2 Định lý Thặng dư TrungHoa và ứng dụng
2.2.2 Ứng dụng trong tổ hợp
Bài toỏn 2.2.27. (Thi vụ địch Đài Loan).
Ta định nghĩa một hỡnh vuụng cú4 đỉnh là cỏc điểm nguyờn, đồng thời đoạn thẳng nối tõm O với tất cả cỏc điểm nguyờn trờn biờn và trong hỡnh vuụng đú chứa ớt nhất một điểm nguyờn khỏc hai đầu mỳt. Chứng minh rằng với mọi số nguyờn dương n, tồn tại một hỡnh vuụng tốt dạng n∗n.
Lời giải. Bài toỏn nờu ra vấn đề về đoạn thẳng chứa điểm nguyờn, vỡ vậy buộc ta phải hiểu về tớnh chất của hai điểm nguyờn trờn mặt phẳng tọa độ, điều kiện để đoạn thẳng đú chứa điểm nguyờn khỏc hai đầu mỳt. Ta cần sử dụng Bổ đề dưới đõy.
Bổ đề. Cho hai điểm A(a, b) và B(c, d) nguyờn trờn mặt phẳng tọa độ, khi đú đoạn thẳng AB chứa ớt nhất một điểm nguyờn khỏc A và B khi và chỉ khi
gcd(a−c, b−d)> 1.
Trở lại bài toỏn ta đang xột. Ta gọi đỉnh gần O nhất là (x, y). Khi đú tọa độ cỏc điểm nguyờn của hỡnh vuụng sẽ là (x+i, y+j) với i, j = 0,1, ..., n. Khi đú ta cần tỡm điều kiện để cho với mọi cặp (i, j) với i, j ∈ {0,1,2, ..., n}, ta luụn cú gcd(x+i, y+j)> 1. Điều này gợi ý cho ta sử dụng Định lý thặng dư Trung Hoa để xõy dựng điều kiện cho bài toỏn.
Với mỗi cặp (i, j), ta xỏc định một số nguyờn tố pij sao cho cỏc pij phõn biệt. Từ đú, ta chỉ cần xột x, y thỏa món cỏc hệ đồng dư tuyến tớnh sau đõy
x ≡ 0 (mod p01p02...p0n), x ≡ −1 (mod p11p12...p1n), .. . x ≡ −n (mod pn1pn2...pnn), và y ≡ 0 (mod p01p02...p0n), y ≡ −1 (mod p11p12...p1n), .. . y ≡ −n (mod pn1pn2...pnn).
Theo Định lý Thặng dư Trung Hoa, hệ trờn cú nghiệm x, y, tức là tồn tại một hỡnh vuụng n∗n thỏa món bài toỏn. Bài toỏn được giải xong.
Bài toỏn 2.2.28. (Bulgaria 2003).
Ta gọi một tập hợp cỏc số nguyờn dương C là tốt nếu với mọi số nguyờn dương k thỡ tồn tại a, b khỏc nhau trong C sao cho (a+k, b+k)> 1. Giả sử ta cú một tập C tốt mà tổng cỏc phần tử trong đú bằng 2003. Chứng minh rằng ta cú thể loại đi một phần tử c trong C sao cho tập cũn lại vẫn là tập tốt. Bài toỏn 2.2.29. Giả sử G là một đồ thị cú hướng với n đỉnh v1, v2, ..., vn sao cho cú một dõy cung đi từ va đến vb nếu và chỉ nếu a và b phõn biệt và a(b−1)
là một bội của n. Chứng minh rằng đồ thị này khụng bao gồm một đường trũn định hướng.
Lời giải. Giả sử cú một dõy cung từ vi đến vj. Khi đú i(j −1) = ij −i= kn với số nguyờn k nào đú. Điều này dẫn đến i = ij −kn. Nếu gcd(i, n) = d và
gcd(j, n) = e thỡ e chia hết cho i= ij−knvà do vậy e cũng chia hết cho d. Do vậy, nếu cú một dõy cung từ vi đến vj thỡ gcd(j, n)|gcd(i, n). Nếu tồn tại một vũng trũn trong G, tức là vi1 →vi2 →... →vir →vi1, khi đú ta cú
gcd(i1, n)|gcd(ir, n)|gcd(ir−1, n)|...|gcd(i2, n)|gcd(i1, n),
điều này dẫn đến tất cả cỏc ước chung lớn nhất của chỳng bằng nhau và bằng t.
Bõy giờ chỳng ta lấy ra ik bất kỳ. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử ta lấy ra i1. Khi đú ir(i1−1) là một bội của n và vỡ vậy i1−1 là bội của n
t. Vỡ i1 và i1 −1 là hai số nguyờn tố liờn tiếp nờn t và n
t cũng vậy. Do vậy theo định lý Thặng dư Trung Hoa, số i1 xỏc định một cỏch duy nhất theo modulo n= tã n
t bởi giỏ trị của t. Nhưng i1 được chọn bất kỳ trong cỏc ik, nờn tất cả cỏcik phải bằng nhau (mõu thuẫn).