5. Cấu trúc của đề tài
2.1.1. Các bài toán dẫn đến kiến thức đại số
Từ trước tới nay, chúng ta thường thấy đại số gặp vấn đề về động cơ thúc đẩy. Trong tất cả các sách giáo khoa viết về môn học này hiện đầy rẫy các ví dụ được tạo ra một cách vô bổ. Chẳng hạn, sau đây là một bài toán từ sách Ars
magna của Girolamo Cardano (1545): “Hai người đàn ông đi kinh doanh với
nhau và có một số vốn chưa biết. Tiền lời của họ bằng lập phương của một phần mười vốn của họ. Nếu họ làm ít đi ba đồng đuca họ sẽ tăng lên một lượng bằng chính vốn của họ. Hỏi vốn là lợi nhuận của họ bằng bao nhiêu?”.
Nếu đọc bài toán này khiến bạn muốn gợi ý “Chúng ta chỉ cần hỏi họ xem vốn và lợi nhuận của họ bằng bao nhiêu là được” thì bạn được chúc mừng về sự tinh khôn của mình. Đặc biệt câu thứ hai của bài toán biểu thị toàn bộ viễn cảnh tưởng tượng như một sự viển vông.
Nguồn thông tin dồi dào về các phép tính của người Ai Cập là Papyrut Rhind. Sau tiêu đề mô tả, Papyrut bắt đầu với bảng các số.
Trong thế giới hiện đại, chúng ta xem số học bao gồm bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia thực hiện trên các số tự nhiên (the whole numbers) và các phân số. Chúng ta học các quy tắc để thực hiện các phép toán này khi còn bé và thực hiện chúng một cách tự động mà không cố gắng chứng mỉnh rằng chúng là đúng. Điều này là khác biệt với người Ai Cập. Đối với người Ai Cập, có vẻ như các phép toán cơ bản là phép cộng và nhân đôi (doubling). Các phép toán này được thực hiện trên các số tự nhiên và các phần (parts). Phần là khái niệm của người Ai Cập tương đương với một phân số. Chẳng hạn, phân số viết theo kiểu ngày nay là 1
7 thì được viết là “phần thứ bảy” (the seventh part”). Cụm từ này chuyển tải hình ảnh của một vật được chia thành bảy phần bằng nhau sắp xếp trên một hàng và phần thứ bảy được chọn. Vì lí do này, theo Van der Waerden thì có thể chỉ có một phần thứ bảy, gọi là phần cuối cùng; sẽ không có cách nào
để diễn đạt phân số 3
7 . Có một ngoại lệ là phân số mà ta viết là 2
3, xuất hiện liên tục trong Papyrut Rhind. Có một kí hiệu đặc biệt với ý nghĩa “hai phần” lấy ra của ba. Tuy nhiên, nói chung, người Ai Cập chỉ sử dụng các phần mà trong suy nghĩ của họ là các phân số đơn vị, tức là các phân số có tử bằng 1. Để thuận tiện chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu hiện đại cho số tự nhiên và mô tả một phần bởi số toàn thể tương ứng với một thanh ngang ở trên nó. Chẳng hạn, phần thứ năm
sẽ được viết là 5, phần thứ mười ba là 13,… Đối với “hai phần” 2 3
ta sẽ kí
hiệu một thanh ba gấp đôi, tức là 3 .
Phép nhân và phép chia. Vì phép nhân đôi khác hoàn toàn với phép cộng và phép trừ, nên ta thực hiện phép nhân 11 với 1 như sau:
19 1 *
38 2 *
76 4
152 8 *
209 11
Các hàng được tạo ra theo tỷ lệ bằng cách nhân đôi mỗi lần. 19 tương ứng với 1, 38 tương ứng với 2, 76 tương ứng với 4, 152 tương ứng với 8. Mà 11 3 8 vậy nên ta lấy tương ứng của 3 và 8 cộng lại bằng 209, đây chính là kết quả của 19 nhân 11. Tương tự, cách làm như vậy ta có thể thực hiện để thực hiện các phép tính khác. Ngược lại với phép nhân đó là phép chia. Đối với phép chia ta thực hiện đảo ngược hai cột so với phép nhân. Ví dụ ta thực hiện phép tính 864 chia 96 chính là tính toán 96 nhân với bao nhiêu để nhận kết quả được 864. Cách làm như sau: 96 1 * 192 2 384 4 768 8 * 864 9
Cách làm như trên bao gồm các nguyên tắc tạo ra hàng mới và hàng nào được đánh dấu với một hình hoa thị, hoàn toàn tương ứng như đối với phép nhân ngoại trừ cột trái được sử dụng như cột phải của phép nhân. Chúng ta cứ thực hiện như vậy cho đến khi phần tử tiếp theo ở cột trái lớn hơn 864. Khi đó ta đánh dấu hàng trên hàng cuối cùng, sau đó lấy 864 trừ đi 768 được số dư là 96 rồi đi tìm hàng ở bên trái xem cột nào chứa số không lớn hơn 96, đánh dấu hàng này và cứ tếp tục như thế cho đến khi kết thúc.
