SÜ ÊN ÀNH NGHI›M CÕA MËT LÎP CC PH×ÌNG TRœNH H€M

2 Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian Metric suy rëng v sü

2.3 SÜ ÊN ÀNH NGHI›M CÕA MËT LÎP CC PH×ÌNG TRœNH H€M

TRœNH H€M D„NG CAUCHY.

2.3.1 ành lþ (Soon-Mo Jung v  Seungwook Min [7])

Cho X l  khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè K, (Y,kk) l  khæng gian Banach tr¶n K v  (Y ×Y,kk2) l  khæng gian Banach, trong â kk2 l  mët chu©n t÷ìng ÷ìng vîi chu©n max trong Y ×Y câ t½nh ch§t: Tçn t¤i mët sè k >0 sao cho:

k(u, u)−(v, v)k2 ≤kku−vk ∀u, v ∈Y (2.21) Gi£ sû :

i) F :Y ×Y →Y l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc vîi chu©n kFk v  thäa m¢n:

F(F(u, u), F(v, v)) =F(F(u, v), F(u, v)), ∀u, v ∈Y (2.22) ii) φ :X×X →[0; +∞) l  h m sè câ t½nh ch§t:

φ(x 2,

y

2)≤φ(x, y) ∀x, y ∈X (2.23)

Khi â, n¸u kkFk<1 v  h m f :X →Y thäa m¢n b§t ¯ng thùc:

th¼ tçn t¤i duy nh§t h m f∗:X →Y l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m:

f(x+y) =F(f(x), f(y)) (2.25)

sao cho:

kf(x)−f∗(x)k ≤ 1

1−kkFkφ(x, x) ∀x∈X (2.26) Chùng minh. Kþ hi»u E l  tªp t§t c£ c¡c h m h:X →Y. Vîi hai h m h, g tòy þ thuëc E ta °t:

d(h, g) = inf{C∈[0; +∞] :kh(x)−g(x)k ≤Cφ(x, x) ∀x∈X}

Theo m»nh · 2.3.1 khæng gian (E, d) l  khæng gian metric suy rëng ¦y õ. Ta x¡c ành mët ¡nh x¤ T :E →E cho bði cæng thùc: (T h)(x) = F(hx 2 , hx 2 ) ∀x∈X (2.27)

Khi âT l  mët ¡nh x¤ co ch°t. Thüc vªy, vîi hai h m tòy þ h, g ∈Ev C ∈[0; +∞]

thäa m¢n d(g, h)≤C ta câ: kg(x)−h(x)k ≤Cφ(x, x) ∀x∈X (2.28) Tø (2.21), (2.23), (2.27) v  (2.28) ta câ: k(T g) (x)−(T h) (x)k=F g x2, g x2−F h x2, h x2 ≤ kFk g x2, g x2− h x2, h x2 2≤ kFkkg x2−h x2 ≤kkFkCφ x2,x2≤kkFkCφ(x, x) (∀x∈X) (2.29) Theo ành ngh¾a cõa metric suy rëng d, tø (2.29) v  c¡ch chån C suy ra:

d(T g, T h)≤kkFkd(g, h)

V¼ kkFk < 1 ¡nh x¤ T l  ¡nh x¤ co ch°t. B¥y gií gi£ sû f l  mët h m thuëc E

thäa m¢n (2.24), ta s³ chùng minh r¬ng d(T f, f)<+∞.Thay trong (2.25) x, y bði x

2, tø (2.24) v  ành ngh¾a cõa T ta câ:

kf(x)−(T f)(x)k ≤φ(x 2,

x

2)≤φ(x, x) ∀x∈X

Vªy d(T f, f) ≤ 1. Trong ành lþ 2.1.2 °t m = 0 v  x = f ta th§y r¬ng c¡c i·u ki»n cõa ành lþ 2.1.2 ·u ÷ñc thäa m¢n. Vªy tçn t¤i duy nh§t mët h m f∗ l  iºm

b§t ëng cõa T trong tªp E∗ ={g ∈E :d(f, g)<+∞}, tùc l  f∗ thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh: f∗(x) =F(f∗ x 2 , f∗ x 2 ) ∀x∈X çng thíi: lim n→∞d(Tnf, f∗) = 0, d(f, f∗)≤ 1 1−kkFkd(T f, f)≤ 1 1−kkFk (2.30) Theo ành ngh¾a cõa metric suy rëng d, tø (2.30) ta suy ra (2.26).

