công thức đúng, học còn sử dụng các công thức gần đúng. Chẳng hạn, thể tích hình chóp cụt đáy vuông được tính theo công thức: 31 3,125.
8
2 2
2
h
V a b , trong đó a, b là hai cạnh của đáy, h là đường cao. Thể tích hình chop cụt cũng được tính tương tự như thế.
Độ dài đường tròn được xem là gấp ba lần đường kính, như vậy ứng với giá trị thô sơ của số là 3. Diện tích hình tròn được tính là:
2
12
C
S , trong đó C là chu vi đường tròn. Trong một số bản khác người ta thấy giá trị gần đúng
1
3 3,125.
8
Người Babylon đã có khái niệm sơ bộ về đo góc và đó là mầm
mống của môn tam giác lượng. Cũng có cả phương pháp tính gần đúng thể tích các hình.
Đặc biệt người Babylon đã biết công thức Pitago. Trên một số bản đồ có ghi lại những bộ ba số Pi-ta-go như 60, 45, 75 hay 72, 65, 97 hay 3456, 3367, 4825.
Bên cạnh những công thức của thời Ai Cập và Babylon cổ đại thì thời kì Alexanđri , ở Ai Cập nổi lên ba nhà toán học vĩ đại là Euclid, Archimedes và Apôlôniut mà tác phẩm của họ có ảnh hưởng hết sức to lớn đối với sự phát triển hình học sau này.
Euclid để lại khá nhiều tác phẩm về toán học nhưng nổi tiếng nhất vẫn là tác phẩm Cơ bản gồm 13 quyển. Với bộ Cơ bản, Ơclit nhằm hệ thống hóa kho kiến thức hình học mà loài người tích lũy được cho tới thời ông thành một lí thuyết toán học hoàn chỉnh. Mỗi quyển của bộ sách này đều bắt đầu bằng những định nghĩa, ngoài ra, cuốn thứ nhất còn có 5 định đề và 5 tiên đề. Sau khi đưa ra các định nghĩa, định đề và tiên đề Euclid trình bày hình học theo một thứ tự suy diễn lôgic sao cho mọi kết quả đều được chứng minh bằng cách dựa vào các định nghĩa, định đề, tiên đề và các định lí đã có trước đó. Toàn bộ 13 quyển của bộ Cơ bản thể hiện ý đồ xây dựng hình học một cách chặt chẽ, hợp logic. Do đó, người ta xem Euclid như là người đầu tiên đặt nền móng cho phương pháp tiên đề và lấy tên ông đặt cho Hình học đã được ông xây dựng lại – Hình học Euclid.
Tuy nhiên, trực giác vẫn có mặt ở một mức độ nào đó trong công trình của Ơclit chính điều này dẫn đến sự không đầy đủ của những cái có liên quan đến thứ tự và tính liên tục. Ta cũng không hề gặp trong tập Cơ bản những ứng dụng thực tiễn của hình học. Thậm chí không thấy nhắc đến thước và compa là những dụng cụ dựng hình để dựng những đường thẳng và đường tròn. Điều đó không phải chỉ riêng trong tác phẩm này mà đó là một tác phong chung của thời bấy giờ trong phạm vi hình học. Các vấn đề của toán học ứng dụng và nhất là kĩ thuật tính toán không được coi trọng nên các thành tựu trong lĩnh vực đó rất nghèo nàn so với các vấn đề lí thuyết.
Archimedes thuộc về một số ít các nhà bác học thiên tài mà tác phẩm của họ có tác dụng to lớn và quyết định đối với lịch sử khoa học, và do đó đối với lịch sử phát triển của loài người. Cống hiến của Archimedes về khoa học rất lớn lao và phong phú. Ông đã áp dụng những phương pháp toán học tế nhị nhất thời bấy giờ vào việc nghiên cứu các bài toán hình học và cơ học. Phương pháp tổng trên và tổng dưới mà sau này ta gọi là tổng Riman hay Đácbu, được Archimedes
trình bày trong tác phẩm “Về hình cầu và hình trụ”, “Về đường xoắn ốc”, “Về các phỏng nón và phỏng cầu” như là một phương tiện để tính thể tích và diện tích. Nhờ phương pháp tổng trên và tổng dưới, và các tiên đề sau đây Ácsimet đã giải quyết được nhiều bài toán khó về độ dài cung và diện tích mặt:
Tiên đề 1: Trong những đường có chung hai mút, đường thẳng là đường
ngắn nhất;
Tiên đề 2: Hai đường khác nhau cùng nằm trong một mặt phẳng và có
cùng hai mút chung thì sẽ luôn luôn không bằng nhau nếu chúng cùng lồi về một phía, và một đường hoặc bị chứa trong đường kia cùng với đoạn thẳng nối hai điểm mút, hoặc một phần của nó bị chứa còn một phần thì trùng với đường kia. Khi đó, đường bị chứa sẽ bé hơn.
