Xét phương trình vi phân đại số thuần nhất chỉ số 1
Theo 1.3 ta có (1.9.1) được phân rã thành hệ phương trình LsPx= 0 Qsx= 0 .
Giả sử x là nghiệm của (1.9.1) ⇒ Qsx = 0 ⇔ Psx = x ⇔ x ∈ imPs, vậy mọi nghiệm của (1.9.1) đều thuộc không gian imPs. Đặt S =imPs, khi đó
dimS=dimimPs =r (theo Bổ đề 1.4.2) và vớit ∈I
Cm= S(t)⊕kerA(t). (1.9.2)
Thật vậy,
Cm=imPs(t)⊕kerPs(t) =S(t)⊕imQs(t) =S(t)⊕kerA(t), t ∈I(theo Hệ quả 1.4.4).
1.9.1 Chú ý.
Với bất kỳ x0 ∈Cm là giá trị hằng ban đầu thỏa mãn x(t0) = Ps(t0)x0 tương đương vớiA(t0)[x(t0)−x0] =0hoặc P(t0)[x(t0)−x0] =0.
Thật vậy, ta có x(t0) =Ps(t0)x0 =A∗∗−11(t0)A(t0)x0 (∗). Nhân hai vế của (*) vớiA∗∗1 ta được (∗) ⇔A∗∗1(t0)x(t0) = A(t0)x0 ⇔A(t0)x(t0)−Q∗∗(t0)B(t0)x(t0) =A(t0)x0 ⇔A(t0)x(t0)−Q∗∗(t0)[(Px)0(t0)−P0(t0)x(t0)] =A(t0)x0 ⇔A(t0)x(t0) =A(t0)x0 ⇔A(t0)[x(t0)−x0] =0. (∗∗)
Nhân 2 vế của (**) với A−11 ta được
(∗∗)⇔A−11(t0)A(t0)[x(t0)−x0] =0⇔ P(t0)[x(t0)−x0] =0.
Nếu áp dụng Định lý 1.7.4 và 1.7.5 cho phương trình thuần nhất(s=0)
thì ta có thể kết luận rằng với mỗiφ0 ∈imP∗s(t0) tồn tại duy nhất nghiệm φ của phương trình
thỏa mãnφ(t0) =φ0 vàφ ∈imP∗s.
Thật vậy, trong quá trình chứng minh Định lý 1.7.4 ta kết luận được rằngφ = φ1−Q∗sA−11s là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
L∗φ = s
A∗(t0)[φ(t0)−φ0] =0
trong đóφ1là nghiệm của phương trình có dạngL∗φ =Ps∗s,φ1=P∗sA+∗P∗ω thỏa mãn φ1(t0) = P∗s(t0)φ0, với ω là nghiệm của bài toán giá trị ban
đầu L∗sω = 0 ω(t0) =A∗1(t0)φ0
. Với s = 0 ⇒ φ = φ1 là nghiệm của phương
trình L∗φ = 0 thỏa mãn φ(t0) = P∗s(t0)φ0 = φ0 (do φ0 ∈ imP∗s(t0)) và φ = P∗sA+∗P∗ω ∈P∗s. Ta có mọi nghiệm của phương trình L∗φ = s đều thuộcimP∗s.
