Trong bài này bạn sẽ mô hình hóa chuyển động bị ảnh hưởng bởi trọng lực, xây dựng dựa trên việc làm của bạn trước đó với các phương trình bậc hai
2
0 o
y at= +v t s+
. Nhớ lại rằng a dựa trên gia tốc trọng trường ,vì vậy phương trình cũng có thể được viết là
2
0 0
1 2
y= − gt +v t s+
. Phương trình này mô phỏng sự thay đổi theo chiều cao của một vật thể rơi tự do. Nhớ lại rằng t đại diện cho thời gian, vo đại diện cho thành phần thẳng đứng của vận tốc ban đầu , và so đại diện cho chiều cao ban đầu . Một vài giá trị số cho lực hấp dẫn , g , được đưa ra dưới đây. Các giá trị tương ứng của a là bao nhiêu?
G Earth Moon Mars
m/s2 9.8 1.6 3.7 ft/s2 3.2 5.3 12 cm/s2 980 162 370 in/s2 384 64 144
Trong phần này, bạn chỉ xử lý các thành phần theo chiều dọc, chiều cao, của các đối tượng trong chuyển động của đạn. Bạn sẽ làm theo thành phần ngang , sử dụng phương trình tham số.
Ví dụ A
Một quả bóng lăn ra khỏi cuối của một cái bàn với vận tốc ngang là 1,5 ft/s . Bàn là cao 2.75 ft.
a . Phương trình mô tả x-vị trí hướng đi của quả bóng?
b . Viết một phương trình để mô hình vị trí thẳng đứng của quả bóng.
c . Nhập hai phương trình vào máy tính của bạn và vẽ đồ thị của chúng .Ở đâu và khi nào bóng bắt đầu xuất hiện và chạm vào sàn ? d . Giải phương trình đại số để tìm vị trí và thời điểm bóng chạm sàn.
LỜI GIẢI
Các thành phần thẳng đứng của chuyển động của quả bóng bị ảnh hưởng bởi lực hấp dẫn , trong khi các thành phần nằm
ngang là không .
a. Các thành phần nằm ngang của chuyển động được mô tả bởi. .Tổng quãng đường đi bằng vận tốc nhân với thời gian trôi qua .
b . Một phương trình của chiều cao là y = 32 · t2 + 0 · t + 2,75 . Ở đây, t là thời gian tính bằng giây, 32 là gia tốc trọng trường của trọng lực với đơn vị feet/s2, hệ số 0 chỉ ra rằng không có vận tốc ban đầu được định hướng lên hoặc xuống , và 2.75 là chiều cao ban đầu đơn vị feet.
c . Đồ thị các phương trình x = 1.5t và y = - 16t2 + 2.75 với
và t- bước 0.01 . Bóng chạm sàn nhà khi y = 0 . vẽ lại các biểu đồ để xấp xỉ khi điều này xảy ra . Đồ thị cho thấy bóng chạm sàn khoảng 0,41 s sau khi nó rời khỏi mép
bàn . Vào thời điểm đó là 0,62 ft từ một điểm ngay dưới mép của sàn. d . Bóng chạm sàn vào thời điểm mà y = 0 .Giải phương trình
0 = - 16t2 + 2.75 .
0 = - 16t2 + 2.75 phương trình ban đầu 16t² = 2.75 Thêm 16t2 cho cả hai vế..
Chia cả hai vế cho16 .
Lấy căn bậc hai của cả hai vế
Đánh giá.
Chỉ có đáp số dương thoả mãn trong trường hợp này , vì vậy bóng chạm mặt đất khoảng 0,41s . Để tìm vị trí bóng chạm sàn , thay thế 0,41 cho t vào phương trình tham số của x .
Bóng chạm đất ở khoảng cách nằm ngang khoảng 0,62 ft từ các mép của bàn.
Trong ví dụ A, chuyển động ban đầu chỉ theo một hướng ngang . Trong chương trước, bạn khám phá chuyển động đó chỉ theo một hướng thẳng đứng, như một vật thể rơi tự do
Sử dụng hàm lượng giác, bạn có thể mô hình chuyển động của tham số bắt đầu ở một góc, sử dụng kỹ thuật tương tự như trong bài trước.
Phương trình tham số của chuyển động của đạn
Bạn có thể mô phỏng chuyển động của tham số với các phương trình, trong đó x là một thước đo của vị trí nằm ngang , y là thước đo vị trí thẳng đứng, và t là một thước đo của thời gian.
x = v0tcosA + x0
44
Điểm
0 0( , )x y ( , )x y
là vị trí ban đầu tại thời điểm t = 0 ,
0
v
là vận tốc tại thời điểm t = 0, A là góc của chuyển động theo phương ngang , và g là gia tốc trọng trường .
