8. Cấu trúc của luận văn
2.2.3.Thực hiện dạy học PH&GQVĐ giúp hình thành năng lực giải quyết
Bài tập 1: Cho 2 đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 17 điểm phân biệt, trên b lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số các điểm trên.
Bài toán 2: Trong mặt phẳng cho đa giác đều có 10 cạnh. Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác? Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là 1 cạnh của đa giác? Có bao nhiêu tam giác không chứa cạnh nào của đa giác?
Bài toán 3: Tổng quát bài toán 2 cho trường hợp đa giác có n cạnh
2.2.3. Thực hiện dạy học PH&GQVĐ giúp hình thành năng lực giải quyết vấn đề cho HS vấn đề cho HS
Dạy học PH&GQVĐ có ưu điểm rất lớn đó là phát triển khả năng tìm tòi, xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, HS sẽ huy động được tri thức và kĩ năng cá nhân, kĩ năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với bạn bè để tìm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
ra cách giải quyết tốt nhất. Chính vì thế nó sẽ giúp HS hình thành nên năng lực giải quyết vấn đề cho mình.
Cùng với việc giúp HS lĩnh hội tri thức, rèn luyện kĩ năng, biện pháp này còn giúp các em PH&GQVĐ trong nội bộ môn Toán và trong các tình huống thực tiễn khác.
* Cách thực hiện:
GV có thể hình thành năng lực giải quyết vấn đề cho HS theo trình tự như sau:
-GV làm mẫu PH&GQVĐ cho HS;
-GV hướng dẫn HS PH&GQVĐ thông qua các câu hỏi đáp.; -GV cho HS tự mình PH&GQVĐ;
GV lựa chọn những nội dung HS có thể kiến tạo tri thức từ đó thiết kế các tình huống gợi vấn đề.
Vận dụng các bước dạy học PH&GQVĐ GV có thể giúp HS hình thành năng lực giải quyết vấn đề theo các cấp độ khác nhau:
-Cấp độ 1: HS đáp ứng được các yêu cầu cơ bản khi vấn đề được GV đặt ra một cách tương đối rõ ràng.
-Cấp độ 2: HS nhận ra được vấn đề do GV đưa ra, biết hoàn tất việc giải quyết vấn đề dưới sự gợi ý, dẫn dắt của GV.
-Cấp độ 3: HS chủ động phát hiện được vấn đề, dự đoán những điều kiện nảy sinh vấn đề và đề xuất cách thức giải quyết vấn đề.
*) Chú ý: Việc hình thành năng lực giải quyết vấn đề cho HS phải trải qua một quá trình. Vì vậy, GV nên tận dụng các cơ hội để rèn luyện năng lực PH&GQVĐ cho HS. Do đó, việc rèn luyện không chỉ ở nội dung này mà còn ở các nội dung khác của môn Toán, không chỉ thực hiện ở bộ môn Toán mà còn cần thực hiện ở các môn khác nữa.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Ví dụ 2.6: Để góp phần hình thành năng lực giải quyết vấn đề cho HS
khi dạy bài "Công thức nhị thức Niu-tơn" GV có thể tổ chức cho HS PH&GQVĐ như sau:
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
GV: Khai triển hằng đẳng thức 2 3 , a b a b HS: 2 2 2 2 a b a ab b ; 3 3 2 2 3 3 3 a b a a b ab b
GV: Có thể khai triển được đẳng thức 4
a b không? Có thể khai triển được đẳng thức *
,
n
a b n N không?
Bước 2: Tìm giải pháp
GV: Xuất phát từ khai triển 2 2 2
2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a b a ab b , hãy biểu diễn các hệ số của mỗi số hạng trên theo tổ hợp chập k của 2, ví dụ 0
2
1 C
HS: 1 2
2 2
2 C;1 C
GV: Hãy biểu diễn lại khai triển 2
a b với các hệ số là các tổ hợp chập k của 2.
HS: 2 0 2 1 2 2
2 2 2
a b C a C ab C b
GV: Tương tự hãy biểu diễn khai triển 3
a b HS: 3 3 2 2 3 3 3 a b a a b ab b = 0 3 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 C a C a b C ab C b
GV: Dựa vào 2 cách biểu diễn trên em có thể dự đoán được khai triển
của 4
a b không? HS: Có thể
GV: Chia lớp thành 2 nhóm Nhóm 1: Khai triển 4
a b theo cách thông thường.
Nhóm 2: Dự đoán khai triển theo cách tương tự như trên, sau đó tính kết quả.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
GV: Có nhận xét gì về kết quả của 2 nhóm? HS: 2 kết quả trùng nhau.