B¥y gií ta kh¯ng ành r¬ng:

k(Tnf)(x+y)−F((Tnf)(x),(Tnf)(y))k ≤(kkFk)nφ(x, y) ∀n ∈N0,∀x, y ∈X

(2.31) Thüc vªy, tø (2.21),(2.22),(2.23),(2.24) v  (2.27) suy ra:

k(T f)(x+y)−F((T f)(x),(T f)(y))k= F(f(x+2y), f(x+2y))−F(F(f(x2), f(x2)), F(f(y2), f(y2)))= F(f(x+2y), f(x+2y))−F(F(f(x2), f(y2)), F(f(x2), f(y2)))≤ kFk(f(x+2y), f(x+2y))−(F(f(x2), f(y2)), F(f(x2), f(y2))) 2 ≤ kFkkf(x+2y)−F(f(x2), f(y2))≤kkFkφ(x2,y2)≤kkFkφ(x, y) (2.32)

Gi£ sû r¬ng (2.31) ¢ ÷ñc chùng minh vîi sè nguy¶n d÷ìng n n o â. Tø (2.21), (2.23), (2.27) v  (2.31) ta câ: (Tn+1f)(x+y)−F((Tn+1f)(x),(Tn+1f)(y))= F((Tnf)(x+2y),(Tnf)(x+2y))−F(F((Tnf)(x2),(Tnf)(x2)), F((Tnf)(y2),(Tnf)(y2))≤ kFk((Tnf)(x+2y),(Tnf)(x+2y))−(F((Tnf)(x2),(Tnf)(x2)), F((Tnf)(y2),(Tnf)(y2)) 2 = kFk((Tnf)(x+2y),(Tnf)(x+2y))−(F((Tnf)(x2),(Tnf)(y2)), F((Tnf)(x2),(Tnf)(y2)) 2 ≤ kFkk(Tnf)(x+2y)−F((Tnf)(x2),(Tnf)(2y))≤(kkFk)n+1φ(x2,y2)≤(kkFk)n+1φ(x, y)

Tø b§t ¯ng thùc vøa nhªn ÷ñc, ta k¸t luªn r¬ng (2.31) óng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n theo nguy¶n lþ quy n¤p.

Cuèi còng ta chùng minh r¬ng f∗ thäa m¢n (2.25) vîi måi x, y ∈ X. Vîi méi x, y

cè ành trong X, tø lim

n→∞d(Tnf, f∗) = 0 v  ành ngh¾a cõa d ta suy ra:

lim

n→∞d(Tnf, f∗) = 0, lim

n→∞kTnf(x)−f∗(x)k= 0, lim

n→∞kTnf(y)−f∗(y)k= 0

Bði v¼F :Y ×Y →Y l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc, cho n d¦n tîi væ cüc trong (2.31) v  º þ ¸n (2.30) v  kkFk<1 ta ÷ñc:

kf∗(x+y)−F(f∗(x), f∗(y))k= lim

n→∞k(Tnf)(x+y)−F((Tnf)(x),(Tnf)(y)k ≤ lim

Vªy f∗(x +y) = F(f∗(x), f∗(y)) (∀x, y ∈ X). ành lþ ÷ñc chùng minh ho n to n.

