2 Định lý Thặng dư TrungHoa và ứng dụng
2.2.6 Phõn tớch cỏc số nguyờn lớn
Bài toỏn 2.2.43. Phõn tớch U = 4033. Lời giải. Ta thấy rằng √
U xấp xỉ bằng 63 và nhỏ hơn 63 một chỳt. Rừ ràng U khụng cú nhõn tử nào nhỏ hơn 20. Chỳ ý là U tương ứng với u mà ta đó xột bờn trờn.
Giả sử rằng U = V ∗W. V là nhõn tử nguyờn tố nhỏ nhất nờn 20< V < 63
và do đú 63< W <200. Ta lấy cỏc số nguyờn tố cựng nhau m1 = 2, m2 = 3, m3 = 5,
vỡ vậy
M = m1∗m2∗m3 = 30.
Khi đú, chỳng ta cú
u1 = 1, u2 = 1, u3 = 3.
Dễ dàng thấy rằng cỏc tỷ số nhõn được cho bởi k1 = 1, k2 = 1, k3 = 1.
Bõy giờ giả sử rằng
V ≡ v1 (mod 2), V ≡ v2 (mod 3), V ≡ v3 (mod 5), W ≡w1 (mod 2), W ≡w2 (mod 3), W ≡w3 (mod 5).
Vỡ V ∗W = U, nờn tớch cỏc phần dư của vj và wj sẽ cú phần dư w.r.t mj bằng với uj với j = 1,2,3. Ta đưa ra một danh sỏch cỏc cặp {vj, wj} như vậy ở bờn dưới:
{v1, w1}= {1,1}, {v2, w2}= {1,1}, hay {2,2},
{v3, w3} ={1,3}, {3,1}, {2,4} hay {4,2}.
Ta sẽ thấy rằng chỉ cú một số hữu hạn cỏc bộ ba {v1, v2, v3} cú thể xảy ra tương ứng với {w1, w2, w3}. Đú là {v1, v2, v3} ={1,1,1}, {w1, w2, w3}= {1,1,1}, {v1, v2, v3} ={1,1,1}, {w1, w2, w3}= {1,1,3}, {v1, v2, v3} ={1,1,3}, {w1, w2, w3}= {1,1,1}, {v1, v2, v3} ={1,1,2}, {w1, w2, w3}= {1,1,4}, {v1, v2, v3} ={1,1,4}, {w1, w2, w3}= {1,1,2}, {v1, v2, v3} ={1,2,1}, {w1, w2, w3}= {1,2,3}, {v1, v2, v3} ={1,2,3}, {w1, w2, w3}= {1,2,1}, {v1, v2, v3} ={1,2,2}, {w1, w2, w3}= {1,2,4}, {v1, v2, v3} ={1,2,4}, {w1, w2, w3}= {1,2,2}.
Ta xột trường hợp {1,1,1}. Áp dụng (11), ta cú V = 37. Lấy 4033 chia 37
được thương là 109. Vậy U = 37∗109.
Bài toỏn 2.2.44. Phõn tớch U = 16000001. Lời giải. Chỳ ý rằng √
U xấp xỉ bằng 4000.
Ta lấy cỏc số nguyờn tố m1, ..., m5 là 2,3,5,7,11. Khi đú ta thu được cỏc phần dư của U w.r.t mj là
u1 = 1, u2 = 2, u3 = 1, u4 = 3, u5 = 6,
và cỏc tỷ số nhõn là
k1 = 1, k2 = 2, k3 = 3, k4 = 1, k5 = 1.
Giả sử U = V ∗W và cỏc số vj và wj với j = 1,2, ...,5 vẫn xỏc định như trong bài toỏn trờn. Ta cú
{v2, w2}= {1,2}, hay {2,1}, {v3, w3}= {1,1}, {2,3}, {3,2}, {4,4} {v4, w4} ={1,3}, {3,1}, {2,5}, {5,2}, {4,6}, {6,4}, {v5, w5}= {6,1}, {1,6}, {2,3}, {3,2}, {4,7}, {7,4}, {5,10}, {10,5}, ... Ta thấy rằng chỉ cú hữu hạn bộ {v1, v2, v3, v4, v5} tương ứng với {w1, w2, w3, w4, w5}.