Ví dụ B
Carolina đánh một quả bóng chày để nó di chuyến với tốc độ ban đầu là 120 ft / s và ở một góc 30 ° trên mặt đất . Nếu vợt của cô ấy tiếp xúc với bóng ở độ cao 3 ft trên mặt đất thì bóng đi ngang bao xa trước khi nó chạm mặt đất ?
LỜI GIẢI
Vẽ một hình minh hoạ và viết phương trình cho thành phần x và y của chuyển động trên . 0 os30 120 x c t = 0 sin 30 120 y t = x = 120t cos 30° x = 120t sin 30°
Chuyển động ngang chỉ bị ảnh hưởng bởi tốc độ ban đầu và góc, do đó khoảng cách nằm ngang được mô hình hóa bởi x = 120t cos 30° .
Chuyển động theo chiều dọc cũng bị ảnh hưởng bởi lực hấp dẫn kéo bóng xuống . Trong trường hợp này, phương trình khoảng cách thẳng đứng là y = - 16t² +120t sin30° + 3 . So sánh phương trình này với một trong những phương trình được đưa ra trong khung trên trang trước. Chú ý các giá trị của bài toán này xuất hiện trong phương trình.
Để tìm thời điểm bóng chạm đất , ta tìm khi giá trị của y bằng 0 .
- 16t² +120t sin30° + 3 = 0 phương trình ban đầu - 16t² +120t(0.5) + 3 = 0 Đánh giá sin 30 ° . - 16t² + 60t + 3 = 0 nhân với . 2 60 60 4( 16)(3) 2( 16) t − ± − − = −
b=60, c =3 t ≈
-0,049 hoặc t ≈
3,799 Đánh giá.
Giá trị âm của t không thoả mãn , vì vậy chỉ lấy các gía trị dương. Bóng roi xuống mặt đất khoảng 3,8 giây sau khi đánh .
Để xác định bóng đã đi bao xa , thay thế giá trị t này vào phương trình tham số của x : x = 120 ( 3,799 ) cos 30 °
x ≈
395
Bóng sẽ di chuyển theo chiều ngang khoảng 395 ft
Trong việc nghiên cứu này , bạn sẽ mô phỏng một bóng rổ ném phạt . Đây là một trường hợp mà bạn phải xem xét chuyển động ở một góc
NÉM PHẠT TRONG BÓNG RỔ
( Dựa trên một hoạt động phát triển bởi Arne Engebretsen . )
Cầu thủ bóng rổ quyết định đến các góc độ và tốc độ bóng cần thiết để làm cho quả bóng rơi ở các vị trí khác nhau trên sân . Trong nghiên cứu này , bạn sẽ khám phá mối quan hệ giữa
các góc độ và tốc độ cần thiết để ném phạt thành công.
bước 1 :Thảo luận với lớp học của bạn hoặc lấy dữ liệu từ giáo viên của bạn về việc đo ném phạt. Bạn sẽ cần khoảng cách từ sàn đến vành rổ, khoảng cách ngang từ đường ném phạt đển rổ , đường kính của bóng, và chiều dài khung của giỏ đến rổ .
bước 2 :Vẽ một sơ đồ với các phép đo từ bước 1 , và phác họa con đường tượng trưng của một ném phạt thành công .
bước 3 :Bằng cách sử dụng ném phạt như nguồn gốc , (0, 0 ) , tọa độ của mặt trước và sau của vành rổ là bao nhieu? Vẽ hai điểm dữ liệu trong một cửa sổ đồ họa với 0≤x≤8,8 và 0≤y
≤12.4 .
bước 4 :Tạo ra một số dữ liệu hợp lý cho một ném bắn súng tự do . Bao gồm chiều cao của bóng lúc bắn ra ( y0) , đo góc lúc bắn ra (A) , và vận tốc ban đầu của quả bóng ( v0 ) .
bước 5 :Sử dụng dữ liệu của bạn ở bước 4, viết phương trình tham số, x = v t0 cos A và
2
0 0
16 sin
y= − t +v t A y+ , để làm theo mô hình một ném phạt . Sử dụng phương trình của bạn để mô phỏng một ném tự do trên máy tính của bạn .
bước 6 :Thử nghiệm với các giá trị khác nhau của y0 , A, và v0 cho đến khi bạn có thể mô phỏng một ném phạt thành công vào máy tính đồ họa của mình.