Nhªn x²t: H m f thäa m¢n (2.24) câ thº coi l  mët nghi»m x§p x¿ cõa (2.25) (ch½nh x¡c hìn, h mf thäa m¢n (2.24) gåi l  mët nghi»m φ - x§p x¿ cõa (2.25)). ành lþ 2.3.1 nâi r¬ng n¸u èi vîi ph÷ìng tr¼nh (2.25) tçn t¤i mët nghi»m φ - x§p x¿ f th¼ nâ s³ câ ½t nh§t mët nghi»m thüc sü f∗ v  ë l»ch giúa nghi»m thüc sü f∗ v  nghi»m

φ - x§p x¿ f ÷ñc cho bði cæng thùc (2.26).

N¸u φ :X×X →[0; +∞) l  h m thu¦n nh§t bªc p≥ 0th¼ φ thäa m¢n i·u ki»n (2.23). Thüc vªy: φ(x 2, y 2) = 1 2pφ(x, y)≤φ(x, y) (∀x, y ∈X)

Tø â suy ra n¸uα : [0; +∞)→[0; +∞)l  h m khæng gi£m tòy þ v  φ:X×X →

[0; +∞) l  h m thu¦n nh§t bªc p th¼ h m α(φ(x, y)) công thäa m¢n i·u ki»n (2.23). Nh÷ vªy lîp c¡c h m φ thäa m¢n i·u ki»n (2.23) kh¡ rëng.

Vîi θ v  p l  c¡c sè khæng ¥m tòy þ °t:

φ(x, y) = θ(kxkp+kykp) (∀x, y ∈X) (2.33) Rã r ng φ l  h m thu¦n nh§t bªc p ¡nh x¤ X×X v o kho£ng [0; +∞).

°t p= 0 trong (2.33) ta nhªn ÷ñc mët tr÷íng hñp ri¶ng l  h m φ(x, y) = 2θ = const >0.V½ dö vøa n¶u cho ph²p ÷a ra mët h» qu£ cõa ành lþ 2.3.1.

2.3.2 H» qu£

Cho X l  khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè K, (Y,kk) l  khæng gian Banach tr¶n K v  (Y ×Y,kk2) l  khæng gian Banach, trong â kk2 l  mët chu©n t÷ìng ÷ìng vîi chu©n max trong Y ×Y câ t½nh ch§t:

Tçn t¤i mët sè k >0 sao cho:

k(u, u)−(v, v)k2 ≤kku−vk ∀u, v ∈Y

Gi£ sû F :Y ×Y →Y l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc vîi chu©n kFk v  thäa m¢n:

F(F(u, u), F(v, v)) =F(F(u, v), F(u, v)), ∀u, v ∈Y

Khi â, n¸u kkFk<1 v  h m f :X →Y thäa m¢n b§t ¯ng thùc:

trong â θ v  p l  c¡c sè khæng ¥m, th¼ tçn t¤i duy nh§t h m f∗:X →Y thäa m¢n: f∗(x+y) =F(f∗(x), f∗(y)) sao cho: kf(x)−f∗(x)k ≤ 2θkxk p 1−kkFk ∀x∈X (2.35) 2.3.3 V½ dö ¡p döng

L§y X =Y =Rv  xemX, Y nh÷ c¡c khæng gian Banach vîi chu©n l  trà tuy»t èi. Tr¶n Y ×Y = R2 ta trang bà chu©n max: k(x, y)k2 = max {|x|,|y|} (∀(x, y) ∈ R2).

Khi â ta câk(x, x)−(y, y)k2=|x−y|.Vªy i·u ki»n (2.21) ÷ñc thäa m¢n vîi k = 1.