GV: Hãy đưa ra khai triển của biểu thức a b 4? HS: a b 4= 0 4 1 3
4 4
C a C a b C a b42 2 2 C ab43 3 C b44 4
GV: Từ 3 kết quả trên, em có thể dự đoán khai triển của biểu thức
* , n a b n N không? HS: Dự đoán n a b 0 1 1 2 2 2 1 1 ... .(1) n n n n n n n n n n n n C a C a b C a b C ab C b
GV: Chính xác lại công thức, công thức (1) gọi là công thức nhị thức Niu-tơn.
Sau đó yêu cầu HS tìm cách khai triển a b n
HS: Dự đoán 0 1 1 2 2 2 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ... ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n a b a b C a C a b C a b C a b C b 1 0 1 1 2 2 2 1 1 ... 1 n 1 n n n n n n n n n n n n n C a C a b C a b C ab C b
GV: Chính xác lại công thức sau đó dẫn dắt HS đưa ra chú ý Trong công thức (1): (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
GV: Nếu a = b = 1 thì (1) cho ta đẳng thức nào? HS: Nếu a = b = 1 thì (1) 0 1 1
2n Cn Cn ... Cnn Cnn
GV: Nếu a = 1, b = -1 thì (1) cho ta đẳng thức nào? HS: Nếu a=1, b= -1 thì (1) 0 1
0 Cn Cn ... ( 1)kCnk ... ( 1)nCnn
GV: Vế phải của (1) có bao nhiêu hạng tử? HS: Có n+1 hạng tử.
GV: Có nhận xét gì về số mũ của a và b, tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử?
HS: Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
GV: Có nhận xét gì về hệ số của mỗi số hạng cách đều hai hạng tử đầu và cuối?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
HS: Bằng nhau
GV: Từ mối liên hệ giữa các hạng tử trong khai triển trên, có thể đưa ra công thức thu gọn cho dãy tổng trên không?
HS: Dự đoán công thức thu gọn
0 n n k n k k n k a b C a b
GV: Chính xác lại công thức khai triển và công thức thu gọn của nhị thức Niu-tơn.
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV cho HS tự trình bày lại công thức nhị thức Niu-tơn Công thức nhị thức Niu-tơn: n a b C an0 n C an1 n 1b C an2 n 2b2 ... Cnn 1abn 1 C bnn n (1) Hệ quả: Nếu a = b = 1 thì (1) 0 1 1 2n Cn Cn ... Cnn Cnn Nếu a=1, b= -1 thì (1) 0 1 0 ... ( 1)k k n n n C C C ... ( 1)n n n C
Trong biểu thức ở vế phải của (1) ta có: - Có n+1 hạng tử.
- Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
- Các hệ số của mỗi số hạng cách đều 2 hạng tử đầu và cuối bằng nhau. Chú ý: Từ (1) ta có:
- a b n C an0 n C a1n n 1b C an2 n 2b2 ... 1 n 1Cnn 1abn 1 1 nC bnn n
- Công thức thu gọn của nhị thức Niu-tơn như sau:
0 n n k n k k n k a b C a b (2) Trong đó k n k k n
C a b là công thức tổng quát của số hạng thứ k+1 trong khai triển.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Sau khi học xong công thức nhị thức Niu-tơn. GV cho HS nêu ứng dụng của công thức nhị thức Niu-tơn.
HS: Công thức nhị thức Niu-tơn dùng để khai triển các biểu thức có dạng (a b)n, tìm số hạng thứ k trong khai triển.
GV cho HS áp dụng vào giải quyết các bài tập sau: 1) Khai triển biểu thức 5
(2 x)
2) Khai triển biểu thức 4
2x 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3) Tìm số hạng thứ 20 trong khai triển 30
5 3x
Với bài toán trên, 1) GV có thể làm mẫu cho HS, ý 2) HS hoàn toàn có thể vận dụng kiến thức đã học và bài mẫu 1) để thực hiện. Câu hỏi 3) HS sử dụng công thức thu gọn của nhị thức Niu-tơn để thực hiện, GV gợi ý cho HS số hạng thứ 20 trong khai triển ứng với k = 19, từ đó yêu cầu HS thực hiện dưới sự gợi ý của GV.
Với ví dụ trên GV đã tổ chức các hoạt động dạy học PH&GQVĐ nhằm hình thành năng lực giải quyết vấn đề cho HS thông qua các cấp độ khác nhau, từ việc GV làm mẫu để HS biết cách PH&GQVĐ, đến việc HS PH&GQVĐ dưới sự hướng dẫn của GV, cuối cùng là HS tự PH&GQVĐ.