Thật vậy, giả sử φ là nghiệm của (1.9.3), theo phương trình (1.6.3) ta cóQ∗sφ =Q∗A−∗11s. Vớis=0 suy raQ∗sΦ=0⇔P∗sφ =φ hayφ ∈imP∗s. Đặt S∗ =imP∗s. Theo Bổ đề 1.4.1 ta có dimS∗ = dimimP∗s =r. Mặt khác theo Hệ quả 1.4.4 ta cóimQ∗s(t) = kerA∗(t)
⇒Cm =S∗(t)⊕kerA∗(t) (1.9.4)
nên
Cm =imP∗s(t)⊕kerP∗s(t) =S∗(t)⊕imQ∗s(t) =S∗(t)⊕kerA∗(t)
Trong phần đầu tiên, các toán tử L,L∗ chỉ được định nghĩa trong các không gian C1A(I,Cm),C1∗A(I,Cm) và các nghiệm cũng chỉ được nghiên cứu trong các không gian đó. Bây giờ, ta mở rộng các định nghĩa để nghiên cứu các ma trận hàm cơ bản của các phương trình (1.9.1) và (1.9.3). Với mục đích đó ta đưa ra những khái niệm ban đầu như sau:
Đầu tiên với mỗi q, ta xác định cơ sở
n
e(q1), . . . ,e(qq)
o
của Cq sao cho span
n
e(q1), . . . ,e(qq)
o
1.9.2 Định nghĩa. Cho 2 số nguyênq vàs: * Hàm fqs :Cs⊗. . .⊗Cs
| {z }
q
→L(Cq,Cs)được định nghĩa sao cho fqs(x(1), . . . ,x(q))e(qi) =x(i) đúng∀(x(1), . . . ,x(q))∈Cs,∀t ∈I vàe(qi) với i=1, . . . ,q. Ký hiệu: Cs I ={x:I→Cs};Lqs I ={Y :I→ L(Cq,Cs)}. * Hàm Fqs :CsI⊗. . .⊗Cs I | {z } q →Lqs
I được định nghĩa sao cho:
Fqs(x(1), . . . ,x(q))(t)eiq= fqs(x(1)(t), . . . ,x(q)(t))e(qi)=x(i)(t)đúng∀x(1), . . . ,x(q), ∀t ∈I vàe(qi) vớii= 1, . . . ,q. Khis=m ta kí hiệu fq = fqm, Fq = Fqm. 1.9.3 Định nghĩa. * Một tập hợp nx(1), . . . ,x(k) o , các hàm x(i) ∈CA1(I,Cm), i = 1, . . . ,k được gọi là tập nghiệm cơ bản của (1.9.1) nếu mỗix(i) là một nghiệm của (1.9.1) với i=1, . . . ,k, và span n x(1), . . . ,x(k) o =S hayimFk(x(1), . . . ,x(k)) =S. * Một tập hợp n φ(1), . . . ,φ(l) o các hàm φ(i) ∈C1 ∗A(I,Cm),
i = 1, . . . ,l, được gọi là tập nghiệm cơ bản của (1.9.3) nếu mỗi φ(i) là một nghiệm của (1.9.3) với i = 1, . . . ,l và span(φ(1), . . . ,φ(l)) = S∗ hay imFq(φ(1), . . . ,φ(l)) =S∗.
1.9.4 Định nghĩa.
* Một hàm Y : I → L(Ck,Cm) được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của (1.9.1) nếu Y = Fk(x(1), . . . ,x(k)) trong đó
n
x(1), . . . ,x(k)
o
là một tập nghiệm cơ bản của (1.9.1).
* Một hàm Φ :I → L(Cl,Cm) được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của (1.9.3) nếu Φ = Fq(φ(1), . . . ,φ(l)) trong đó nφ(1), . . . ,φ(l)
o
là một tập nghiệm cơ bản của (1.9.3).
1.9.5 Chú ý. Ta códimS= dimS∗ =r< m.
* Rõ ràng với k > m, l > m hoặc k< r, l < r thì việc sử dụng hệ nghiệm cơ bản là không hợp lý.
* Các tập nghiệm cơ bản xác định vớir≤ k≤m, r≤l ≤m. + Sự tính toán sẽ tiến hành thuận lợi nhất khik =m, l =m.
+ Nếu r < k ≤ m, r < l ≤ m thì tập nghiệm cơ bản gồm các nghiệm không độc lập tuyến tính. (Điều này ngược với phương trình vi phân thường và các phương trình liên hợp của chúng, khi A = I, r = m). Từ đó để định nghĩa các hệ nghiệm cơ bản điều kiện đủ là k = r, l = r. Bởi vậy ta nêu ra khái niệm hệ nghiệm cơ bản lớn nhất và hệ nghiệm cơ bản nhỏ nhất như sau:
1.9.6 Định nghĩa. Ta gọi những hệ nghiệm cơ bản Y và Φ là những hệ nghiệm cơ bản nhỏ nhất khik= r, l = r.
Ta gọi những hệ nghiệm cơ bảnY vàΦlà những hệ nghiệm cơ bản lớn nhất khik =m, l =m.
