Bổ đề 2.2.3 chỉ ra rằng trong phương trình liên hợp (2.1.8)
A∗(D∗y)0+B∗y=−p (2.6.1)
với A∗ = D∗, D∗ = A∗ và B∗ = −B∗, cặp ma trận {A∗,D∗} cho phép đưa đến một Cm tách trơn với điều kiện cặp {A,D} cũng thế. Phép chiếu R∗ thực hiện phân tích thoả mãn điều kiệnR∗ =R∗. Cho phương trình (2.7.1) ta đưa ra không gian con và các ma trận như ta đã làm với phương trình (2.1.7) bởi dãy (2.2.4)
Q∗i là một phép chiếu lên kerG∗i, P∗i= I−Q∗i,
W∗i là một phép chiếu, kerW∗i =imG∗i, (2.6.2) G∗i+1 =G∗i+B∗iQ∗i, B∗i+1 := B∗iP∗i,
N∗i= kerG∗i =imQ∗i,
S∗i= {z∈Cm :B∗iz∈imG∗i}= kerW∗iB∗i, i= 0,1. Ta xác định nghịch đảo phản xạ D−∗ = A∗− vàA−∗ =D∗− với
A∗A∗− = R∗ = R∗,A∗−A∗ = P∗0,D∗D∗− = I−W∗0,D∗−D∗ =R∗ =R∗.
2.6.1 Chú ý.
Nói chung, các đẳng thức
D−∗ =D∗−P0∗,D∗− = D−∗(I−W∗0),A−∗ = (I−W0∗)A∗−,A∗− =P∗0A−∗ được giữ nguyên. Hơn nữa, nếu ta đặt
W0 = Q∗∗0(W∗0 =Q∗0) thìA∗− =A−∗(D∗− = D−∗).
Mục tiêu của chúng ta là trình bày các tính chất thông dụng của phương trình (2.1.7) và (2.1.8). Để đạt được mục tiêu này ta đưa ra một số khẳng định để hỗ trợ liên kết các không gian con đặc trưng của cặp các phương trình.
Để làm được ta cần các ma trận phụ trợ:
Gi+1 =Gi+WiBiQi và G∗i+1 = G∗i+W∗iB∗iQ∗i (i= 0,1). Ma trận Gi+1 và G∗iliên hệ với Gi vàG∗i bởi công thức
Gi =GiFi−1, G∗i= G∗iF∗i−1, (2.6.3) Trong đó:
F0=I+D−A−BQ0, F∗0=I−A∗−D∗−B∗Q∗0,
Ở đây phản xạ nghịch đảo của G1 và G∗1 xác định bởi
G1G−1 =I−W1, G−1G1 =P1, G∗1G−∗1 =I−W∗1, G−∗1G∗1 = P∗1.
Tất cả các Fs không suy biến, để có được nghịch đảo tương ứng có thể thay đổi kí hiệu + và− ngược lại cho nhau, khẳng định cơ bản của ta là:
Ni∩Si =kerGi+1, N∗i∩S∗i= kerG∗i+1 (i =0,1) (2.6.4) Nó liên kết dãy ma trận (2.2.4) và (2.6.2) và các điều kiện (2.2.5) và (2.2.7) xảy ra trong các định nghĩa chỉ số. Kết nối giữa dãy (2.2.4) và (2.6.2) là các hệ thức:
kerG1 = kerG∗
∗1, kerG∗1 =kerG∗
1,
F0kerG2 =kerG∗∗2, F∗0kerG∗2 = kerG∗2. (2.6.5) Tính chất (2.6.4) và (2.6.5) giống như
DS1 = R(A∗N∗1)⊥, A∗S∗1 = R∗(DN1)⊥ (2.6.6)
có thể kiểm tra bằng cách sử dụng lại định nghĩa chính thức của không gian con. Lưu ý rằng không gian con xảy ra trong yêu cầu (2.6.6) sẽ được kết hợp với phương trình (2.1.7) và (2.1.8) đã được trang bị một chỉ số. Ta cũng có thể liên kết giữa các phép chiếu lên các không gian con này. Cụ thể là nếu phân tích (2.2.2) trong điều kiện C1 và các hệ thức (2.2.6) và (2.2.7) là đúng thì
(DPˆ1D−)∗ =A∗Pˆ∗1A∗− (2.6.7) Điều quan trọng là chỉ ra rằng
(DN1⊕kerR)⊥ =R∗(DN1)⊥, (A∗N∗1⊕kerR∗)⊥ =R(A∗N∗1)⊥
Bây giờ ta có thể chứng minh mối quan hệ giữa phương trình gốc với phương trình liên hợp của nó.
2.6.2 Định lý. Phương trình (2.1.8) là phương trình chỉ số 1 hoặc chỉ số 2 nếu và chỉ nếu phương trình (2.1.7) cũng vậy.
Chứng minh.
