1.10.1 Định lý. Đối với mỗi cặp hệ nghiệm cơ bản nhỏ nhất bất kỳY(1),Y(2)
của phương trình vi phân đại số chỉ số 1 thuần nhất (1.2.1), tồn tại một ma trận hằng T ∈L(Cr,Cr) sao choY(2) =Y(1)T vàT khả nghịch.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh vớiY(1),Y(2) xác định như sau: +)Y(1) = A∗−∗11A1Fr(p(r1), . . . ,p(rr))xây dựng như trong Bổ đề 1.8.8 (k≥r) trong đót0 ∈I,npˆr(1), . . . ,pˆ(rr)obất kỳ cố định sao cho
span n ˆ p(r1), . . . ,pˆ(rr) o =imP(t0). +)Y(2) là hệ nghiệm cơ bản nhỏ nhất bất kỳ.
Thật vậy, nếu Y(1),Y(2) là hai nghiệm nhỏ nhất bất kỳ của (1.2.1) và Y = A∗−∗11A1Fr(pr(1), . . . ,p(rr)) như đã xây dựng trong Bổ đề 1.9.8 thìY =
Y(1)T1,Y(2)=Y T2⇒Y(2)=Y(1)T1T2=Y(1)T vớiT =T1T2.T1,T2∈L(Cr,Cr)
khả nghịch ⇒ T ∈ L(Cr,Cr). Ta có thể giả sử rằng với t ∈ I :Y(1)(t)6=
Y(2)(t). Thật vậy, nếu tồn tại t0 nào đó sao choY(1)(t0) =Y(2)(t0) =Y(0) thì theo tính chất duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
A(Px)0+ (B−AP0)x=q Y(t0) =Y(0) ⇒Y(1)(t) =Y(2)(t). Khi đó lấy T = Ir, rõ ràngT khả nghịch.
Theo định nghĩa ta có imY(2)(t) =S(t) =imY(1)(t)vớit ∈I ⇒imY(2)(t0) =S(t0) =imY(1)(t0)vớit =t0. Do đó, vớint(i)
o
t(i) ∈Cr,∀i= 1, . . . ,r ta có Y(2)(t0)e(ri) =Y(1)(t0)t(i) =A∗−∗11(t0)A1(t0)Fr(pr(1), . . . ,p(rr))(t0)t(i) =A∗−∗11(t0)A1(t0)fr(pˆ(r1), . . . ,pˆr(r))t(i) =A∗−∗11(t0)A1(t0)fr(pˆ(r1), . . . ,pˆ(rr))fr(t(1), . . . ,t(r))e(ri) ⇒Y(2)(t0) =A∗∗−11(t0)A1(t0)PT,ˆ ∀i= 1, . . . ,r với P= fr(pˆr(1), . . . ,pˆ(rr)), T = fr(t(1), . . . ,t(r)) ⇒Y(2)(t0) =A∗∗−11(t0)A1(t0)PTˆ
Bây giờ ta xét một hệ nghiệm cơ bản nhỏ nhấtY của (1.2.1) theo cách xây dựng trong Bổ đề 1.9.8, thay PTˆ cho P. Khi đó ta đượcˆ
Y =A∗−∗11A1Fr(pr(1), . . . ,p(rr))T =Y(1)T, và
Y(t0) =A∗−∗11(t0)A1(t0)Fr(p(r1), . . . ,pr(r))(t0)T =A∗−∗11(t0)A1(t0)PTˆ =Y(2)(t0)
Theo định lí tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (1.2.1) ta được Y(2) =Y hayY(2) =Y(1)T trong đó T ∈L(Cr,Cr) vàT khả nghịch vì nếu rankT < r thì dimimY(2)(t)< r, điều này mâu thuẫn với giả thiết Y(2) là hệ nghiệm cơ bản của (1.2.1).
1.10.2 Bổ đề.
Cho Y ∈ C1A(I,L(Ck,Cm)) là một hệ nghiệm cơ bản bất kỳ,Ym là một hệ nghiệm cơ bản nhỏ nhất bất kỳ của phương trình (1.2.1). Khi đó tồn tại duy nhấtW ∈L(Ck,Cr)sao choY =YmW, dimimW =r.
Chứng minh.
Không mất tính tổng quát ta giả sửYm =A∗−∗11A1Fr(p(r1), . . . ,p(rr)) trong Định lý 1.9.1 ta cóY(t0) =A∗−∗11(t0)A1(t0)PWˆ vớiW ∈L(Ck,Cr)và
dimimW = r vì nếu dimimW <r thì dimimY(t0)<r, dẫn đến mâu thuẫn.
Việc chứng minh được hoàn thành khi ta xây dựng hệ nghiệm cơ bản bộ trợY0 tương tự như trong Bổ đề 1.9.7 thay thếPˆ bởiPWˆ ta có
Y0 =A∗−∗11A1Fr(p(r1), . . . ,p(rr))W, Y0(t0) =A∗−∗11(t0)A1(t0)PWˆ =Y(t0) ⇒Y =Y0.
