2 Định lý Thặng dư TrungHoa và ứng dụng
2.2.4Tỡm số nghiệm nguyờn của một phương trỡnh nghiệm nguyờn
gcd(2k,3) = 1 nờn tồn tại a sao cho
3a ≡1 (mod 2k). Từ đú
3x ≡ −1 (mod 2k)⇔x ≡ −a (mod 2k).
Tương tự, gcd(2,2m+ 1) = 1 nờn tồn tại b sao cho 2b ≡ 1 (mod (2m+ 1)). Từ đú
2x≡ −1 (mod (2m+ 1))⇔x ≡ −b (mod (2m+ 1)).
Cuối cựng, do gcd(2k,2m+ 1) = 1 nờn theo định lý Thặng dư Trung Hoa, tồn tại số nguyờn x là nghiệm của hệ
x ≡ −a (mod 2k),
x ≡ −b (mod (2m+ 1)).
Theo định lý Thặng dư Trung Hoa, hệ trờn cú nghiệm. Vậy P(x) = (3x+ 1)(2x+ 1) ... n.
Ta cú điều phải chứng minh.
2.2.4 Tỡm số nghiệm nguyờn của một phương trỡnh nghiệmnguyờn nguyờn
Bài toỏn 2.2.33. Cho số nguyờn dươngn= pα1
1 pα2
2 ...pαk
k , trong đúp1, p2, ..., pk là cỏc số nguyờn tố đụi một khỏc nhau. Tỡm số nghiệm của phương trỡnh
x2+x ≡ 0 (mod n). Lời giải. Ta cú x2+x≡ 0 (mod n)⇔ x(x+ 1) ≡ 0 (mod pαi i ) i= 1, k ⇔ x ≡0 (mod pαi i ) x ≡ −1 (mod pαi i ) i= 1, k
Theo định lý Thặng dư Trung Hoa thỡ mỗi hệ phương trỡnh x2 +x ≡0 (mod n)⇔ x≡ ai (mod pαi i ) ai ∈ {−1,0} i= 1, k
cú duy nhất một nghiệm và ta cú 2k hệ khỏc nhau (ứng với bộ số(a1, a2, ..., ak), ai ∈ {−1,0}) nờn suy ra phương trỡnh đó cho cú đỳng 2k nghiệm.
Bài toỏn 2.2.34. Cho m = 20072008. Hỏi cú tất cả bao nhiờu số tự nhiờn n < m sao cho m|n(2n+ 1)(5n+ 2).
Lời giải. Dễ thấy gcd(m,10) = 1. Do đú
n(2n+ 1)(5n+ 2) ≡0 (mod m)
⇔10n(10n+ 5)(10n+ 4)≡ 0 (mod m). (1) Ta cú m = 34016 ã 2232008. Đặt x = 10n, q1 = 34016, q2 = 2232008. Khi đú
gcd(q1, q2) = 1 nờn (1) tương đương với
x(x+ 5)(x+ 4)≡ 0 (mod q1), (2) x(x+ 5)(x+ 4)≡ 0 (mod q2). (3)
• (2) xảy ra khi và chỉ khi x ≡ 0 (mod q1) hoặc x ≡ −5 (mod q1) hoặc x ≡ −4 (mod q1).
• (3) xảy ra khi và chỉ khi x ≡ 0 (mod q2) hoặc x ≡ −5 (mod q2) hoặc x ≡ −4 (mod q2).
Do đú từ (2) và (3), với lưu ý rằng x≡ 0 (mod 10), suy ra n là số tự nhiờn thỏa món cỏc điều kiện của đề bài khi và chỉ khi n = x
10, với x là số nguyờn
thỏa món hệ điều kiện sau đõy
x≡ 0 (mod 10), x≡ r1 (mod q1), x≡ r2 (mod q2), 0≤ x <10q1q2, r1, r2 ∈ {0,−4,−5}. (4) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do 10, q1, q2 đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn theo định lý thặng dư Trung Hoa, hệ (4) cú nghiệm duy nhất.
Dễ thấy sẽ cú 9 số x là nghiệm của 9 hệ (4) tương ứng. Vỡ mỗi số x cho ta một số n và hai số x cho hai số n khỏc nhau nờn cú 9 số n thỏa món điều kiện
đề bài.
MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 2.2.35. Cho số nguyờn dươngncú phõn tớch tiờu chuẩnn= pα1
1 pα2
2 ...pαs
s .
