1. Trình bày và chứng minh các tính chất của các vành Euclide, chính, vành Gauss. 2. Trình bày và chứng minh các tính chất và ứng dụng của vành Noether.
3. Trình bày và chứng minh các tính chất của các vành Dedekin, vị nhóm nhân Iđêan phân khác
không của vành Dedekin, chuẩn của một Iđêan.
4. Giả sử a, b là hai phần tử của môt vành chính A, nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng iđêan sinh bởi a và b chính là A. sinh bởi a và b chính là A.
5. Giả sử p là một phần tử khác không của một vành chính A. Chứng minh p là bất khả quy khi và chỉ khi Ap là iđêan tối đại.
6. Trong một vành chính các iđêan nguyên tố khác { }0 đều là các iđêan tối đại.
7. Chứng minh một trường là một vành chính.
8. Vành thương của một vành chính có là một vành chính không? 9. Vành con của một vành chính có là một vành chính không? 9. Vành con của một vành chính có là một vành chính không?
10. Vành Z[ ]x có là một vành chính không?
11. Giả sử A là tập hợp các số phức có dạng a+b −3 với ,a b∈ℤ.
a) Chứng minh rằng A cùng với phép cộng và phép nhân các số phức là một miền nguyên. b) Chứng minh rằng 2,1+ −3,1− −3 là những phần tử bất khả quy của A. Từ đó suy ra A
không phải là vành chính.
12. Chứng minh vành A={a bi+ 2 | ,a b∈ℤ} là vành chính.
13. Chứng minh rằng vành A={a bi+ 2 | ,a b∈ℤ} là một vành Ơclít.
14. Chứng minh một trường là một vành Ơclít.
15. Giả sử A là một vành Ơclít. Chứng minh A là một trường khi và chỉ khi ( )δ x là hằng với mọi
*
x∈A .
16. Giả sử A là một vành Ơclít với ánh xạ Ơclít δ:A*→ℕ. Chứng minh tồn tại ánh xạ Ơclít
*
' :A
δ →ℕ sao cho δ'( )A* ={0,1,...,n},n≥0 hay '( )δ A =ℕ.
17. Giả sử A là một vành Ơclít với ánh xạ Ơclít δ . Chứng minh rằng ( )δ u là phần tử bé nhất của
*
( )A
δ khi và chỉ khi u khả nghịch trong A.
18. Giả sử A là một miền nguyên. Chứng minh điều kiện cần để A là vành Ơclít là tồn tại một phần tử không khả nghịch x∈A sao cho mọi lớp của A/(x) có một đại diện hoặc khả nghịch phần tử không khả nghịch x∈A sao cho mọi lớp của A/(x) có một đại diện hoặc khả nghịch hoặc bằng 0. 19. Chứng minh vành 1 19 1 19 | , 2 2 i i a b a b + + = + ∈
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Hoàng Xuân Sính (2001), Số đại số (tập I), NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [2]. Hoàng Xuân Sính (2001), Số đại số (tập II), NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [3]. Hoàng Xuân Sính (2003), Đại sốđại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[4]. Ian Stewart – David Tall(2001), Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, Massachusetts.