8. Cấu trúc của luận văn
2.2.2. Thực hiện dạy học PH&GQVĐ để giúp HS kiến tạo tri thức, rèn
luyện kĩ năng
* Mục đích của biện pháp:
Giúp HS kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng thông qua việc PH&GQVĐ.
Nội dung Đại số tổ hợp là nội dung gắn liền với thực tiễn, do đó việc GV thiết kế các tình huống gợi vấn đề gắn với nội dung thực tiễn sẽ kích thích HS học tập hăng hái, tích cực hơn từ đó hình thành được tri thức, rèn luyện được kĩ năng.
* Cách thực hiện:
- GV lựa chọn những nội dung HS có thể kiến tạo tri thức từ đó thiết kế các tình huống gợi vấn đề phù hợp.
- Vận dụng các bước dạy học PH&GQVĐ để từ đó HS có thể kiến tạo được tri thức, rèn luyện được kĩ năng.
- Đây là nội dung bao gồm các vấn đề gắn liền với thực tiễn do đó GV có thể thiết kế các tình huống gợi vấn đề phù hợp xuất phát từ thực tiễn để kiến tạo tri thức cho HS.
Ví dụ 2.3: Khi dạy định lý số các tổ hợp GV có thể kiến tạo tri thức cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
GV: Cho 5 điểm A, B, C, D, E phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không lập nên từ các điểm trên?
HS: Số các vectơ lập nên từ 5 điểm trên chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử, có 2
5 20
A vectơ.
GV: Số các đoạn thẳng lập nên từ 5 điểm trên có bằng số các vectơ lập nên từ 5 điểm trên không? Vì sao?
HS: Không vì 1 vectơ thì phân biệt điểm đầu và điểm cuối, đoạn thẳng thì không phân biệt điểm đầu và điểm cuối.
GV: Số các đoạn thẳng lập nên từ 5 điểm trên là bao nhiêu? HS: Liệt kê và đếm có 10 đoạn thẳng.
GV: Số các đoạn thẳng trên chính là số các tổ hợp chập 2 của 5 phần tử, kí hiệu là 2
5
C . Vậy muốn tính số các tổ hợp chập 2 của 50 ta tính như thế nào? Có thể dùng cách liệt kê và đếm được không?
Bước 2: Tìm giải pháp
GV: Thông qua ví dụ trên và thông qua định nghĩa về chỉnh hợp và tổ hợp, hãy đi xây dựng mối quan hệ về số các tổ hợp chập k của n phần tử với số các chỉnh hợp chập k của n phần tử.
GV có thể dẫn dắt HS: Xuất phát từ tập hợp A gồm n phần tử, chọn k phần tử bất kỳ không phân biệt thứ tự các phần tử đó ta được 1 tổ hợp chập k của n phần tử. Với mỗi tổ hợp gồm k phần tử đã chọn, sắp xếp thứ tự cho k phần tử đó thì ta được các chỉnh hợp chập k của n phần tử.
GV: Từ mối liên hệ trên, có xây dựng được công thức tính k n C từ k n A được không? HS: Có thể
GV: Từ 1 tổ hợp chập k của n phần tử có thể tạo nên được bao nhiêu chỉnh hợp chập k của n phần tử?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
GV: Nếu có k n
C tổ hợp chập k của n phần tử có thể tạo nên được bao nhiêu chỉnh hợp chập k của n phần tử?
HS: k C! nk
GV: Công thức liên hệ giữa k n
C và k n A ? HS: Ank k C! nk
GV: Hãy biểu diễn công thức tính k n C ? HS: ! ! ! ! k k n n A n C k k n k GV: Từ công thức trên tính 2 5 C ? HS: 2 5 5! 3!4.5 10 2!3! 2!3! C
GV: Nhận xét gì về kết quả này với kết quả trên? HS: 2 kết quả trùng nhau
GV: chính xác lại định lý
Bước 3: Trình bày giải pháp
GV cho HS phát biểu lại nội dung định lý và chứng minh lại định lý dựa vào các bước phân tích trên
Kí hiệu k n
C là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Định lý:
Chứng minh:
+ Với k = 0 công thức hiển nhiên đúng.