X²t ¡nh x¤ tuy¸n t½nh F :R2 →Rcho bði cæng thùc:

F(x, y) = A.x+B.y (∀x, y ∈R)

trong â A, B l  c¡c h¬ng sè thüc thäa m¢n |A|+|B|<1.Ta câ:

|F(x, y)| = |A.x+B.y| ≤ (|A| + |B|)max{|x|,|y|} v  |A| + |B| = A.sign(A) + B.sign(B)

trong â sign(x) = 1 n¸u x >0, sign(x) =−1 n¸u x <0. Tø â d¹ d ng suy ra:

kFk= sup{|F(x, y)|=|A.x+B.y|:x, y ∈R&max{|x|,|y|} ≤1}=|A|+|B|

do â kkFk=|A|+|B|<1. M°t kh¡c:

F(F(u, u), F(v, v)) = A(A+B)u+B(A+B)v =A(Au+Bv) +B(Au+Bv) = F(F(u, v), F(u, v))

Vªy ¡nh x¤ tuy¸n t½nh thäa m¢n i·u ki»n (2.22). Nh÷ vªy c¡c i·u ki»n °t l¶n c¡c khæng gian X, Y v  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh F trong ành lþ 2.3.2 ÷ñc thäa m¢n. i·u n y cho ph²p ta ph¡t biºu m»nh ·:

2.3.4 M»nh ·

Gi£ sû ψ : R2 →[0; +∞) l  h m hai bi¸n thüc thäa m¢n i·u ki»n (2.23). Ta nâi h m f :R→R l  h m t«ng khæng nhanh hìn h m ψ(x, x) n¸u tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng

thüc thäa m¢n |A|+|B| < 1 v  F(u, v) = Au+Bv (∀u, v ∈ R) th¼ h m f∗(x) ≡ 0

l  nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy (2.25) trong lîp c¡c h m x¡c ành tr¶n R v  t«ng khæng nhanh hìn h m ψ(x, x).

Chùng minh. Gi£ sû f(x)x¡c ành tr¶n R, thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh:

f(x+y) = A.f(x) +B.f(y) (∀x, y ∈R) (2.36) v  tçn t¤i h¬ng sèM > 0 sao cho|f(x)| ≤M ψ(x, x) (∀x∈R). °tX =Y =R,chu©n

k(x, y)k2 =max{|x|,|y|} (∀(x, y)∈R2), φ(x, y) = (1− |A| − |B|)M ψ(x, y), rã r ng h m f∗(x)≡0thäa m¢n:

|f∗(x+y)−A.f∗(x)−B.f∗(y)|= 0 ≤φ(x, y) (∀x, y ∈R)

p döng ành lþ 2.3.3 ta suy ra câ duy nh§t nghi»m cõa (2.36) trong lîp c¡c h m

h(x)x¡c ành tr¶n R thäa m¢n b§t ¯ng thùc:

|f∗(x)−h(x)|=|h(x)| ≤ 1

1− |A| − |B|φ(x, x) = M ψ(x, x) (∀x∈R) (2.37) V¼ c£ f(x) v  f∗(x)≡0 ·u thäa m¢n (2.37) n¶n f(x) = f∗(x)≡0.

Nhªn x²t: Thüc ra ph÷ìng tr¼nh (2.36) vîi gi£ thi¸t |A|+|B| <1 ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng f∗(x) ≡ 0 trong tªp t§t c£ c¡c h m x¡c ành tr¶n R. Sü ki»n n y ÷ñc chùng minh ìn gi£n nh÷ sau:

°t trong (2.36) x=y = 0 ta suy ra (1−A−B)f(0) = 0 →f(0) = 0. °t trong (2.36) y= 0 ta ÷ñc f(x) =A.f(x) (∀x ∈R). Suy ra (1−A)f(x) = 0 (∀x∈R). V¼

|A|<1n¶n tø ¥y suy raf(x) = 0 (∀x∈R).Thû trüc ti¸p th§y h m f∗(x)≡0thäa m¢n (2.36) n¶n ta suy ra kh¯ng ành cõa nhªn x²t

Cho X, Y l  c¡c khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè K. N¸uA, B l  c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh tø khæng gian Y v o ch½nh nâ câ t½nh ch§t:

i) A+B khæng câ gi¡ trà ri¶ng 1

ii) ho°c A, ho°cB khæng câ gi¡ trà ri¶ng 1 th¼ ph÷ìng tr¼nh h m:

f(x+y) = A(f(x)) +B(f(y)) (2.38)

ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng f ≡θ trong lîp t§t c£ c¡c ¡nh x¤ tø X v o Y.