Do Bổ đề 2.2.3, điều kiện C1 được giữ nguyên cho cả phương trình (2.1.7) và (2.1.8). Nếu phương trình (2.1.7) thỏa mãn điều kiện đại số (2.2.5) thì cả G1,G1 đều không suy biến, với N∗0∩S∗0 = {0}. Điều này minh chứng rằng điều kiện (2.2.5) đúng với cả phương trình liên hợp (2.1.8). Chiều ngược lại ta chứng minh tương tự. Do đó ta giải quyết xong với trường hợp chỉ số 1.
Với trường hợp chỉ số 2, đầu tiên ta kiểm tra các hệ thức đại số (2.2.6) và (2.2.7). Cho các hệ thức (2.2.2), (2.2.6) và (2.2.7) đúng với phương trình (2.1.7) thì không gian conkerG1 =N0∩S0, có số chiều không đổi là m−r1. Vì thế m−r1 =dimkerG∗
∗1; m−r1 =dimkerG∗1
Áp dụng công thức (2.6.4) ta có dimN∗0∩S∗0=m−r1, tức là điều kiện (2.2.6) thỏa mãn phương trình liên hợp (2.1.8). Ta được
dim(N∗1∩S∗1) =dimkerG∗2 = dimkerG∗2
=dimkerG2 =dimkerG2 =dim(N1∩S1).
Điều kiện (2.2.7) được chuyển từ (2.1.7) sang (2.1.8) và ngược lại.
Ta vẫn còn phải kiểm tra tính trơn của các không gian con DS1 vàDN1 nghĩa là của A∗S∗1 và A∗N∗1. Nếu phương trình (2.1.7) là chỉ số 2 chuyển được, các phép chiếu DPˆ1D−,DQˆ1D− và I−R là khả vi liên tục do Bổ đề 2.2.9. Vì ràng buộc (2.6.7), A∗Pˆ∗1A∗− và A∗Qˆ∗1A∗− = R∗−A∗Pˆ∗1A∗− cũng khả vi liên tục và không gian con ảnh của chúng A∗S∗1,A∗N∗1 cũng vậy. Tương tự ta có thể chứng minh ngược lại.
Như một hệ quả, phương trình liên hợp là của cùng một cấu trúc và có tính chất tương tự như phương trình gốc. Ta xây dựng các hệ quả tiếp theo cho phương trình chỉ số 2. Nếu chỉ số bằng 1, sự giảm bớt là rõ ràng. Trong
phát biểu
C1A∗Q∗1G−1∗2 =x∈C:A∗Q∗1G−∗21x∈C1 , vớiPˆ∗1 biểu thị phép chiếu đặc biệt thỏa mãn
ˆ
P∗1 = I−Q∗1G∗−21B∗P∗0.
Π∗can i là phép chiếu chính tắc lên S∗ind i xây dựng bởi Πcan i. Để rõ ràng hơn ma trận cơ bản của phương trình liên hợp được kí hiệu bởi X∗ thay vì Y như đã làm trong mục 1.
2.6.3 Hệ quả. Cho phương trình (2.1.7) chỉ số 2 chuyển được. i) Với mỗi p ∈ C1
A∗Q∗1G−1∗2, a ∈ A∗(t0)S∗1(t0), t0 ∈ I, khi đó bài toán giá trị ban đầu với điều kiện ban đầu là A∗(t0)Pˆ∗1(t0)y(t0) =a có nghiệm duy nhất trongCA1∗.
ii) (2.1.8) có nhiễu chỉ số 2 ( has perturbation index-2).
iii) Có đúng một nghiệm của phương trình thuần nhất đi qua điểm(t0,y(t0)),
t0 ∈I, y(t0)∈S∗ind 2(t0).
2.6.4 Hệ quả. Với phương trình (2.1.7) chỉ số i, (i=1 hoặc i=2). Cho phương trình liên hợp (2.1.8) và tùy ý t0 ∈I, khi đó tồn tại duy nhất một ma trận cơ bảnX∗i chuẩn hóa tạit =t0 và nó có dạng
X∗i(t,t0) =Π∗can i(t)A∗−(t)U∗i(t)A∗(t0)Π∗can i(t0),
trong đóU∗ilà ma trận cơ bản chuẩn hóa của phương trình vi phân thường chính qui của phương trình liên hợp (2.1.8).
Nếu công thức (2.2.1) được áp dụng có các dạng ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (2.1.8) và (2.1.7) thì, với một cặp ma trận cơ bản bất kỳ Xi và X∗i (thậm chí với số chiều khác nhau) đồng nhất thức Lagrange có dạng X∗i∗ADXi=const
Nếu các ma trận cơ bản là chuẩn hóa tại cùng một điểmt =t0 thì giá trị của các hằng số trên có thể tính được. Thật vậy,
= Π∗∗can i(t0)A(t0)D(t0)Πcan i(t0). (2.6.8) Tính chất này cho phép đưa ra các hệ thức giữa các ma trận cơ bản đã được chuẩn hóa của phương trình (2.1.8) và (2.1.7). Để thực hiện công việc này, ta sử dụng các nghịch đảo phản xạ tổng quát được định nghĩa tại ˆ
t =t0. Tương tự, do
X∗i(t,t0)X∗i−(t,t0) =Π∗can i(t) và X∗i−(t,t0)X∗i(t,t0) =Π∗can i(t0). (2.6.9) Ta nhân vế phải của phương trình (2.6.8) với Xi−(t,t0)và được phương trình liên hợp
Π∗can iD∗A∗X∗i= Xi−∗D∗(t0)A∗(t0)Π∗can i(t0). (2.6.10) Hơn nữa, đối sốt và cặp (t,t0)có thể bỏ qua.