+ Với k 1, một chỉnh hợp chập k của n phần tử được thành lập như sau: - Chọn tập con gồm k phần tử từ n phần tử có k
n
C cách. - Sắp thứ tự k phần tử được chọn có k! Cách.
Vậy theo quy tắc nhân, số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: Ank k C!. nk
! ! !( )! k k n n A n C k k n k ! !( )! k n n C k n k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ! !( )! k n n C k n k
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
Sau khi học xong nội dung này, GV có thể chỉ ra cho HS nhìn thấy những ứng dụng của định lý, từ đó cho HS vận dụng, củng cố lý thuyết và rèn luyện kĩ năng thông qua bài tập sau:
Một bộ bài có 52 quân. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách chọn ra được 4 quân bài?
b) Có bao nhiêu cách chọn ra được 4 quân bài trong đó có đúng 1 con Át (A)?
c) Có bao nhiêu cách chọn ra được 4 quân bài trong đó có ít nhất 1 con Át (A)?
d) Có bao nhiêu cách chọn ra được 4 quân bài trong đó có đúng 1 con Át (A) nhưng con A đó phải là Át cơ?
Với bài tập trên, HS vừa vận dụng ngay được nội dung kiến thức đã học và cả kiến thức về quy tắc đếm. Từ đó hình thành cho HS hệ thống kiến thức xuyên suốt toàn bộ nội dung chương. Các câu hỏi của bài tập theo mức độ tăng dần về độ khó, điều này phù hợp với trình độ nhận thức của HS. Vậy bài tập trên có tác dụng rèn luyện kĩ năng cho HS bằng việc vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập có liên quan.
Ví dụ 2.4: Sau khi học xong bài “Tổ hợp” GV có thể củng cố tri thức,
rèn luyện kĩ năng cho HS thông qua bài tập sau:
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn 1 bó gồm 7 bông hồng. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ? b) Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng đỏ và ít nhất 3 bông hồng vàng?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Mục tiêu của bài toán trên là giúp HS củng cố thêm kiến thức sau khi học xong bài “Tổ hợp” từ đó rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán về nội dung này cho HS.
Tiến trình thực hiện:
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
GV cho HS đọc hiểu và phân tích đề bài.
Bước 2: Tìm giải pháp
a) GV: Để chọn 1 bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ, nếu là em, em sẽ thao tác các bước như thế nào?
HS: Đầu tiên chọn 1 bông hồng đỏ sau đó chọn 6 bông còn lại trong 2 loại vàng và trắng.
GV: Có bao nhiêu cách để chọn ra 1 bông hồng đỏ? HS: Có 4 cách.
GV: Để chọn 6 bông còn lại ta sẽ làm như thế nào? HS: Chọn 6 bông từ 8 bông vàng và trắng, do đó có 6
8
C cách chọn. GV: Có tất cả bao nhiêu cách chọn được 1 bó hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán? HS: Có 6
8
4.C 112 cách.
b) GV: Để chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng đỏ và ít nhất 3 bông hồng vàng, theo em có thể xảy ra các khả năng nào?
HS: Khả năng 1: 3 bông vàng và 4 bông đỏ, khi đó có 3 4 5. 4
C C cách chọn. Khả năng 2: 4 bông vàng và 3 bông đỏ, khi đó có 4 3
5. 4
C C cách chọn. Khả năng 3: 3 bông vàng, 3 bông đỏ và 1 bông trắng, khi đó có 3 3 1
5. 4. 3
C C C
cách chọn.
