SÜ ÊN ÀNH NGHI›M CÕA PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY

2 Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian Metric suy rëng v sü

2.2 SÜ ÊN ÀNH NGHI›M CÕA PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY

Do t½nh tòy þ cõa d¢y Cauchy {fn} ta k¸t luªn r¬ng (E, d) l  khæng gian metric suy rëng ¦y õ.

2.2 SÜ ÊN ÀNH NGHI›M CÕA PH×ÌNG TRœNH H€MCAUCHY. CAUCHY.

V§n · ên ành nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m khði nguçn tø b i to¡n cõa S.M.Ulam (S.M.Ulam [9]):

Gi£ sû (G1,∗)l  mët nhâm v  (G1,◦, d)l  mët nhâm metric vîi metric d(., .). Cho sèε,tçn t¤i hay khæng δ=δ(ε)>0sao cho n¸u h:G1→G2 l  ¡nh x¤ thäa m¢n b§t ¯ng thùc:

d(h(x∗y), h(x)◦h(y))< δ (∀x, y ∈G1)

th¼ tçn t¤i mët çng c§u H :G1 →G2 thäa m¢n:

d(h(x), H(x))< ε (∀x∈G1)?

Hyers [4] ¢ cho c¥u tr£ líi kh¯ng ành cõa b i to¡n S.M.Ulam trong tr÷íng hñp

G1 , G2 l  c¡c khæng gian Banach. Cö thº:

Cho (X,kkX) v  (Y,kkY) l  c¡c khæng gian Banach. Gi£ sû ε > 0 v  f : X → Y

thäa m¢n b§t ¯ng thùc:

kf(x+y)−f(x)−f(y)kY ≤ε (∀x, y ∈X) (2.6) Khi â tçn t¤i duy nh§t mët h m cëng t½nh T :X →Y sao cho:

kf(x)−T(x)kY ≤ε (∀x∈X)

Th.M Rassias ( [8]) ¢ têng qu¡t k¸t qu£ cõa Hyers khi thay (2.6) bði i·u ki»n:

kf(x+y)−f(x)−f(y)k ≤ε(kxkpX +kykPX) (∀x, y ∈X) (2.7) trong â ε > 0 v  0 ≤ p < 1. K¸t luªn t÷ìng ùng l  tçn t¤i duy nh§t mët h m cëng t½nh L:X →Y sao cho :

kf(x)−L(x)kY ≤ 2ε

Ngo i ra, n¸u vîi méi x ∈X h m f(tx) li¶n töc theo bi¸n t∈ R th¼ L l  h m R tuy¸n t½nh.

D÷îi ¥y t¡c gi£ tr¼nh b y mët k¸t qu£ cõa C.Park v  Th. M. Rassias têng qu¡t hìn k¸t qu£ tr¶n, chùng minh k¸t qu£ n y düa tr¶n nguy¶n lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian metric suy rëng ( ành lþ 2.1.2). C¡c k¸t qu£ cõa C.Park v  Th. M. Rassias nâi v· c¡c çng c§u giúa c¡c ¤i sè Banach. V¼ chõ · cõa ch÷ìng n y l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  c¡c ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Cauchy n¶n t¡c gi£ ch¿ x²t c¡c khæng gian Banach v  ành lþ d÷îi ¥y ch¿ l  mët ph¦n c¡c k¸t qu£ cõa hai t¡c gi£ nâi tr¶n. ành lþ (C.Park v  Th.M Rassias [3])Cho X l  mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè K (K=R ho°c K=C ) v  (Y,kk) l  mët khæng gian Banach tr¶n K. Gi£ sû tçn t¤i h m sè φ :X×X →[0; +∞) thäa m¢n:

lim

j→∞

φ(2jx,2jy)

2j = 0 (∀x, y ∈X) (2.9)

kf(x+y)−f(x)−f(y)k ≤φ(x, y) (∀x, y ∈X) (2.10) N¸u tçn t¤i sè L < 1 sao cho φ(x, x) ≤ 2Lφ(x2,x2) vîi måi x ∈ X th¼ tçn t¤i duy nh§t mët h m cëng t½nh H :X →Y sao cho:

kf(x)−H(x)k ≤ 1

2−2Lφ(x, x) (∀x∈X) (2.11)

Hìn núa, n¸u vîi méi x ∈ X cè ành, h m f(tx) (t ∈R) bà ch°n trong mët l¥n cªn n o â cõa 0 th¼ H l  ¡nh x¤ R - tuy¸n t½nh. Nâi ri¶ng, H l  ¡nh x¤ R - tuy¸n t½nh n¸u f(tx) (t∈R) li¶n töc t¤i t= 0 vîi méi x cè ành.

