1. Một số kiến thức cơ sở
Chấp Cánh Những Ước Mơ Bay Cao
---- -
---
Nếu | x | ≤ 1 thì có một số t với ;
2 2
t − −π π
∈ sao cho : sint =x và
một số y với y∈[ ]0;π sao cho x=cosy Nếu 0≤ ≤x 1 thì có một số t với 0;
2
t π
∈ sao cho : sint =x và một số y với 0;
2
y π
∈ sao cho x=cosy Với mỗi số thực x có ;
2 2
t∈ − π π
÷
sao cho : x=tant
Nếu x và y là hai số thực thỏa : x2+y2 =1 thì có một số t với
0≤ ≤t 2π sao cho x=sin ,t y=cost
Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :
Nếu | x | ≤ 1 thì đặt sint =x với ;
2 2
t − −π π
∈ hoặc x=cosy với
[ ]0;
y∈ π
Nếu 0≤ ≤x 1 thì đặt sint =x, với 0; 2
t π
∈ hoặc x=cosy, với
0;2 2
y π
∈
Nếu : x,y là hai số thực thỏa: x2+ y2 =1, thì đặt x=sin ,t y=cost
với 0≤ ≤t 2π Nếu | x | ≥ a ta có thể đặt : sin a x t = , với ; 2 2 t∈ − π π ÷ , tương tự cho trường hợp khác. x là số thực bất kỳ thì đặt : tan , ; 2 2 x= t t∈ − π π ÷
Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ?
Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện x= f t( ) thì phải đảm bảo với mỗi x
có duy nhất một t và điều kiện trên để đảm bào điều này.
Chấp Cánh Những Ước Mơ Bay Cao
---- -
---
2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?
Từ công phương trình lượng giác đơn giản : cos3t =sint ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ.
Chú ý : cos3t =4cos3t−3cost ta có phương trình vô tỉ: 3 2
4x −3x= 1−x (*) Nếu thay x bằng 1
x ta lại có phương trình : 2 2 2
4 3− x =x x −1 (**) Nếu thay x trong phương trình (*) bởi (x−1) ta sẽ có phương trình vô tỉ
khó : 4x3−12x2+9x− =1 2x x− 2 (***)
Việc giải phương trình (**) và (***) không đơn giản chút nào.
Tương tự như vậy từ công thức sin 3x ; sin 4x ;… ta cũng xây dựng được những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác.
3. Ví dụ cơ sở
Giải phương trình sau :
2 ( )3 ( )3 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 3 3 x x x x − + − + − − = + Giải Điều kiện : | x | ≤ 1 Với x∈ −[ 1;0] thì ( )3 ( )3 1+x − 1−x ≤0
Phương trình đã cho vô nghiệm.
[0;1]x∈ ta đặt : cos , 0; x∈ ta đặt : cos , 0; 2 x= t t π ∈ . Khi đó phương trình trở thành :