GV: Có tất cả bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán? HS: Có 3 4 5. 4 C C + 4 3 5. 4 C C + 3 3 1 5. 4. 3 C C C = 10 + 20 + 120 = 150 cách.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
a) Để chọn 1 bó hoa gồm 7 bông trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ ta làm như sau:
- Chọn 1 bông hồng đỏ từ 4 bông hồng đỏ có 4 cách. - Chọn 6 bông còn lại từ 8 bông vàng và trắng có 6
8
C cách. Vậy để chọn 1 bó hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán có 4. 6
8
C = 112 cách. b) Để chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng đỏ và ít nhất 3
bông hồng vàng, có các khả năng sau:
Khả năng 1: 3 bông vàng và 4 bông đỏ, khi đó có 3 4 5. 4
C C cách chọn. Khả năng 2: 4 bông vàng và 3 bông đỏ, khi đó có 4 3
5. 4
C C cách chọn. Khả năng 3: 3 bông vàng, 3 bông đỏ và 1 bông trắng, khi đó có 3 3 1
5. 4. 3
C C C cách. Vậy số cách chọn hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3 4 5. 4 C C + 4 3 5. 4 C C + 3 3 1 5. 4. 3 C C C = 10 + 20 + 120 = 150 cách.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
GV: Tại sao ý a) sử dụng quy tắc nhân, ý b) lại sử dụng quy tắc cộng? HS: Vì ý a) để chọn 1 bó hoa gồm 7 bông ta thực hiện 2 hành động liên tiếp là chọn 1 bông đỏ từ 4 bông đỏ sau đó chọn 6 bông từ 8 bông còn lại nên ta sử dụng quy tắc nhân.
Ý b) 3 khả năng là độc lập với nhau, mỗi cách chọn khả năng này không trùng với cách chọn khả năng kia do đó ta sử dụng quy tắc cộng.
GV giúp HS nhìn ra những ứng dụng của bài toán trên chính là việc phối kết hợp quy tắc đếm, tổ hợp giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán trong thực tiễn.
GV cho HS rèn luyện thêm kĩ năng thông qua bài tập củng cố sau: Nhà bạn An có 12 cây giống gồm 3 loại là xoài, mít, ổi trong đó có 6 cây xoài, 4 cây mít và 2 cây ổi. Bạn An muốn chọn 6 cây giống trồng sau nhà. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách chọn sao cho mỗi loại có đúng 2 cây? b) Có bao nhiêu cách chọn sao cho mỗi loại có ít nhất 1 cây?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Ví dụ 2.5: Sau khi học xong bài “Tổ hợp”, để củng cố lại tri thức và rèn
luyện được kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS, GV cũng có thể hướng dẫn HS giải quyết bài tập sau:
Cho tam giác ABC, xét bộ gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC, 6 đường thẳng song song với AC, trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy.
a) Các đường thẳng trên tạo thành bao nhiêu tam giác?
b) Các đường thẳng trên tạo thành bao nhiêu tứ giác? (không kể hình bình hành)
c) Các đường thẳng trên tạo thành bao nhiêu tứ giác?
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
GV có thể cho HS vẽ hình mô phỏng cho bài toán để HS dễ dàng hình dung. GV: Một tam giác được tạo nên như thế
nào?
HS: Một tam giác được tạo nên từ 3 điểm không thẳng hàng hay 3 đường thẳng đôi một cắt nhau.
GV: b) Các tứ giác tạo thành từ các đường thẳng trên (không phải là hình bình hành) thì là hình gì?
A
B C
HS: Hình thang
GV: c) các tứ giác tạo thành từ các đường thẳng trên là hình như thế nào? Phân biệt câu hỏi này với câu hỏi b)?
HS: ý c) các tứ giác tạo thành từ các đường thẳng trên có thể là hình thang hoặc có thể là hình bình hành.
GV: Hãy phát biểu yêu cầu bài toán dưới 1 cách khác. HS: a) Các đường thẳng trên tạo thành bao nhiêu tam giác?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
c) Các đường thẳng trên tạo thành bao nhiêu tứ giác?
Bước 2: Tìm giải pháp
a) GV: Ở hình vẽ trên, 1 tam giác được dựng nên bởi các đường thẳng như thế nào?