Chùng minh. °t x = y = θ trong (2.38) ta câ (A+B)f(θ) =f(θ). V¼ A+B

A, B, x, y nh÷ nhau trong (2.38) n¶n câ thº coi A khæng câ gi¡ trà ri¶ng 1, °t trong (2.38)y=θ ta câA(f(x)) =f(x) (∀x∈X).V¼Akhæng câ gi¡ trà ri¶ng 1 n¶n ta ph£i câf(x) =θ (∀x∈X).

K¸t luªn

B£n luªn v«n iºm b§t ëng v  c¡c ph÷ìng tr¼nh h m tªp hñp c¡c v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh h m m  líi gi£i cõa nâ câ dòng ¸n c¡c t½nh ch§t kh¡c nhau cõa tªp c¡c iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ f n o â.

Ch÷ìng I cõa b£n luªn v«n tr¼nh b y ành ngh¾a iºm b§t ëng, mët sè c¡c ành lþ sì c§p v· iºm b§t ëng v  nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian metric công nh÷ mët k¸t qu£ trong b i b¡o [1]. T¡c gi£ ¢ chùng minh mët sè kh¯ng ành mang t½nh ch§t kÿ thuªt º ti»n sû döng trong líi gi£i cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh h m (c¡c ành lþ 1.2.2,1.2.3,1.2.4,1.2.5, 1.2.6, 1.3.3, 1.3.4). Möc 1.2 tr¼nh b y c¡c v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh h m m  líi gi£i cõa chóng câ sû döng sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ n o â. Mët sè trong c¡c v½ dö n y l  c¡c b i to¡n trong c¡c ký thi Olympic To¡n quèc t¸ IMO, ¢ trð th nh c¡c v½ dö kinh iºn cho vi»c ùng döng iºm b§t ëng v o ph÷ìng tr¼nh h m v  ÷ñc tr¼nh b y trong nhi·u t i li»u. Mët sè c¡c v½ dö kh¡c do t¡c gi£ tü s¡ng t¡c d÷îi sü h÷îng d¨n cõa T.S Ho ng V«n Hòng.

Möc 1.3 tr¼nh b y nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian metric v  ùng döng nguy¶n lþ n y v o vi»c gi£i mët sè d¤ng ph÷ìng tr¼nh h m. C¡c ph÷ìng tr¼nh h m trong möc n y th÷íng ÷ñc x²t trong c¡c lîp h m câ t½nh ch§t °c bi»t ( v½ dö lîp c¡c h m bà ch°n, lîp c¡c h m li¶n töc, ...). C¡c lîp h m n y l  c¡c khæng gian metric ¦y õ , cán c¡c ph÷ìng tr¼nh h m ÷ñc x²t ÷ñc vi¸t l¤i d÷îi d¤ng (T f)(x) = f(x),trong â f l  h m c¦n t¼m v  T l  ¡nh x¤ co ch°t tr¶n khæng gian metric ¦y õ t÷ìng ùng. C¡c ph÷ìng tr¼nh h m trong möc n y ·u duy nh§t nghi»m.

Möc 1.4 tr¼nh b y mët k¸t qu£ cõa t¡c gi£ Ho ng V«n Hòng trong [1], k¸t qu£ n y cho ph²p kh¯ng ành sü væ nghi»m cõa mët sè c¡c ph÷ìng tr¼nh h m düa tr¶n c§u tróc tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ l°p cõa mët ¡nh x¤ g n o â. C¡c v½ dö cõa möc n y l  c¡c ph÷ìng tr¼nh h m xu§t hi»n c£ ð trong ¤i sè tuy¸n t½nh l¨n gi£i t½ch.

