2 Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian Metric suy rëng v sü
2.1.2 Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian metric suy rëng
Gi£ sû T :E →E l mët ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n co ch°t:
d(T x, T y)≤kd(x, y) (∀x, y ∈E,0≤k <1) (2.1) N¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m m v mët x∈E sao cho
d(Tmx, Tm+1x)<+∞ th¼:
i) d¢y {Tnx}∞n=0 hëi tö v· mët iºm b§t ëng x∗ cõa T.
ii) x∗ l iºm b§t ëng duy nh§t cõa T trong tªp E∗={y∈E :d(Tmx, y)<+∞}
iii) N¸u y∈E∗ th¼ d(y, x∗)≤ 1
1−kd(y, T y)
Chùng minh. Ta v¨n giú nguy¶n kþ hi»u d º ch¿ thu hµp cõa metric suy rëng d
l¶n tªp E∗×E∗. Ta s³ chùng minh r¬ng khi â (E∗, d) l mët khæng gian metric ¦y õ theo ngh¾a thæng th÷íng. Thüc vªy, n¸u y, z ∈E∗ th¼ tø ành ngh¾a cõa E∗ v t½nh ch§t (M3) cõa metric suy rëng ta câ:
Vªy thu hµp cõa d l¶n E∗×E∗ khæng nhªn gi¡ trà +∞, do â khæng gian (E∗, d)
l khæng gian metric thæng th÷íng. Gi£ sû {yn} l mët d¢y Cauchy tòy þ trong
(E∗, d). Bði v¼ (E, d) l khæng gian metric suy rëng ¦y õ n¶n tçn t¤i y ∈ E sao cho lim
n→∞d(yn, y) = 0. Ta chùng minh r¬ng y∈E. Tçn t¤i sè n0 sao cho d(yn0, y)<1.
V¼ yn0 ∈E∗ n¶n d(Tmx, yn0)<+∞.L¤i do t½nh ch§t (M3) tø â suy ra:
d(Tmx, y)≤d(Tmx, yn0) +d(yn0, y)<+∞
Vªy y ∈ E v (E∗, d) l khæng gian metric ¦y õ. Ti¸p theo, ta s³ chùng minh r¬ng T(E∗)⊂E∗.Do T l ¡nh x¤ co ch°t n¶n vîi måi y∈E∗ ta câ:
d(Tm+1x, T y)≤kd(Tmx, y)<+∞
Theo t½nh ch§t (M3) v gi£ thi¸t cõa ành lþ èi vîi sè m v ph¦n tû x, ta câ:
d(Tmx, T y)≤d(Tmx, Tm+1x) +d(Tm+1x, T y)<+∞
Vªy T y ∈E∗. Do t½nh tòy þ cõa y ∈ E∗ ta suy ra T(E∗) ⊂ E∗. Gåi Tel thu hµp cõa T l¶n khæng gian metric ¦y õ (E∗, d). V¼ T l ¡nh x¤ co ch°t v T(E*)⊂ E∗
n¶n Tel ¡nh x¤ co ch°t tøE∗ v o ch½nh nâ. Theo ành lþ 1.3.2, ¡nh x¤ Tecâ iºm b§t ëng duy nh§t x∗ ∈E∗ thäa m¢n i·u ki»n:
d(Teny, x∗)≤ kn 1−kd(T y, y) (e ∀n ∈N0,∀y∈E∗) ↔d(Tny, x∗)≤ 1k−nkd(T y, y) (∀n ∈N0,∀y∈E∗) (2.2) °t trong (2.2) n= 0 ta câ: d(y, x∗)≤ 1 1−kd(y, T y) (∀y∈E∗) (2.3)
ành lþ ÷ñc chùng minh ho n to n.
2.1.3 M»nh · (xem S.-M Jung and Z.-H Lee [6]).
Cho X l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng sè K v Y l mët khæng gian Banach tr¶n K vîi chu©n kk, α :X → [0; +∞) l mët ¡nh x¤ tòy þ. Kþ hi»u E l tªp t§t c£ c¡c h m h:X →Y. Vîi hai h m h, g tòy þ thuëc E ta °t:
( n¸u vîi måi sè thüc d÷ìng C tçn t¤i x=x(C)∈X sao cho kh(x)−g(x)k> Cα(x)
th¼ d(h, g) = +∞ ). Khi â (E, d) l khæng gian metric suy rëng ¦y õ.
Chùng minh. Rã r ng d câ c¡c t½nh ch§t (M1),(M2). Gi£ sû g(.), h(.), k(.) l ba h m tòy þ thuëc E. N¸u d(h, g) = +∞ ho°c d(g, k) = +∞ th¼ hiºn nhi¶n ta câ b§t ¯ng thùc tam gi¡c:
d(g, h)≤d(g, k) +d(k, h) = +∞
N¸u d(h, k) = C1 < +∞, d(g, k) = C2 < +∞ th¼ tø ành ngh¾a cõa d suy ra vîi måi sè d÷ìng ε ta câ:
kh(x)−k(x)k ≤(C1+ε)α(x), kk(x)−g(x)k ≤(C2+ε)α(x) ∀x∈X
Tø â suy ra:
kg(x)−h(x)k ≤ kg(x)−k(x)k+kk(x)−h(x)k ≤(C1+C2+ 2ε)α(x) ∀x∈X
Vªy d(g, h)≤C1+C2+ 2ε.Do t½nh tòy þ cõa ε ta nhªn ÷ñc:
d(g, h)≤C1+C2 =d(h, k) +d(k, g)
Nh÷ vªy ta ¢ chùng minh r¬ng d câ t½nh ch§t (M3), do â d l mët metric suy rëng tr¶n E.B¥y gií ta s³ chùng minh r¬ng khæng gian metric suy rëng (E, d)¦y õ. Gi£ sû{fn}l mët d¢y Cauchy trong(E, d).Vîi måi sè d÷ìngεtçn t¤i sèn0=n0(ε)
sao cho:
d(fm, fn)< ε (khi min(m, n)≥n0)
i·u n y câ ngh¾a l :
kfm(x)−fn(x)k ≤εα(x) ∀x∈X khi min(m, n)≥n0 (2.4) H» thùc (2.4) chùng tä vîi méi xcè ành ∈X d¢y {fn(x)} l d¢y Cauchy trong Y.
V¼ Y l khæng gian Banach n¶n d¢y {fn(x)}hëi tö tîi giîi h¤n f(x)∈Y. Nh÷ vªy ta câ mët ¡nh x¤:
f :X →Y x7→f(x) = lim
x→∞fn(x)
Vªy f ∈E . Trong (2.4) cho n d¦n tîi væ cüc ta ÷ñc:
Theo ành ngh¾a cõa metric suy rëng d, b§t ¯ng thùc (2.5) câ ngh¾a l :
d(fm, f)≤ε (∀m≥n0)