Chùng minh. °t E ={g :X →Y}.Vîi hai h m h, g tòy þ thuëc E ta °t:

d(h, g) = inf{C ∈[0; +∞] :kh(x)−g(x)k ≤Cφ(x, x) ∀x∈X} (2.12) Theo m»nh · 2.1.3 (E, d)l  khæng gian metric suy rëng ¦y õ. X²t ¡nh x¤ tuy¸n t½nh J :E →E cho bði:

(J g)(x) = 1

2g(2x) (∀x∈X)

Ta chùng minh r¬ngJ l  ¡nh x¤ co ch°t tr¶nE.Thªt vªy, vîi hai h m tòy þh, g ∈E

v  C ≥0 l  sè tòy þ thäa m¢n d(h, g)≤C ta câ:

k(J h)(x)−(J g)(x)k= 1 2(h(2x)−g(2x)) ≤ 1 2Cφ(2x,2x)≤ C 22Lφ(x, x) =LCφ(x, x)

vîi måi x∈X.Tø (2.12) ta suy ra d(J h, J g)≤Ld(h, g).V¼ L <1n¶n J l  ¡nh x¤ co ch°t. Trong (2.10) °t y =x ta ÷ñc: kf(2x)−2f(x)k ≤φ(x, x)↔ f(x)−1 2f(2x) ≤ 1 2φ(x, x) (∀x∈X) suy ra d(f, J f)≤ 12 .

Theo ành lþ 2.1.2 tçn t¤i ¡nh x¤ H:X →Y sao cho: 1. H l  iºm b§t ëng cõa J, tùc l :

H(2x) = 2H(x) (∀x∈X) (2.13)

v  H l  ¡nh x¤ duy nh§t thäa m¢n (2.13) trong tªp E∗ = {g ∈E :d(f, g)<+∞}.

Nâi c¡ch kh¡c, H l  ¡nh x¤ duy nh§t câ t½nh ch§t (2.13) v  tçn t¤i C ∈(0; +∞) sao cho: kH(x)−f(x)k ≤Cφ(x, x) (∀x∈X) 2. lim n→∞d(Jnf, H) = 0↔ lim n→∞ f(2nx) 2n =H(x) (∀x∈X) (2.14) 3. d(f, H)≤ 1−1Ld(f, J f)→d(f, H)≤ 2−12L.Tø (2.12) v  b§t ¯ng thùc vøa nhªn ÷ñc suy ra (2.11). Tø (2.9), (2.10) v  (2.14) suy ra: kH(x+y)−H(x)−H(y)k= lim n→∞ 1 2n kf(2n(x+y))−f(2nx)−f(2ny)k ≤ lim n→∞ 1 2nφ(2nx,2ny) = 0 (∀x, y ∈X) Vªy H l  h m cëng t½nh: H(x+y) = H(x) +H(y) (∀x, y ∈X) (2.15) Tø (2.15) b¬ng c¡c lþ luªn cì b£n d¹ d ng suy ra:

H(θ) =θ, H(qx) =qH(x) (2.16)

vîi måi sè húu t qv  måi x∈X.B¥y gií gi£ sû h mf(tx) (t ∈R)bà ch°n ð l¥n cªn

t = 0 vîi méi x cè ành ∈X. Khi â vîi méi x∈ X, tçn t¤i sè δ =δ(x)>0 sao cho khi |t| ≤ δ ta câ kf(tx)k ≤ M < +∞. Do b§t ¯ng thùc (2.11) ta suy ra khi |t| ≤δ

câ b§t ¯ng thùc:

kH(tx)k ≤M+ φ(x, x)

B¥y gií ta chùng minh r¬ng H(tx) li¶n töc theo t∈R. V¼ H((t+s)x) =H(tx) + H(sx) (∀t, s ∈ R), H(θ) = θ n¶n ch¿ c¦n chùng minh r¬ng H li¶n töc t¤i t = 0, tùc l  ch¿ c¦n chùng minh:

lim

t→0kH(tx)k= 0 (2.18)

Gi£ sû tr¡i l¤i r¬ng (2.18) khæng óng. Khi â tçn t¤i sè ε >0 v  mët d¢y{tk}∞k=1

sao cho: lim k→∞tk = 0, tk 6= 0 (∀k), kH(tkx)k ≥ε (∀k) (2.19) °t nk = h δ |tk| i

ta câ mët d¢y c¡c sè nguy¶n d÷ìng {nk}∞k=1 thäa m¢n

lim

k→∞nk = +∞, |nktk| ≤δ. Tø (2.16) v  (2.19) suy ra:

lim

k→∞kH(nktkx)k= lim

k→∞nkkH(tkx)k= +∞ (2.20) nh÷ng |nktk| ≤ δ n¶n (2.20) m¥u thu¨n vîi (2.17). Vªy H(tx) li¶n töc t¤i t= 0 v  do â li¶n töc t¤i måi iºm t∈R. N¸uf(tx) (t ∈R)li¶n töc t¤i t= 0 vîi méi x cè ành th¼ f(tx) ph£i bà ch°n trong mët l¥n cªn n o â cõa t = 0, do â ta công câ H(tx)

li¶n töc t¤i måi iºm (t∈R.Chån mët sè thüc t tòy þ, n¸ut l  sè húu t th¼ tø (2.16) ta câ H(tx) =tH(x) vîi måi x∈X. N¸u t l  sè væ t th¼ tçn t¤i mët d¢y c¡c sè húu t{qn}∞n=1 sao cho lim

n→∞qn =t. Dòng t½nh li¶n töc cõa H(tx) theo t ta câ:

H(tx) = lim

n→∞H(qnx) = lim

n→∞qnH(x) =tH(x) (∀x∈X)

Vªy H l  h m R thu¦n nh§t. K¸t hñp vîi t½nh cëng t½nh cõa H ta suy ra H l  h mR - tuy¸n t½nh. ành lþ ÷ñc chùng minh ho n to n.