Công thức này rõ ràng được bắt nguồn từ trường hợp chỉ số 2, bao gồm cả trường hợp chỉ số 1 (xem chú ý 2.3.5). Ta nhân (2.6.10) với A∗−c D−∗ vào vế phải (choA∗−c =D−∗c).A∗(t0)Pˆ∗1(t0)bên vế phải được thay bởi A∗(t0)Pˆ∗1(t0)A∗−(t0)A∗(t0). Cả hai vế xuất hiện số hạng mà ở công thức (2.6.7) đã áp dụng (với t hoặc t0 tương ứng). Mà A∗−c A∗ = P∗0c và P∗0cX∗2 = X∗2, đưa đến biểu thức cho X∗2, khi đó D−∗X2−∗ = D∗−X2−∗. Công thức choX2 là kết quả của việc tính toán và việc sử dụng các hệ thức A∗−∗X2−∗ = A−X2−∗. Việc này làm thay đổi A∗−∗ và D−∗ bởi A− và D∗−. Ở đây đã làm rõ phát biểu cuối cùng cho sự độc lập về cách chọn đặc biệt của P0, P∗0 vàW0,W∗0.
2.6.5 Định lý. Các ma trận cơ bản của phương trình (2.1.7) và (2.1.8) chỉ sối (i=1,2) chuẩn hóa tạit =t0 liên hệ với nhau bởi công thức
X∗1(t) =A∗−c (t)D∗−(t)Xi−∗(t)D∗(t0)A∗(t0), Xi(t) =D−c (t)A−(t)X∗i−∗A(t0)D(t0),
với điều kiện là nghịch đảo phản xạ tổng quát (2.6.7) và (2.6.9) được sử dụng vàD−c vàA∗−c được xây dựng theo nghĩa P0c vàP∗0c của Bổ đề 2.4.1.
Phương trình vi phân thường là một trường hợp riêng của phương trình vi phân đại số. Phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và phương trình liên hợp của nó cũng có các tính chất tương tự như phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình liên hợp. Đặc biệt phương trình gốc và phương trình liên hợp còn có mối quan hệ là chúng có cùng chỉ số. Qua các kết quả trên ta thấy một số tính chất của phương trình vi phân thường và phương trình liên hợp vẫn còn đúng đối với phương trình vi phân đại số 2 và phương trình liên hợp của nó.
Tài liệu tham khảo
[1] E.A Coddington, N. Levinson: Theory of ordinary differential equa- tions. Mc Graw Hill, New York, 1995.
[2] K. Balla: Linear subspaces for linear DAEs of index 1. Computers math. Applic. Vol. 32, No 4/5. pp, 81-86 (1996)
[3] K. Balla:Boundary conditions and their transter differrention - alge- braic equations of index 1 Computers math. Applic. Vol. 31, No.10, pp. 1-5 (1996).
[4] K. Balla, R. Marz:Transfer of boundary conditions for DAEs of index 1. SIAM J. Numer. Vol. 33, No. 6, pp. 2318-2332 (1996).
[5] K. Balla, R. Marz:Linear diifferential algebraic equations of index 1 and their adjoit equations. Results Math. 37 (2000), 13-35.
[6] K. Balla, R. Marz:A unified approach to linear differential algebraic equations and their adjoints. Volume 0 (2002), No. 3, 1-19.
[7] K.Balla, R. Marz:Linear spaces for index 2 DAEs. Results Math. 35 (2002), 7-18.
[8] E. Griepentrog, R. Marz:Differential - Algebraic Equations and their Numerical Treatment. Leipzig, Teubner Verlag, 1986.
[9] G. A. Kurina: Singular perturbation of control problems with equa- tion of state not solved for the derivative (A survey). Intern. J. Com- puter and Systems Sci. 31(1993), 17-45.
[10] R. Marz:Extra-ordinary differential equations. Attempts to an analy- sis of differential-algebraic systems. In: European Congress of Math- ematics, Budapest, July 22.26, 1996, Vol. 1. Serie "Progress in Math- ematics" Vol. 168 Birkhauser Verlag, pp. 313-334, 1998.
[11] R. Marz: The index of linear diifferential algebraic equations with properly stated leading terms. Preprint. Berlin: Humboldt-Univ./Inst. Math., Preprint Nr. 2001-7, 30pp.; Results Math. (to appear).
[12] R. Marz: The index of linear differential algebraic equations with properly stated leading terms. Preprint. Berlin: Humboldt-Univ./Inst. Math, Preprint Nr. 2001-7, 30pp. Results (to appear).