D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG: Bài 1 Tìm cơ sở nguyên và biệt thức của
a.Định nghĩa: Giả sử A là một miền nguyên, A* =A {} 0 Miền nguyê nA cùng với một ánh xạ (gọi là ánh xạ Euclide)
(gọi là ánh xạ Euclide)
: *A
δ →ℕ
từ A*đến tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn các tính chất sau: i) Nếu b|a và a≠0 thì δ( )b ≤δ( )a ;
ii) Với hai phần tử tùy ý a và b của A, b≠0 có q và r thuộc A sao cho a=bq+rvà ( )r ( )b
δ ≤δ nếu r≠0;
Gọi là một Vành Euclide. Phần tử r (theo thứ tự q) gọi là dư (theo thứ tự thương) trong phép chia
a cho b.
Ta nói Vành Euclide là một vành trong đó có phép chia với dư.
b. Tính chất:
1) Nếu a b, ∈A* và liên kết thì δ( )b ≤δ( )a . Điều này suy ra trực tiếp từ tính chất 1) của ánh xạ
Euclide.
2) Nếu a|b và δ( )b ≤δ( )a thì a và b liên kết. Thật vậy lấy a chia cho b ta được a=bq r+ . Nếu 0
r≠ thì δ( )r ≤δ( )b =δ( )a . Mặt khác vì a|b nên a chia hết r= −a bq; vậy ( )δ a ≤δ( )r , mâu thuẫn với ( )δ r ≤δ( )a . Từ đó r = 0, a = bq, nghĩa là a|b. Kết hợp với giả thiết a|b, ta được a và b
liên kết.
3) Nếu u là một đơn vị (phần tử khả nghịch trong A) thì δ( )u =δ(1) và đảo lại. Thật vậy, nếu u
là một đơn vị thì u và l là liên kết, nên ( )δ u =δ(1) theo 1). Đảo lại, giả sử δ( )u =δ(1); Vì l|u, nên theo 2) ta có u và l liên kết, nghĩa là u là một đơn vị.
c. Ví dụ:
1) Các vành số nguyên ℤ và vành K[X] các đa thức một ẩn trên một trường K là những vành Euclide quen thuộc.
2) Vành các số nguyên Gauss A = ℤ [i] = {a + bi | a, b ∈ℤ} là một vành Euclide. A chính là vành các phần tử nguyên của trường toàn phương ℚ −1.
3) Vành A = {a + bi 2 | a, b ∈ ℤ} các phần tử nguyên của trường toàn phương ℚ −2 là một vành Euclide.
3.1.2. Vành chính