Xột đa thức P(x) cú hệ số nguyờn. Nghiệm x0 của phương trỡnh đồng dư P(x) ≡ 0 (mod n) là lớp đồng dư x0 ∈ {0,1, ..., n−1} thỏa món P(x0) ≡ 0 (mod n). Khi đú điều kiện cần và đủ để phương trỡnh P(x) ≡ 0 (mod n) cú nghiệm là với mỗi i = 1,2, ..., s, phương trỡnh P(x) ≡ 0 (mod pαi
i ) cú nghiệm. Hơn nữa nếu với mỗi i = 1,2, ..., s phương trỡnh P(x) ≡ 0 (mod pαi
i ) cú ri
nghiệm modulo pαi
i thỡ phương trỡnh cú r =r1r2...rs nghiệm modulo n.
Bài tập 2.2.36. Chứng minh rằng tồn tại một dóy tăng {an}∞n=1 cỏc số tự nhiờn sao cho với mọi số tự nhiờn k, dóy {k + an} chỉ chứa hữu hạn cỏc số nguyờn tố.
Gợi ý. Gọipk là số nguyờn tố thứ k, k > 0. Theo Định lý thặng dư Trung Hoa, tồn tại dóy số {an}∞n=1 thỏa món a1 = 2, an =−k (mod pk+1) với mọi k ≤ n. Bài tập 2.2.37. Số nguyờn dương n được gọi là cú tớnh chất P nếu như với cỏc số nguyờn dương a, b mà a3b+ 1 ... n thỡ a3+b ... n. Chứng minh rằng số cỏc số nguyờn dương cú tớnh chất P khụng vượt quỏ 24.
Bài tập 2.2.38. (USA TST 2009).
Chứng minh rằng tồn tại một dóy ki tăng thực sự sao cho với mọi n nguyờn dương thỡ k1k2...kn−1 là tớch của hai số nguyờn dương liờn tiếp.
Bài tập 2.2.39. Giả sử với i ∈ {1,2, ..., n} là n số nguyờn tố đụi một khỏc nhau và bi với i ∈ {1,2, ..., n} là n số nguyờn tựy ý. Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương cho trước tồn tại duy nhất một đa thức với cỏc hệ số {0,±1,±2, ...,±(t−1)} thỏa món
2.2.5 Giải hệ phương trỡnh đồng dư tuyến tớnh
Bài toỏn 2.2.40. Tỡm tất cả cỏc nghiệm của hệ đồng dư sau đõy
x ≡3 (mod 5), x ≡5 (mod 7), x ≡7 (mod 11). (1)
Lời giải. Chỳng ta sẽ giải bài toỏn này theo cỏc bước đó nờu trong chứng minh của Định lý thặng dư Trung Hoa.
Trong bài toỏn này, ta cú a1 = 3, m1 = 5, a2 = 5, m2 = 7, a3 = 7 và m3 = 11. Do {5,7,11} là cỏc số nguyờn tố đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn theo Định lý thặng dư Trung Hoa, hệ (1) luụn cú nghiệm.
Ta cú m = m1ã m2ã m3 = 5ã7ã 11 = 385 nờn suy ra n1 = 77, n2 = 55 và n3 = 35.
Bõy giờ, ta đi tớnh b1, b2 và b3.
Để tỡm b1, ta giải phương trỡnh 77x ≡ 1 (mod 5), tức là2x ≡ 1 (mod 5). Vỡ vậy, ta cú thể lấy b1 = 3.
Để tỡm b2, ta giải phương trỡnh 55x ≡ 1 (mod 7), tức là −x ≡ 1 (mod 7). Vỡ vậy ta cú thể lấy b2 = −1.
Để tỡm b3, ta giải phương trỡnh 35x≡ 1 (mod 11), tức là 2x ≡ 1 (mod 11). Vỡ vậy ta cú thể lấy b3 = 6.
Khi đú, một nghiệm của hệ (1) là
c = a1n1b1+a2n2b2+a3n3b3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= 77ã3ã3 + 55ã5ã(−1) + 35ã7ã6 = 693−275 + 1470 = 1888.
Vậy nghiệm tổng quỏt của hệ (1) là
x = 1888 + 385t, t∈ Z.
Hơn nữa do 1888 = 348 (mod 385) nờn nghiệm tổng quỏt của hệ (1) là x= 348 + 385t, t∈ Z.