Nhªn x²t: N¸u h m φ : X×X → [0; +∞) l  h m thu¦n nh§t bªc p(p < 1) th¼ h m φ(x, x) thäa m¢n (2.9) v  i·u ki»n φ(x, x)≤2Lφ(x2,x2) (L <1). Thªt vªy:

lim j→∞ φ(2jx,2jx) 2j = lim j→∞ φ(x, x) 2j(1−p) = 0 φ(x, x) = φ(2x 2,2 x 2) = 2 p φ(x 2, x 2) = 2.2 p−1 φ(x 2, x 2) = 2.Lφ( x 2, x 2) (L= 2 p−1 <1) V¼ h m φ(x, y) = ε kxkpX +kykpX (0 ≤ p < 1, ε > 0) l  h m thu¦n nh§t bªc

p ¡nh x¤ X ×X v o kho£ng [0; +∞) n¶n ành lþ 2.2.1 têng qu¡t hìn k¸t qu£ cõa Th.Rassias n«m 1978. Khi p = 0, ta câ φ(x, y) = ε v  φ(x, y) = 2.21φ(x2,y2) = ε n¶n i·u ki»n v· h m φ ÷ñc thäa m¢n vîi L= 12 <1. i·u ki»n (2.10) trð th nh:

¡nh gi¡ (2.11) trð th nh:

kf(x)−H(x)k ≤ε

Nh÷ vªy k¸t qu£ cõa D. Hyers n«m 1941 công l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa ành lþ 2.2.1.

p döng ành lþ 2.2.1 câ thº suy ra ngay mët sè kh¯ng ành cõa c¡c b i to¡n sì c§p.

V½ dö 1 ( B i to¡n 5.7 ch÷ìng III [10]): Cho f l  h m li¶n töc tr¶n R thäa m¢n:

|f(x+y)−f(x)−f(y)| ≤σ (σ >0)

vîi måi sè thücx, y.Chùng minh r¬ng tçn t¤i duy nh§t mët h m tuy¸n t½nh L(x)tr¶n R sao cho câ biºu di¹n f(x) =L(x) +ω(x) (∀x∈R), trong â |ω(x)| ≤σ (∀x∈R).

Gi£i. Trong ph¡t biºu cõa ành lþ 2.2.1 l§y X = Y =R vîi chu©n trong R l  gi¡ trà tuy»t èi,K=Rv  φ(x, y) =σ.N¸uf l  h m li¶n töc tr¶n Rth¼ hiºn nhi¶nf(tx)

li¶n töc theo t vîi måi sè thüc x. Vªy måi gi£ thi¸t cõa ành lþ 2.2.1 ÷ñc thäa m¢n. Theo kh¯ng ành cõa ành lþ, tçn t¤i h m tuy¸n t½nh L(x)tr¶n R thäa m¢n:

|f(x)−L(x)| ≤σ (∀x∈R)

°t ω(x) = f(x)−L(x)ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh.

Nhªn x²t: Líi gi£i cõa b i to¡n tr¶n trong s¡ch ¢ d¨n khæng dòng ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng.

V½ dö 2: Cho f : (0; +∞)→R l  ¡nh x¤ li¶n töc thäa m¢n:

|f(xy)−f(x)−f(y)| ≤ |lnx|p+|lny|p (∀x, y ∈(0; +∞), 0≤p <1)

Chùng minh r¬ng tçn t¤i h¬ng sè C sao cho câ biºu di¹n:

f(x) = Clnx+ω(x)

trong â |ω(x)| ≤ 2|lnx|

p

2−2p (∀x∈(0; +∞).

Gi£i. °t t= lnx, s= lny. Tø gi£ thi¸t cõa b i to¡n suy ra:

°t g(t) = f(et), khi â g l  ¡nh x¤ li¶n töc tø R v o Rthäa m¢n:

|g(t+s)−g(t)−g(s)| ≤ |t|p+|s|p (∀s, t ∈R)

p döng ành lþ 2.2.1 vîi h m φ(t, s) = |t|p+|s|p ta suy ra tçn t¤i duy nh§t mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh H(t)tø R v oR sao cho câ b§t ¯ng thùc:

|g(t)−H(t)| ≤ 2

2−2p|t|p

V¼ måi h m tuy¸n t½nh L(t) tr¶n R·u câ d¤ng L(t) =Ct ( vîi C =const) ta suy ra tçn t¤i h¬ng sè C sao cho:

|g(t)−Ct| ≤ 2|t|

p

2−2p

°t α(t) =g(t)−Ct, ω(x) = α(lnx)ta câ:

f(x) = g(lnx) = Clnx+ω(x) v :|ω(x)| ≤ 22|ln−2xp|p ( i·u ph£i chùng minh)