“Các phần”. Trong thực tế không phải bài toán nào cũng thực hiện ra các số nguyên như ở trên, khi không làm được qua cách trên ta phải chuyển sang làm cách khác được thể hiện ở ví dụ sau. Ví dụ, tính toán với 15 để được 35. Đối với bài toán này ta giải quyết như sau:
* 15 1
30 2
10 3
* 5 3
35 2 3
Cách làm này được giải thích như sau: ta lấy 15 tương ứng với 1, 30 tương ứng với 2 đến đây nếu ta thực hiện tiếp sẽ ra 60 mà 60 lớn hơn 35 nên ta dừng lại ở 30. Trừ 35 cho 30 thấy dư 5 nhưng 5 không có vì vậy ta trở lại hàng thứ nhất nhân với 2
3 nhận được hàng tiếp theo chứa 10 và 3 , tiếp đó lại chia cho 2 để nhận được 5 ở cột bên trái. Khi đó ta có các số cần để được 35, và kết quả được viết là 23 .
Về đại số. Mặc dù số học và hình học tràn ngập hầu hết các papyrus Ai Cập nhưng có một số bài toán trong đó được xem là đại số và đến ngày nay thì chúng được gọi là bài toán tuyến tính vì chúng đòi hỏi vệc sử dụng ẩn tàng các tỷ lệ thuận. Khái niệm về tỉ lệ thức là chìa khóa đối với các bài toán dựa vào “quy tắc đặt sai”. Papyrus có bài toán nổi tiếng sau: “Diện tích của một hình vuông bằng 100 và bằng diện tích của hai hình vuông nhỏ hơn. Cạnh của một trong hai hình
vuông bằng 24 cạnh của hình vuông kia. Hãy tính cạnh của hai hình vuông chưa biết”.
Đây chính là bài toán tìm hai số biết rằng tỉ số giữa chúng bằng 3
4 và tống các bình phương cả chúng bằng 100. Người ta giả sử rằng một trong hai hình vuông có cạnh bằng 1 và hình còn lại có cạnh bằng 24 . Vì tổng diện tích là 1 216 nên căn bậc hai của số này được lấy là 1 4 , rút ra cạnh của một hình vuông bằng tổng của hai hình vuông đã cho này. Khi đó, cạnh này nhân với nhân tử tỉ lệ đúng để được 10 hay nói cách khác 10 chia cho 1 4 được 8 là cạnh của hình vuông lớn hơn từ đây ta tính được cạnh của hình vuông nhỏ bằng cách lấy
2
100 8 36 và lấy căn bậc hai của 36 được 6 đây chính là độ dài cạnh của hình vuông nhỏ hơn.
2.1.2. Phƣơng trình và các thuật giải
Từ khi phương trình xuất hiện tường minh thì người ta xem xét chúng theo hai hướng song song. Đó là: tìm những xấp xỉ số học cho nghiệm của một phương trình và tìm một thuật toán chỉ lien quan đến bốn phép toán số học và phép khai căn dẫn đến nghiệm. Hướng thứ hai này được phát triển đỉnh điểm ở nước Ý thế kỉ XVI với nghiệm số học của phương trình bậc bốn. Điển hình nhất đó là tác phẩm của Diophantine chứa đựng nhiều chủ đề mà hình thành nên một phần lý thuyết số và đại số ngày nay.
Một phương trình bậc hai hoặc nhiều hơn hai ẩn đòi hỏi chỉ tìm nghiệm hữu tỷ hay nghiệm nguyên ngày nay được gọi là một phương trình Đi-ô-phăng.
Bên cạnh phương trình Đi-ô-phăng thì ở Trung Quốc các nhà toán học không bị áp lực với phương trình bậc cao, Người ta đề ra kĩ thuật giải đồng thời các loại phương trình tuyến tính và chỉ ra sự tương tự với các kĩ thuật ma trận hiện đại.