Ch÷ìng II tr¼nh b y nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian metric suy rëng. Nguy¶n lþ n y l  cì sð º ¡p döng ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng v o vi»c x²t sü ên ành nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy. Möc 2.2 tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ cõa C.Park v  Th.M Rassias v· sü ên ành nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. C¡c k¸t qu£ n y têng qu¡t k¸t qu£ cõa Hyers [4] v  ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch ¡p döng nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian metric suy rëng. º ch¿ ra ¡p döng cõa k¸t qu£ v o l¾nh vüc b§t ph÷ìng tr¼nh h m sì c§p, t¡c gi£ d¨n ra hai v½ dö, mët v½ dö l§y trong t i li»u tham kh£o, v½ dö kh¡c t¡c gi£ tü s¡ng t¡c.

Möc 2.3 tr¼nh b y mët k¸t qu£ cõa Soon-Mo Jung v  Seungwook Min [7] v· sü ên ành nghi»m cõa mët lîp c¡c ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy. Chùng minh k¸t qu£ n y công düa tr¶n nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian metric suy rëng, tùc l  ¡p döng ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng. K¸t qu£ n y ÷ñc ¡p döng v o l¾nh vüc ph÷ìng tr¼nh h m sì c§p v  cho c¡c k¸t luªn v· nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng f(x+y) =Af(x) +Bf(y), trong â A, B l  c¡c h¬ng sè.

Nëi dung cõa b£n luªn v«n ¢ chùng tä kh¡i ni»m iºm b§t ëng, t½nh ch§t cõa tªp iºm b§t ëng công nh÷ sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa mët lîp c¡c ¡nh x¤ n o â l  r§t húu ½ch trong vi»c gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh h m v  b§t ph÷ìng tr¼nh h m.

T i li»u tham kh£o

[1] Nguy¹n Quþ Dy, Nguy¹n V«n Nho, Vô V«n Tho£. Tuyºn tªp 200 b i thi Væ àch to¡n. Tªp 3: Gi£i t½ch. Nh  xu§t b£n Gi¡o döc 2002.

[2] Ho ng V«n Hòng. Nhªn x²t v· c¡c ¡nh x¤ giao ho¡n tr¶n mët tªp tuý þ. T¤p ch½ Khoa håc-cæng ngh» H ng h£i. Sè 18 ( 6/2009), tr 90-93.

[3] B.M.Makarov, M.G.Goluzina, A.A.Lodkin, A.N.Podkorytov. C¡c b i to¡n chån låc v· gi£i t½ch thüc. Moskva, nh  xu§t b£n " Khoa håc", 1992 ( Ti¸ng Nga). [4] Choonkil Park , Themistocles M. Rassias. Fixed points and stability of the Cauchy

functional equation. The Australian Journal of Mathematical Analysis and Appli- cations, volume 6, Issue I, article 14,1-9,2009.

[5] D.H. Hyers. On the stability of the linear functional equation, Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 27 (1941),222-224.

[6] D.H Hyers, G.Isac, and Th.M Rassias. Topics in Nonlinear Analysis and Applica- tions, World Scientifix, River Edge, NJ, USA, 1997.

[7] Th.M Rassias. On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Pro.Amer. Math. Soc., 72 (1978),297-300.

[8] S.M.Ulam. A collection of the Mathematical Problems, Interscience Publ. New York, 1960.

[9] S.-M Jung and Z.-H Lee. A fixed point approach to the stability of quadratic functional equation with involution, Fixed point theory and applications,vol. 2008. [10] Soon-Mo Jung v  Seungwook Min . A fixed point approach to the stability of the functional equation f( x + y) = F(f(x),f(y)). Fixed point theory and applications, Volume 2009.