VậyY =Y0 =YmW, dimimW =r.
1.10.3 Bổ đề. ChoY ∈CA1(I,L(Ck,Cm)) là một hệ nghiệm cơ bản bất kỳ,
Ym là một hệ nghiệm cơ bản nhỏ nhất bất kỳ của phương trình (1.2.1). Khi đó tồn tạiV ∈L(Cr,Ck)sao choYm =YV,dimimV = r.
Chứng minh.
Giả sửY = Fk(x(1), . . . ,x(k))với x(i) là nghiệm của (1.2.1),
i = 1, . . . ,k. Vì dimimY = r nên tồn tại một hoán vị σ = {i1, . . . ,ik} sao chonx(i1), . . . ,x(ir)o là một tập nghiệm cơ bản của (1.2.1).
Do k ≥ r ⇒ Fr(x(i1), . . . ,x(ir)) là một hệ nghiệm cơ bản nhỏ nhất của (1.2.1). Theo Định lý 1.10.1∃T ∈L(Cr,Cr)sao choYm=Fr(x(i1), . . . ,x(ir))T. Giả sử D ∈L(Cr,Ck) được định nghĩa bởi Der(j) = e(kij), j = 1, . . . ,r hay chính xác hơn ta viết D frr(er(1), . . . ,e(rr)) = frk(e(ki1), . . . ,e(kir)).
VậyY D frr(e(r1), . . . ,er(r))T =Ym. ĐặtV =D frr(e(r1), . . . ,er(r))T ∈L(Cr,Ck). Khi đóYm =YV và dimimV =r vì nếu dimimV < r thìdimimYm <r dẫn đến mâu thuẫn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1.10.4 Định lý.
Với hai hệ nghiệm cơ bản bất kỳY(1),Y(2) của phương trình vi phân đại số (1.2.1) trong đóY(1) ∈CA1(I,L(Ck1,Cm)),Y(2) ∈CA1(I,L(Ck2,Cm)), tồn
tạiR∈L(Ck2,Ck1)sao choY(2) =Y(1)Rvà dimimR= r.
Chứng minh.
Theo Bổ đề 1.10.2 và 1.10.3 ta cóY(2) =YmW =Y(1)VW trong đó Ym là hệ nghiệm cơ bản nhỏ nhất bất kỳ của (1.2.1),W ∈L(Ck2,Cr) sao cho
dimimW = r,V ∈L(Cr,Ck1)sao chodimimV =r.
Đặt R=VW ⇒R∈L(Ck2,Ck1): dimimR=r vàY(2) =Y(1)R. Đặc biệt khik1 = k2 =m ta có hệ quả:
1.10.5 Hệ quả. Với hai hệ nghiệm cơ bản lớn nhất Y(1),Y(2) của phương trình vi phân đại số (1.2.1), ∃R ∈ L(Cm,Cm) sao cho Y(2) = Y(1)R và
dimimR=r.
1.10.6 Định lý. Cho hai hệ nghiệm cơ bản bất kỳ Y ∈CA1(I,L(Ck,Cm)),
Φ ∈C∗A1 (I,L(Cl,Cm)) của phương trình (1.2.1) và phương trình (1.9.3). Khi đó ta có (ΦA∗Y)0 = 0 (1.10.1) Nói cách khác tồn tại Π∈L(Cl,Ck): ∀t ∈Ithì Φ∗(t)A(t)Y(t) =Π. Chứng minh. Ta có Φ∗AP0PY = Φ∗A(P0−PP0)Y = Φ∗AP0Y −Φ∗AP0Y =0 ⇒(Φ∗AY)0 = (Φ∗APY)0 = (Φ∗A)0PY +Φ∗A(PY)0 = Φ∗BPY −Φ∗A(PA1−1B0−P0)PY = Φ∗(B−APA−11B0)PY = Φ∗(B0+AP0−AA−11B0)PY = Φ∗(B0−AA−11B0)PY =Φ∗(I−AA−11)B0PY = Φ∗(I−P∗s∗)B0PY = (Φ∗Q∗s)B0PY =0.
Khi A(t) = I kết quả đạt được chính là đồng nhất thức Lagrange cho phương trình vi phân thường. Phương trình vi phân thường và phương trình liên hợp của nó có một số tính chất đặc biệt, đáng chú ý nhất là đồng nhất thức Lagrange. Ta biết rằng phương trình vi phân thường là trường hợp riêng của phương trình vi phân đại số (khidetA6= 0). Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 là trường hợp đơn giản nhất của phương trình vi phân đại số. Qua chương này ta thấy một số tính chất của phương trình vi phân thường và phương trình liên hợp của nó vẫn còn đúng đối với phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình liên hợp của nó.
Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 2 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