Các ví dụ của phương pháp này được tìm thấy trong Cửu chương Toán
thuật. Một ví dụ của kĩ thuật này như sau: Có ba loại cây lúa mì. Các hạt tương
ứng được chứa trong hai, ba và bốn bó của ba loại cây lúa mì này không đủ để tạo thành một đơn vị toàn thể. Tuy nhiên, nếu ta cộng tương ứng vào một bó loại
hai, loại ba và loại một thì các hạt sẽ trở thành một đơn vị đầy đủ trong mỗi trường hợp. Hỏi khi đó mỗi một bó các loại hạt khác nhau có chứa bao nhiêu đơn vị hạt”.
Từ bài toán này người ta có bảng tính như sau:
1 2 Loại thứ nhất
3 1 Loại thứ hai
4 1 Loại thứ ba
1 1 1 Đơn vị
Các cột từ phải sang trái biểu diễn ba mẫu lúa mì. Cột bên tay phải biểu diễn 2 bó của loại lúa mì thứ nhất, một bó của loại thứ hai được thêm vào trong cột này. Hàng cuối cùng chỉ kết quả trong mỗi trường hợp: 1 đơn vị.
Ngoài phương trình tuyến tính còn có phương trình bậc hai và phương trình bậc ba. Bài toán liên quan đến một thị trấn được rào xung quanh bởi một bức tường vuông với mỗi cái cổng ở tâm của mỗi cạnh. Bài toán này đề xuất một phương trình bậc hai như một bài toán được giải quyết đối với mỗi ẩn số đơn. Phương trình bậc hai xuất hiện không giống như phưng trình bậc ba, nó được xuất hiện lần đầu tiên trong toán học Trung Quốc vào thế kỉ thứ VII trong tác phẩm Sự tiếp nối của Toán học cổ. Trong tác phẩm này có nói đến sự rắc rối của một số bài toán lien quan đến tam giác vuông. Ví dụ như bài toán tính độ dài một cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết rằng tích của cạnh góc vuông còn lại với cạnh huyền là 1337 1
20 và hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông đó là 1 1
10. Ta thấy các dữ kiện này cung cấp đầy đủ về tích P và hiệu D. Các nhà toán học đã đưa ra một mô tả tổng quát của kết quả vệc khử cạnh huyền và cạnh góc vuông khác. Tóm lại ta có phương trình sau:
2 3 3 5 2 2 2 2 2 2 D P D x x D x D
Trong trường hợp bài toán trên thì phương trình lúc này trở thành:
3 1 2 1 64
8938513 0
4 50 125
x x x
Sau đó sử dụng quy tắc khai căn nghiệm bậc ba người ta tìm được kết quả
là 922 5.
Từ các nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỷ của phương trình người ta còn tìm ra nghiệm số học của các phương trình. Người có công sáng tạo ra phương phá này đầu tiên đó là người giáo viên phổ thông Anh quốc Uy-lo-am Hooc-ne. Chúng ta hãy minh họa với trường hợp phương trình bậc ba
3 2
0
px qx rx s ta tìm thấy chữ số đầu tiên a của nghiệm. Khi đó, ta hạ bậc phương trình bằng cách đặt: x y a và thay vào phương trình trên ta được:
3 2 2 3 2 2
3 3 2 0
py pay pa y pa qy qayqa ryra s
Phương pháp này có rất nhiều hiệu quả nhất là trong việc tìm các nghiệm sấp xỉ cho phép người Trung Quốc thuận tiện hơn trong việc giải quyết các phương trình liên quan đến các hệ số lớn và phương trình bậc cao.
2.1.3. Lƣợng giác
Lượng giác là một lĩnh vực của toán học có liên quan đến các hàm đặc biệt về góc và ứng dụng của chúng trong tính toán. Trong lượng giác thường được sử dụng sáu hàm về góc đó là: sine (sin), cosine (cos), tangent (tan), cotangent (cot), secant (sec) và cosecant (csc).
Lượng giác phát triển từ nhu cầu về tính các góc và khoảng cách trong các lĩnh vực như thiên văn học, tạo bản đồ, trắc địa, và tìm tầm bay của pháo. Các bài toán liên quan đến các góc và khoảng cách trong mặt phẳng được bao hàm trong lượng giác phẳng. Áp dụng vào các bài toán tương tự trong nhiều hơn một mặt của không gian ba chiều được xét trong lượng giác cầu. Lượng giác chủ yếu liên quan đến việc tính toán các giá trị bằng số của các thành phần vắng mặt của một tam giác khi các giá trị của các thành phần khác đã biết. Lượng giác là một kết quả của hình học. Lượng giác chia làm hai thời kì đó là lượng giác cổ điển và lượng giác hiện đại.