Trong số cỏc khả năng cú thể xảy ra, ta cú
{v1, v2, v3, v4, v5} ={1,1,4,4,10} tương ứng với {w1, w2, w3, w4, w5}= {1,2,4,6,5} và {v1, v2, v3, v4, v5} ={1,1,4,5,9} tương ứng với {w1, w2, w3, w4, w5}= {1,2,4,10,8}. Theo (11’), ta sẽ cú cỏc cặp V = 109, W = 146789 và V = 229, W = 69869
tương ứng. Chia U cho 109 và 229 ta cú thương là 641. Vậy
KẾT LUẬN
Định lý thặng dư Trung Hoa và cỏc bài tập ỏp dụng định lý này khỏ hay và khú. Trong bản luận văn này, tỏc giả chỉ đề cập đến một vài ứng dụng của định lý thặng dư Trung Hoa trong giải toỏn như chứng minh sự tồn tại của một mệnh đề trong Lý thuyết số, ứng dụng trong tổ hợp, ứng dụng trong đa thức, giải hệ đồng dư tuyến tớnh và phõn tớch cỏc số nguyờn lớn.
Luận văn đó trỡnh bày hệ thống cỏc bài toỏn cú sử dụng đến định lý thặng dư Trung Hoa. Trong cỏc bài toỏn này đều vận dụng kiến thức tổng hợp về số học, mỗi dạng toỏn đều nờu phương phỏp giải cụ thể. Luận văn đó chọn lọc được cỏc bài toỏn điển hỡnh cho mỗi dạng toỏn, đặc biệt cú nhiều bài toỏn là đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế những năm gần đõy.
Tuy nhiờn, do thời gian và năng lực bản thõn cũn hạn chế nờn bản luận văn này chắc khụng trỏnh được thiếu sút, rất mong được sự đúng gúp ý kiến của cỏc thày cụ giỏo, cỏc bạn đồng nghiệp, cỏc em học sinh để cuốn tài liệu về dóy số này được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Thành Cụng, Nguyễn Hữu Phỳc, Nguyễn Khương Linh, Nguyễn Đăng Quang, Vũ Xuõn Thành Long, “Định lý thặng dư Trung Hoa và một vài ứng dụng”, http://123doc.vn/document/1423575-dinh-ly-thang-du-trung-hoa-va-mot- so-ung-dung.htm, ngày 27/1/2014.
2. Diễn đàn toỏn học, “Định lý thặng dư Trung Hoa và một vài ứng dụng”.
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63807-d%E1%BB%8Bnh-ly- th%E1%BA%B7ng-d%C6%B0-trung-hoa/, ngày 27/1/2014
3. Trần Nam Dũng, Vừ Quốc Bỏ Cẩn, Lờ Phỳc Lữ, Phạm Hy Hiếu, Từ Nguyễn Thỏi Sơn, Lờ Việt Hải “Chuyờn đề số toỏn học số 9 ”(2010), Phạm Hy Hiếu
“Định lý thặng dư Trung Hoa”, Đại học quốc gia thành phố Hồ Chớ Minh, Thành phố Hồ Chớ Minh.
4. Trần Minh Hiền, “Number theory - VMO 2014 - 2015”,
diendantoanhoc.net/forum/index.php?app=core&module...id...,ngày 27/1/2014.
5. Nguyễn Duy Liờn (2013), “Sử dụng hệ thặng dư Trung Hoa để giải toỏn Số
học”, “Tạp chớ toỏn học và tuổi trẻ,(thỏng 8 và 9).
6. Tạp chớ toỏn học tuổi trẻ.
7. Nguyễn Đỡnh Tựng, “Hệ thặng dư và định lý thặng dư Trung Hoa”,
http://timtailieu.vn/tai-lieu/chuyen-de-he-thang-du-va-dinh-ly-thang-du-trung- hoa-32932/, ngày 27/1/2014.