1.9.7 Chú ý. KhiY và Φ lần lượt là những hệ nghiệm cơ bản của (1.9.1), (1.9.3) thì Y ∈C1 A(I,L(Ck,Cm)) =Y ∈C(I,L(Ck,Cm)) :PY ∈C1(I,L(Ck,Cm)) Φ∈C1 ∗A(I,L(C1,Cm)) =Φ∈C(I,L(C1,Cm)):A∗Φ∈C1(I,L(C1,Cm)) tương ứng với các chỉ số k là l.
Ta nhắc lại rằng vớik≥r, sự tồn tại lý thuyết của hệ nghiệm cơ bản của (1.2.1) là tầm thường nhờ sự phân tích Cm = S(t)⊕kerA(t) và tính giải được duy nhất của bài toán giá trị ban đầu. Ta có bổ đề sau:
1.9.8 Bổ đề.Vớik≥r, luôn luôn tồn tạiY ∈C1
A(I,L(Ck,Cm))là hệ nghiệm cơ bản của (1.9.1).
Chứng minh. Ta xây dựng hệ nghiệm cơ bản bằng cách sử dụng sơ đồ như dưới đây.
Giả sử p(ki) ∈ C1(I,Cm),i = 1, . . . ,k là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu Lsz= 0 z(t0) = pˆ(ki) (1.9.5) trong đó Lsz = z0+ (PA1−1B0−P0)z, P = I−Qvới Q ∈C1(I,L(Cm,Cm))
là phép chiếu bất kỳ lên kerA,t0 ∈Ibất kỳ cố định,
n ˆ p(k1), . . . ,pˆ(kk) o bất kỳ cố định :span n ˆ p(k1), . . . ,pˆ(kk) o =imP(t0)(do k≥r). Khi đó cùng với phép chiếuQ∗ ∈C1(I,L(Cm,Cm)) bất kỳ lênkerA∗, ta có A1,A∗1 ∈C(I,L(Cm,Cm)) sao cho
A1 = A+B0Q, A∗1 = A∗(−B∗0)Q∗ = A∗(−B∗)Q∗ là những ma trận hàm khả nghịch. Đặt
Y =A∗−∗11A1Fk(p(k1), . . . ,pk(k))∈C(I,L(Ck,Cm)) (1.9.6) Ta chứng minh Y là hệ nghiệm cơ bản của (1.9.1) tức là ta phải chứng
minh (10):Y = Fk(x(1), . . . ,x(k)),x(i) là nghiệm của (2.1.1) (20):imY =S .
Trước hết ta chứng minh (10). Với mỗi i∈(1, . . . ,k), ta có bài toán giá
trị ban đầu Lsz=0 z(t0) = pˆ(ki)
trong đó pˆ(ki) ∈imP(t0) có nghiệm p(ki) ∈imP (theo kết luận 1.3.ii)
⇒Pp(ki) = pk(i) với ∀i= 1, . . . ,k. Mặt khác
A∗∗−11A1pk(i) = A∗−∗11A1Ppk(i) = A∗−∗11Apk(i) = Psp(ki)
⇒Ls(PA∗−∗11A1pk(i)) =Ls(PPspk(i)) =Ls(Pp(ki)) =Ls(p(ki)) =0. Lại có Qs(A∗−∗11A1pk(i)) =QsPsp(ki) = 0.
Do đó, theo phân rã phương trình (1.9.1) ta có A∗−∗11A1p(ki) là nghiệm của (1.9.1). Từ (1.9.6) suy ra
với các nghiệm A∗−∗11A1pk(i) của (1.2.1), i=1, . . . ,k. Bây giờ ta chứng minh (20). Ta có
Fk(p(k1), . . . ,p(kk)) =Fk(Ppk(1), . . . ,Pp(kk)) =PFk(p(k1), . . . ,p(kk)) ⇒A∗−∗11A1Fk(pk(1), . . . ,p(kk)) =A∗−∗11A1PFk(p(k1), . . . ,p(kk)) =PsFk(p(k1), . . . ,p(kk)) ⇒imY ⊂imPs =S(∗). Mặt khác do A∗−∗11,A1 khả nghịch, span(pˆk(1), . . . ,pˆ(kk)) =imP(t0) và dimimP(t0) =r nên ta có dimimY =dimim(A∗−∗11A1Fk(p(k1), . . . ,p(kk))) =dimimFk(p(k1), . . . ,p(kk)) = dimim fk(pˆ(k1), . . . ,pˆ(kk)) =dimspan(pˆ(k1), . . . ,pˆ(kk)) =dimimP(t0) =r ⇒dimimY =r= dimS (∗∗)
VậyY là một hệ nghiệm cơ bản của (1.9.1), khi đó
PY = PPsFk(p(k1), . . . ,p(kk)) =Fk(pk(1), . . . ,p(kk))∈C1(I,L(Ck,Cm)) ⇒Y ∈C1A(I,L(Cm,Cm)).