Bài toỏn 2.2.41. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương nhỏ hơn 5000 thỏa món điều kiện: chia cho 9 dư 2, chia cho 10 dư 4 và chia cho 11 dư 8.
Lời giải. Để tỡmb1, giải phương trỡnh110x≡ 1 (mod 9), tức là2x ≡1 (mod 9). Chỳng ta cú thể lấy b1 = 5.
Để tỡm b2, giải phương trỡnh 99x ≡ 1 (mod 10), hay −x ≡ 1 (mod 10). Từ đú cú thể lấy b2 =−1.
Để tỡm b3, chỳng ta giải phương trỡnh 90x ≡ 1 (mod 11), hay 2x ≡ 1 (mod 11) ⇒b3 = 6.
Vậy ta cú nghiệm của bài toỏn là
c = 2ã110ã5 + 99ã(−1)ã4 + 8ã90ã6 = 5024.
Vỡ m = 9ã10ã11, và do 5024≡ 74 (mod 990) nờn nghiệm tổng quỏt là tập
74 + 990t, t ∈Z.
Do vậy cỏc nghiệm nguyờn dương nhỏ hơn 5000 là 74; 1064; 2054; 3044 và
4034.
Bài toỏn 2.2.42. Tỡm nghiệm nguyờn dương nhỏ nhất của hệ phương trỡnh đồng dư sau x ≡ 32 (mod 83), x ≡ 70 (mod 110), x ≡ 30 (mod 135).
Lời giải. Ta chỳ ý rằng do (110,135) = 5nờn chỳng ta khụng thể sử dụng ngay định lý thặng dư Trung Hoa.
Trước tiờn, chỳng ta phải phõn tớch modulo. Do 110 = 5ã 22 nờn phương trỡnh thứ hai trong hệ tương đương với
x≡ 0 (mod 5) và x ≡ 4 (mod 22). Tương tự, phương trỡnh thứ ba tương đương với
Vỡ vậy hệ phương trỡnh ban đầu tương đương với hệ sau x ≡32 (mod 83), x ≡4 (mod 22), x ≡0 (mod 5), x ≡3 (mod 27).
Kết hợp hai phương trỡnh cuối trong hệ, ta thu được hệ mới
x ≡ 32 (mod 83), x ≡ 4 (mod 22), x ≡ 30 (mod 135).
Do {83,22,135} đụi một nguyờn tố cựng nhau nờn ta cú thể ỏp dụng Định lý thặng dư Trung Hoa.
Để tỡm b1, giải phương trỡnh 22ã135x≡ 1 (mod 83). Chỳng ta cú
22ã135 ≡ 22ã52≡ 8ã11ã13≡5ã13≡ 65 (mod 83).
Vỡ vậy ta phải giải phương trỡnh 65x ≡ 1 (mod 83). Để giải phương trỡnh này, ta cú thể sử dụng thuật toỏn Euclide:
83 = 65 + 18 65 = 3ã18 + 11 18 = 11 + 7 11 = 7 + 4 7 = 4 + 3 4 = 3 + 1 dẫn đến 1 = 65ã23 + 83ã(−18). Vậy chỳng ta cú thể lấy b1 = 23.
Để tỡm b2, giải phương trỡnh 83 ã 135x ≡ 1 (mod 22). Do 83 ã 135 ≡ 7 (mod 22) nờn phương trỡnh đồng dư trở thành 7x ≡ 1 (mod 22). Chỳng ta cú thể lấy b2 = −3.
Để tỡm b3, chỳng ta giải phương trỡnh đồng dư 83ã22x ≡ 1 (mod 135). Do
83ã22≡71 (mod 135) nờn chỳng ta phải giải phương trỡnh71x≡ 1 (mod 135). Áp dụng thuật toỏn Euclide cho cặp {71,135}, chỳng ta tỡm được b3 = −19.
Do vậy một nghiệm của hệ phương trỡnh đồng dư là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
c = 32ã22ã135ã23 + 4ã83ã135ã(−3) + 30ã83ã22ã(−19) = 1010640. Do 83ã22ã135 = 246510 nờn nghiệm tổng quỏt là
x= 1010640 + 246510t, t∈ Z.
Do 1010640 chia cho 246510 dư 24600 nờn 24600 là nghiệm nguyờn dương
nhỏ nhất của hệ phương trỡnh.