Tiên đề 3: Tương tự, trong những mặt có chung biên nằm trên mặt phẳng,
mặt phẳng là bé nhất.
Tiên đề 4: Hai mặt phẳng khác nhau có biên chung nằm trên một mặt phẳng
thì luôn luôn không bằng nhau nếu chúng cùng lồi về một phía và một trong chúng hoặc bị chứa hoàn toàn trong mặt kia và mặt phẳng chứa biên, hoặc một phần bị chứa còn một phần thì trùng với mặt kia. Khi đó, mặt bị chứa sẽ bé hơn.
Tiên đề 5: Nếu hai đường, mặt, vật thể không bằng nhau thì cái lơn hơn sẽ
lớn hơn cái bé một đại lượng mà gấp nó lên một số lần sẽ được một đại lượng lớn hơn bất kì đại lượng nào trong số đó những đại lượng có thể đặt trong một tỉ lệ xác định.
Những tiên đề này cho phép Archimedes tìm diện tích mặt cầu và viên phân cầu, và tìm được độ dài đường tròn với những độ chính xác tùy ý.
Nhà hình học vĩ đại thứ ba của thời kì này là Apôlôniút (khoảng năm 200- 170 trước Công nguyên) quê ở vùng Tiểu Á. Mặc dù những công trình của ông chưa thể so sánh với các tác phẩm thiên tài của Archimedes nhưng ông đã để lại trong lịch sử hình học những đặc trưng quan trọng và sáng ngời. Mang lại vinh quang cho ông là tác phẩm tuyệt đẹp về các đường cônic gồm 8 cuốn nói về các giao tuyến conic. Apôlôniut đã phát triển công trình về lí thuyết thiết diện conic của Ơclit tương đối hoàn chỉnh trên cơ sở những điều khá tổng quát và chứng
minh chặt chẽ, đã có tác dụng to lớn đối với sự phát triển của khoa học sau này (đặc biệt là thiên văn học ở thế kỉ thứ VII, trong sự khảo sát quỹ đạo của quả đất). Tám quyển Thiết diện Cônic của Apôlôniut đã đạt được những thành tựu cao về mặt toán học, làm cơ sở cho việc xây dựng hình học giải tích.
Trong số những vấn đề hình học chung, các nhà toán học Ả Rập còn chú ý đến lí thuyết về các đường song song. Định đề V của Euclid nêu trong tập cơ bản đã được xét từ thời Hi Lạp cổ, nhưng chưa thành một phong trào lớn. Hồi đó, nhiều người cho rằng có thể chứng minh định đề V dựa vào các định đề và tiên đề khác của Euclid và học cố gắng tìm cách chứng minh. Đã có nhiều công trình của các nhà hình học Ả Rập theo hướng này, nhưng các công trình đó đều mắc một sai lầm phổ biến: họ đã dựa trên một mệnh đề tương đương với định đề V để chứng minh định đề đó (tất nhiên sự tương đương đó biểu hiện một cách tinh vi khó thấy). Các nhà hình học Ả Rập còn xa mới đi đến suy nghĩ sáng tạo tìm ra hình học phi Euclid. Tuy thế, họ đã có được những phát minh quan trọng: tìm ra được sự liên hệ hai chiều giữa định đề V và một số sự kiện như tổng số đo góc trong tam giác, trong tứ giác.