1.9.9 Bổ đề. Với l ≥ r, luôn tồn tại Φ ∈C1∗A(I,L(Cm,Cm)) là hệ nghiệm cơ bản của phương trình liên hợp (1.9.3).
Chứng minh. Giả sử p(∗li) ∈C1(I,Cm), i= 1, . . . ,l là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
L∗sω = 0 ω(t0) = pˆ(∗li) (1.9.7) trong đóL∗sω =ω0−(B0A∗−1 1P∗−P∗0)ω, P=I−Q vớiQ∈C1(I,L(Cm,Cm))
là phép chiếu bất kỳ lên kerA,t0 ∈I bất kỳ cố định ,
n ˆ p(∗11), . . . ,pˆ(∗ll) o bất kỳ cố định : span n ˆ p(∗11), . . . ,pˆ(∗ll) o = imP∗(t0)
Đặt
φ =A∗−1 1P∗F1(p(∗l1), . . . ,p∗l(l))∈C(I,L(Cl,Cm)) (1.9.8) Ta chứng minh Φlà hệ nghiệm cơ bản của (1.9.3)
⇔chứng minh 10 :Φ=F1(φ(1), . . . ,φ(l)) 20 :imΦ= S∗ vớiφ(i),(i=1, . . . ,l)là nghiệm của (1.3.1). Trước hết ta chứng minh 10. Ta có
A∗−1 1P∗ = A∗−1 1(PP˜)∗ =A∗−1 1P˜∗P∗ = A∗−1 1A∗A+∗P∗ =P∗sA+∗P∗ (trong đóP˜ là phép chiếu trực giao lênimA∗ dọc kerA,P˜ =A+A)
⇒A∗−1 1P∗p(∗li) =P∗sA+∗P∗p(∗li).
Do p(∗li) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.9.9) nên theo chứng minh của Bổ đề 1.7.1 ta có A∗−1 1P∗p(∗li) = P∗sA+∗P∗p(∗li) là nghiệm của phương trình (1.9.3).
⇒ Φ =A∗−1P∗Fl(p(∗l1), . . . ,p(∗ll))
=F1(A∗−1 1P∗p∗l(1), . . . ,A∗−1 1P∗p(∗ll))
vớiA∗−1 1P∗p(∗li) là nghiệm của phương trình (1.9.3). Bây giờ ta chứng minh 20. Ta có
Φ=A∗−1 1P∗F1(p∗l(1), . . . ,p(∗ll)) = P∗sA+∗P∗F1(p(∗l1), . . . ,p(∗ll))∈imP∗s = S∗ ⇒imΦ⊂S∗. Mặt khác do dimimA∗−1 1 = m và Span n ˆ p(∗l1), . . . ,pˆ(∗ll) o = imP∗(t0)nên
dimimΦ = dimimA∗−1 1P∗F1(p(∗l1), . . . ,p∗l(l)) =dimimP∗F1(p∗l(1), . . . ,p(∗ll)) = dimimF1(P∗p∗l(1), . . . ,P∗p(∗ll)) =dimim fl(P∗pˆ(∗l1), . . . ,P∗pˆ(∗ll)) = dimspan n ˆ p(∗l1), . . . ,pˆ(∗ll) o = dimimP∗(t0) =r= dimS∗ ⇒ imΦ= S∗
Hơn nữa
A∗Φ=A∗A∗−1 1P∗F1(p(∗l1), . . . ,p(∗ll)) =P∗Fl(p(∗l1), . . . ,p(∗ll))∈C1(I,L(Cl,Cm)) ⇒Φ∈C1∗A(I,L(Cl,Cm))