Ví dụ 2.7: Để góp phần hình thành năng lực giải quyết vấn đề cho HS
sau khi học bài “Tổ hợp”, GV có thể dẫn dắt HS PH&GQVĐ thông qua bài tập sau:
Trong mặt phẳng cho đa giác lồi có 10 cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đường chéo?
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
GV: Trong đa giác lồi, đường chéo là đường như thế nào?
HS: Đường chéo là đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau của đa giác.
GV: Hãy phát biểu bài toán trên dưới dạng khác.
HS: Có thể phát biểu như sau: Tính số đoạn thẳng tạo thành từ các đỉnh của đa giác lồi 10 cạnh sao cho 2 đầu của mỗi đoạn thẳng không phải 2 đỉnh liền kề của đa giác đó?
Bước 2: Tìm giải pháp
GV: Bài toán trên khiến em có liên tưởng đến bài toán nào mà em đã biết? HS: HS liên tưởng đến bài toán: Có bao nhiêu đoạn thẳng lập nên từ 10 điểm cho trước.
GV: Vậy để giải quyết bài toán trên có thể sử dụng bài toán tính số đoạn thẳng lập từ 10 điểm cho trước không?
HS: Có thể
GV: Vậy làm thế nào tính được số đường chéo của đa giác lồi 10 cạnh? HS: Bằng hình vẽ minh họa và kiến thức đã học, HS xây dựng công thức tính số đường chéo chính bằng số đoạn thẳng tạo thành từ các đỉnh trừ đi số cạnh đa giác. Từ đó HS tìm ra công thức tính số đường chéo của đa giác lồi 10 cạnh.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Dựa vào gợi ý của bước 2, HS đưa ra được lời giải cho bài toán:
Vì đa giác 10 cạnh nên có 10 đỉnh nên số đoạn thẳng lập nên từ các đỉnh của đa giác là: 2
10
C đoạn thẳng.
Vì số đường chéo được tính bằng số đoạn thẳng tạo thành từ các đỉnh trừ đi số cạnh đa giác nên số đường chéo của đa giác 10 cạnh là:
2
10 10 35
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
GV: Theo em chúng ta có thể ứng dụng cách giải của bài toán này vào các bài toán tìm đường chéo của đa giác bất kỳ không?
HS: Có thể
GV: Em hãy đưa ra bài toán tổng quát cho bài toán trên và đề xuất lời giải cho bài toán đó. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
HS: Đưa ra bài toán tổng quát: Tính số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh bất kỳ.
Cách giải: Số đường chéo được tính bằng số đoạn thẳng tạo thành từ các đỉnh trừ đi số cạnh đa giác nên số đường chéo của đa giác n cạnh là:
2
n
C n (đường chéo)
GV: Lật ngược vấn đề: Liệu rằng khi biết số đường chéo của 1 đa giác lồi thì có thể xác định được số đỉnh của đa giác đó không?
Thông qua cách đặt câu hỏi trên, GV giúp HS nhìn thấy những ứng dụng sâu của bài toán trên, đưa ra được bài toán tổng quát và cách giải cho bài toán tổng quát, xây dựng bài toán mới chính là bài toán ngược của bài toán đã cho.
Ví dụ 2.8: Sau khi học bài “Công thức nhị thức Niu-tơn”, GV có thể
cho HS tự PH&GQVĐ để tìm lời giải cho các bài toán sau: Bài tập 1: Chứng minh rằng 10 10 1, ,1 9 10 a a a N a Bài tập 2: So sánh hệ số của 20
x của 2 đa thức sau:
1000 2 3 ( ) 1 P x x x ; 2 3 1000 ( ) 1 Q x x x
Bài tập 3: Cho n Z n, 2 chứng minh rằng: 2 (1 1)n
n Bài tập 4: Cho khai triển: 7
4 1 n x x . Tìm hệ số của 26 x biết: 1 2 20 2n 1 2n 1 ... 2nn 1 2 1 C C C
Bài toán 5: Chứng minh rằng:
1 1000 1001
2001 2001 2001 2001
k k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Bài toán 6: Cho 2 số a, b thỏa mãn: a + b = 1
Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì 11 2
n n
n
a b
Với việc giải quyết các bài toán trên HS dần dần hình thành được năng lực PH&GQVĐ cho mình. Từ đó các em sẽ có cái nhìn khái quát hơn về vấn đề mình đang học.