Sau thời kì này thì thời kì toán học cao cấp ra đời, nhà toán học châu Âu đáu tiên đã vượt ra ngoài phạm vi hiểu biết toán học cổ và có cống hiến quan trọng là Lê-ô-na Pi-dan-xơ. Ông viết cuốn Ứng dụng của hình học. mặc dù có tên gọi như thế, nội dung của cuốn sách lại không phải là các vấn đề ứng dụng mà gồm nhiều định lí khác nhau của hình học phẳng, không gian và các vấn đề đo đạc trên các hình. Ngoài những kết quả đã biết từ thời cổ, ở đây còn có những kết quả mới do ông tìm ra, hoặc là những chứng cứ mới rất đặc sắc. Chẳng hạn, ông đã đưa ra cách chứng minh ba đường trung tuyến trong tam giác cắt nhau tại một điểm bằng cách chứng minh rằng giao điểm của hai đường trung tuyến thì chia mỗi đường thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 1:2. Ở đây, ta còn thấy trình bày định lí của ông về bình phương đường chéo của hình hộp chữ nhật. Để tính giá trị của 3,1414...ông đã dùng tứ giác đều 96 cạnh nội và ngoại tiếp đường tròn và tìm thấy: 1440 1440 , 4 1 458 458 9 5 tức là: 3,1414...
Một nhà toán học khác cùng thời với Lê-ô-na Pi-dan-xơ là Gioocđan Nêmôrari (thế kỉ XIII) cũng có những tác phẩm được lưu hành rộng rãi tuy rằng nội dung không phong phú bằng các tác phẩm của Lê-ô-na Pi-dan-xơ. Về hình học, Gioocđan Nêmôrari viết tác phẩm về các tam giác, trong đó trình bày các định lí về sự phân biệt các loại tam giác vuông, tù, nhọn theo độ dài các cạnh và đưuòng trung tuyến, các định lí về phân chia các hình. Ảnh hưởng của Hi Lạp và Ả rập trong tác phẩm này biểu hiện một cách rõ nét.
Ở thế kỉ XVII, toán học bắt đầu nghiên cứu các đại lượng biến thiên và thu được những thành tựu quan trọng, điều đó đã thúc đẩy toán học phát triển một cách nhanh chóng và mạnh mẽ hơn. Theo Ăng-ghen, “đại lượng biến thiên của Descarteslà một cuộc cách mạng trong toán học. Nhờ nó, sự vận động và do đó phép biện chứng đã được đưa vào toán học, và cũng nhờ nó mà phéo tính vi phân, tích phân đã thực sự trở thành không thể thiếu được”. Mục đích của Descartes là tìm một phương pháp suy diễn toán học tổng quát cho việc nghiên cứu mọi vấn đề của khoa học tự nhiên. Ông đã viết tác phẩm Luận cương về
phương pháp để trình bày quan điểm và cho công bố cuốn Hình học với tư cách
là sự ứng dụng của phương pháp mới do mình xây dựng. Chính từu tác phẩm này, môn hình học giải tích – sự kết hợp giữa hình học và đại số đã ra đời, đánh dấu bước ngoặt quan trọng trong lịch sử phát triển của toán học và loài người.
Ngoài Descartes, P. Fermat cũng được xem là người sáng lập ra Hình học giải tích. Hai nhà toán học lỗi lạc nguời Pháp này nghiên cứu độc lập với nhau nhưng đã đồng thời đưa ra cơ sở cho ngành hình học đó. Tư tưởng cơ bản của phương pháp do Descartes và P. Fermat xây dựng là biểu diễn các quan hệ hình học bằng những phương pháp địa số thông qua trung gian là một hệ tọa độ. Nhờ phương pháp này, mọi bài toán hình học đều có thể được chuyển thành bài toán địa số và việc giải bài toán thứ hai thường dễ thực hiện hơn là giải trực tiếp bài toán ban đầu.
Phương pháp của Descartes và P. Fermat tiếp tục được nghiên cứu mạnh mẽ. Newton, Macloranh (1698-1746), Eler (1707-1783), Lagrange (1736- 1813),… cùng một số nhà toán học khác đã có nhiề đóng góp quan trọng cho
việc phát triển hình học giải tích trong mặt phẳng và mở rộng nó vào không gian. Người ta xem đây là một cuộc cách mạng vì nó giúp cho toán học nói chung và hình học nói riêng thoát khỏi kiểu tư duy cụ thể của không gian vật lí để đạt tới những đỉnh cao của sự trừu tượng và khái quát. Sau này, khi khái niệm “chiều” của không gian vật lí được mở rộng, ta có khái niệm “chiều” theo nghĩa toán học, từ đó xây dựng được khái niệm không gian n chiều và có thể nghiên cứu hình học trên các không gian đó, chẳng hạn như không gian vectơ, không gian afin, không gian Euclid, phi Euclid, giả Euclid, không gian xạ ảnh,… n chiều.