HS: 1 tam giác được tạo thành bởi 1 đường thẳng song song với AB, 1 đường thẳng song song với BC, 1 đường thẳng song song với AC.
GV: Tính số tam giác đó như thế nào?
HS: Có 4 cách chọn 1 đường thẳng song song với AB. Có 5 cách chọn 1 đường thẳng song song với BC. Có 6 cách chọn 1 đường thẳng song song với AC. Vậy có 4.5.6 = 120 tam giác được tạo thành.
b) GV: Các hình thang được dựng nên từ các đường thẳng trên như thế nào? HS: Mỗi hình thang được dựng nên từ 2 đường thẳng song song thuộc nhóm này và 1 đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại.
GV: Có bao nhiêu khả năng xảy ra đó là những khả năng nào? Số hình thang tạo thành ở các khả năng đó là bao nhiêu?
HS: Có 3 khả năng xảy ra:
2 đường thẳng song song với AB, một đường thẳng song song với BC, 1 đường thẳng song song với AC, khi đó có 2 1 1
4. 5. 6
C C C hình thang.
1 đường thẳng song song với AB, 2 đường thẳng song song với BC, 1 đường thẳng song song với AC, khi đó có 1 2 1
4. 5. 6
C C C hình thang.
1 đường thẳng song song với AB, 1 đường thẳng song song với BC, 2 đường thẳng song song với AC, khi đó có 1 1 2
4. 5. 6
C C C hình thang. GV: Tính số hình thang tạo thành từ các đường thẳng trên?
HS: Áp dụng quy tắc cộng, số hình thang tạo thành từ các đường thẳng trên là: 2 1 1 4. 5. 6 C C C + 1 2 1 4. 5. 6 C C C + 1 1 2 4. 5. 6 C C C = 720 hình thang.
c) GV: Nếu đầu bài yêu cầu tính số các tứ giác tạo thành từ các đường thẳng trên thì ta phải làm như thế nào?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
HS: Tứ giác tạo thành từ các đường thẳng trên chỉ có thể là hình thang hoặc là hình bình hành. Vậy để tính được số các tứ giác tạo thành ta sẽ tính số hình bình hành tạo thành từ các đường thẳng trên.
GV: Một hình bình hành được tạo thành như thế nào?
HS: Một hình bình hành được tạo thành từ 2 đường thẳng song song thuộc nhóm này và 2 đường thẳng song song thuộc nhóm kia.
GV: Có bao nhiêu khả năng xảy ra đó là những khả năng nào? Số hình bình hành tạo thành ở các khả năng đó là bao nhiêu?
HS: Có 3 khả năng:
2 đường thẳng song song với AB, 2 đường thẳng song song với BC, khi đó có 2 2
4. 5
C C hình bình hành.
2 đường thẳng song song với BC, 2 đường thẳng song song với AC, khi đó có 2 2
5. 6
C C hình bình hành.
2 đường thẳng song song với AB, 2 đường thẳng song song với AC, khi đó có 2 2
4. 6
C C hình bình hành.
Vậy số hình bình hành tạo thành từ các đường thẳng trên là:
2 2 4. 5 C C + 2 2 5. 6 C C + 2 2 4. 6 C C = 300 hình bình hành. GV: Vậy số tứ giác tạo thành là bao nhiêu?
HS: Số tứ giác tạo thành là: 720 + 300 = 1020 tứ giác.
Bước 3: Trình bày giải pháp
a) Mỗi tam giác được tạo thành bởi 3 đường thẳng thuộc 3 nhóm khác nhau, do đó số tam giác được tạo thành là 4.5.6 = 120 tam giác.
b) Mỗi hình thang được tạo thành bởi 2 đường thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại.
Do đó số hình thang tạo thành là: 2 1 1 4. 5. 6 C C C + 1 2 1 4. 5. 6 C C C + 1 1 2 4. 5. 6 C C C = 720 hình thang.
c) Các tứ giác tạo thành từ các đường thẳng trên chỉ có thể là hình thang hoặc hình bình hành.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/