Một đóng góp không nhỏ cho lượng giác đó chính là nhờ đến thế giới Ai Cập và Địa Trung Hải cổ xưa. Từ nền văn hóa Ai Cập đã có một bài toán phát biểu rằng: “Nếu một kim tự tháp cao 250 cubit và cạnh đáy của nó dài 360 cubit
thì độ dốc của nó là bao nhiêu?” kết quả được đưa ra là 5125 gang tay trên mỗi
cubit và vì một cubit bằng 7 gang tay nên phân số này bằng tỉ lệ thuần túy 1825. Đây thực sự là cot của góc giữa mặt đáy và mặt bên. Hipparchus (190-120 trước Công nguyên) là người đầu tiên xây dựng bảng giá trị đối với các hàm lượng giác. Ông ta xem mỗi tam giác – phẳng hoặc cầu là nội tiếp trong một đường tròn nên mỗi cạnh trở thành một dây cung tức là một đoạn thẳng nối hai điểm trên một đường cong hoặc một mặt cầu như tam giác ABC ở hình dưới đây.
O
A B
C
Đây là hình vẽ minh họa mối quan hệ giữ một góc ở tâm là AOB (là góc tạo bởi hai bán kính trong đường tròn và dây cung AB của nó (bằng một cạnh của tam giác nội tiếp).
Để tính các bộ phận khác của tam giác này, người ta phải tìm độ dài của mỗi dây cung như một hàm của góc ở tâm chắn cung đó hay độ dài của dây cung như một hàm của độ dài cung tương ứng. Đây chính là nhiệm vụ chủ yếu của lượng giác trong một vài thế kỉ. Là một nhà thiên văn học, Hipparchus chủ yếu quan tâm đến các tam giác cầu như tam giác ảo tạo thành ba ngôi sao trên thiên
cầu, nhưng ông cũng quen thuộc với các kiến thức cơ bản của lượng giác phẳng. Trong thời đại của Hipparchus, những công thức này được mô tả theo thuật ngữ hình học thuần túy như mối quan hệ giữa các cung khác nhau và các góc chắn cung. Các kí hiệu hiện đại đối với các hàm lượng giác không được giới thiệu cho đến thế kỉ XVII.
Lượng giác hiện đại vào thế kỉ XVI bắt đầu thay đổi đặc điểm của mình từ một môn hình học thuần túy thành một môn đại số - giải tích. Hai sự phát triển đã thúc đẩy sự biến đổi này là: sự xuất hiện của đại số kí hiệu mà người đi tiên phong là nhà toán học Pháp Phrăngxoa Vi-et, và sự sáng tạo ra hình học giải tích bởi hai nhà toán học người Pháp khác đó là: P. Fermat và R. Decarter. Vi- et đã chứng tỏ rằng nghiệm của nhiều phương trình đại số có thể được biểu diễn bằng việc sử dụng các biểu thức lượng giác. Chẳng hạn, phương trình: 3
1 x có ba nghiệm: 1 1 3 os120 .sin120 2 2 1 3 os240 .sin 240 2 2 x c i i c i i
Trong đó ilà kí hiệu cho 1, đơn vị ảo.
Các biểu thức lượng giác này có thể xuất hiện trong nghiệm của một phương trình đại số thuần túy là một sự mới lạ trong thời đại của Vi-et. Ông đã sử dụng nó làm thuận lợi trong một cuộc đấu trí giữa vua Henry IV của Pháp với đại sứ Hà Lan tại Pháp. Người thứ hai đã nói một cách miệt thị về chất lượng yếu kém của các nhà toán học Pháp và thách thức nhà vua với một bài toán được sáng tác bởi Adriaen van Roomen, giáo sư toán và y học ở đại học Louvain (nước Bỉ), về giải một phương trình đại số nào đó có bậc 45. Nhà vua đã cho triệu tập Viete, người đã giải ngay lập tức tìm thấy lời giải và vào ngày tiếp theo đã tăng thêm 22 bậc.
Viete cũng là người đầu tiên làm hợp pháo hóa việc sử dụng các quá trình