Các chuỗi-m là các chuỗi có giá trị của các hàm tơng quan chéo tơng đối lớn, điều này là không có lợi đối với một số ứng dụng trong hệ thống đa truy nhập do tính gây nhiễu lẫn nhau giữa các ngời sử dụng. Do đó, các chuỗi PN có các đặc tính tơng quan chéo tuần hoàn tốt hơn chuỗi –m đã đợc Gold và Kasami phát triển. Các chuỗi này cũng có nguồn gốc là các chuỗi –m.
Gold và Kasami đã chứng minh đợc rằng các cặp chuỗi –m xác định có độ dài L sẽ có 3 giá trị của hàm tơng quan chéo {-1,-t(m), t(m)-2}với:
+ + = ++ chẵn n với lẻ n với 1 2 1 2 ) ( 2 / ) 2 ( 2 / ) 1 ( m m m t (1.35)
Ví dụ nếu m = 10 thì t(10) = 26+1 = 65 và ba giá trị có thể có của hàm tơng quan chéo là {-1, -65, 63}. Vì thế giá trị lớn nhất của hàm tơng quan chéo với cặp chuỗi m là 65, trong khi đỉnh của toàn tập 60 chuỗi hoạt động với thanh ghi dịch 10 trạng thái có kết nối hồi tiếp khác nhau là Rmax = 383 gấp khoảng 6 lần giá trị đỉnh. Hai chuỗi –m có độ dài L với hàm tơng quan chéo tuần hoàn lấy các giá trị {-1,-t(m), t(m)-2} đợc cho là các chuỗi a dùng hơn. Từ các cặp chuỗi u tiên này, các chuỗi Gold đợc xây dựng bằng cách lấy tập hai chuỗi a = [a1a2 ... an] và b = [b1b2... bn], ta tạo ra tập chuỗi có độ dài L bằng cách cộng modul 2 a với L chu kỳ dịch vòng của b. Từ đó ta có đợc chuỗi có chu kỳ mới với L=2m-1. Ta cũng có thể xét đến chuỗi gốc a và b và, vì thế, ta có tổng số chuỗi là n+2. n+2 chuỗi đợc tạo ra theo cách thức trên đợc gọi là chuỗi Gold.
Với trờng hợp ngoại lệ của các chuỗi a và b, bộ chuỗi Gold khộng bao gồm các chuỗi thanh ghi dịch có độ dài cực đại L. Vì thế, hàm tự tơng quan
của chúng không phải có hai giá trị. Gold đã chỉ ra rằng hàm tơng quan chéo cho mỗi cặp chuỗi từ tập n+2 chuỗi Gold có ba giá trị là {-1,-t(m), t(m)-2}. T- ơng tự, hàm tự tơng quan với giá trị đỉnh cũng lấy các giá trị từ tập {-1,-t(m), t(m)-2}. Vì thế các giá trị đỉnh của hàm tín hiệu tơng quan đợc giới hạn biên trên bởi t(m).
Dùng một cặp chuỗi –m đợc chọn lựa đặc biệt này tạo tổng modul 2 của hai chuỗi này đối với mỗi một trong L phiên bản dịch chu kì của một chuỗi với chuỗi kia. Đối vói L lớn và m là số lẻ thì giá trị cực đại của hàm tơng quan chéo giữa một cặp chuỗi Gold bất kì là Rmax = 2L. Đối với m chẵn, Rmax = L
.
Kasami đã mô tả một phơng pháp xây dựng các chuỗi PN bằng cách chiết một chuỗi –m. Trong phơng pháp của Kasami, mọi bit thứ (2m/2+1) của một chuỗi –m đợc chọn lấy. Phơng pháp xây dựng này thu đợc một tập nhỏ hơn các chuỗi PN so với các chuỗi Gold song giá trị tơng quan chéo cực đại của chúng là Rmax = L.
Việc so sánh giá trị đỉnh của hàm tơng quan chéo đối với các chuỗi Gold và các chuỗi Kasami là đáng quan tâm, bằng cách sử dụng một giới hạn chặn dới đã biết đối với giá trị tơng quan chéo cực đại giữa một cặp chuỗi nhị phân bất kì có độ dài L. Với một tập đã cho gồm N chuỗi có chu kì L, một giới hạn chặn dới đối với giá trị tơng quan chéo cực đại của chúng là:
1 1 max − − ≥ NL N L R (1.36)
Trong đó đối với các giá trị L, N lớn, xấp xỉ theo Rmax = L. Do đó, chúng ta thấy đợc rằng các chuỗi Kasami thoả mãn giới hạn chặn dới, và vậy chúng là tối u. Trong khi đó các chuỗi Gold với m lẻ thì có Rmax = L. Do vậy, chúng là kém tối u đôi chút.
Chuỗi Kasami: chuỗi Kasami cũng đợc tạo ra từ các chuỗi -m bằng cách lấy n = 2m - 1 bit của hai chuỗi a và b, tạo nên một bộ chuỗi bằng cách lấy tổng modul 2 các bit từ chuỗi a và các bit từ chuỗi b với 2m/2 - 2 lần dịch vòng chuỗi b. Nếu kể đến cả chuỗi a thì ta có một tập 2m/2 chuỗi có độ dài n = 2m - 1. Các chuỗi này có giá trị hàm tơng quan chéo cực đại đối với bất kì cặp chuỗi nào trong tập chuỗi là:
Rmax = 2m/2 + 1 (1.37)
Giá trị này thoả mãn giới hạn biên dới Welch, vì vậy chuối Kasami cũng là chuỗi tối u.
Bên cạnh các chuỗi nổi tiếng là Gold và Kasami, còn có một số loại chuỗi nhị phân khác cũng phù hợp cho các ứng dụng của CDMA.