bước 7: Có phải chỉ có sự kết hợp của các giá trị đó sẽ dẫn đến một ném phạt thành công Nếu có, thì tại sao? Nếu không , khái quát hóa mô hình trong mối quan hệ giữa các biến ném phạt bóng rổ
Bài tập
Thực hành kỹ năng của bạn
1 . Chuyển động của một viên đạn được mô tả bởi phương trình
Trong các cuộc thi chó và đĩa , các dĩa nhựa là một viên đạn ( mặc dù nó cảng lại gió) và con chó khác. Mỗi vật thể có thành phần theo chiều ngang và chiều thẳng đứng trong
chuyển động của nó . x = - 50t cos 30 ° + 400 y = - 81t2 + 50t sin 30 ° + 700
a. Chuyển động này xảy ra trên trái đất ,Mặt trăng, hay sao Hoả? Các đơn vị được sử dụng trong bài toán này là gì? (Gợi ý : Hãy tìm giá trị g . )
b . Vị trí ban đầu là ở đâu? Bao gồm cả đơn vị trong câu trả lời của bạn .
c . Tại thời điểm t = 0 , đạn di chuyển theo hướng nào? ( lên, lên - bên phải , phải, xuống bên phải , xuống, xuống - trái , trái , hoặc lên - bên trái)
d . Vận tốc ban đầu bao nhiêu? Bao gồm cả đơn vị .
2 . Tìm vị trí của viên đạn tại các thời điểm đã cho trong chuyển động được mô tả bởi các phương trình:
x = - 50t cos 30 ° + 40 y = - 81t2 + 50t sin 30 ° + 60
a . 0 giây b . 1 giây c . 2 giây d . 4 giây
3 . Một quả bóng lăn ra khỏi các mép của một vách đá cao 12 m với tốc độ 2 m/s . a . Viết phương trình tham số để mô phỏng chuyển động này .
b . Những phương trình nào bạn phải giải để xác định thời điểm bóng chạm đất ? c . Quả bóng rơi xuống đất ở đâu và khi nào ?
d . Mô tả một cửa sổ đồ họa mà bạn có thể sử dụng để mô hình chuyển động này .
4 . Xem xét các kịch bản trong bài tập 3. Bóng sẽ rơi xuống mặt đất khi nào và nơi đâu nếu chuyển động xảy ra
a . Trên Mặt Trăng ? b . Trên sao Hỏa ?
Lý do và Áp dụng
5 .Các phương trình tham số mô phỏng chuyển động của một vật thể: x = 6t cos 52 °
y = - 4.9t2 + 6t sin 52 ° + 2
a . Đặt tên một cửa sổ đồ họa và một dãy các giá trị t cho phép bạn mô phỏng chuyển động .
b . Mô tả một kịch bản cho chuyển động của điều này . Bao gồm việc mô tả mỗi biến và số được liệt kê trong các phương trình tham số.
6 . Một quả bóng lăn ra khỏi một cái bàn cao 3 feet và chạm đất tại điểm 1,8 mét từ bàn. a. Mất bao lâu để làm bóng chạm tới sàn nhà ? Cho câu trả lời của bạn đến gần 1 phần trăm nhất của một giây .
b .Bóng di chuyển nhanh bao nhiêu khi nó rời khỏi bàn ? Cho câu trả lời của bạn vào gần trăm , và bao gồm cả đơn vị .
7 . Sự ứng dụng mục tiêu của người bắn cung là nhắm vào mục tiêu ở xa 70 m với đường kính 1,22 m . Các điểm mắt đen là 1,3 m so với mặt đất .Cô ấy giữ mức cung của mình ở độ cao 1,2 m và bắn một mũi tên với một vận tốc ban đầu 83 m / s .Paola Fantato của Ý giành huy chương vàng trong bắn cung trong trạng thái ngồi cá nhân của phụ nữ
a . Tìm phương trình mô phỏng chuyển động này ?
b . Cô ấy có đạt được mục tiêu không ? Nếu không , cô ay sẽ bỏ lỡ nó bao nhiêu?
c . Phạm vi góc độ cung thủ có thể giữ cây cung của mình uốn cong để ban ở đâu đó trên các mục tiêu là bao nhieu ?
d . Vận tốc ban đầu cần thiết để bắn trúng mục tiêu khi cô ấy giữ mức cung của mình ?
Bắn cung là một trong những môn thể thao lâu đời nhất mà ngày hôm nay vẫn còn thực hành .Bắn cung hiện đại đã trở thành một sự kiện Thế vận hội năm 1972. Cung thủ Olympic nhắm vào một mục tiêu 1,22 m, xa 70 m đường kính điểm mắt đen chỉ là 12,2 cm . Từ đó các cung thủ đứng, mục tiêu trông có kích thước giống như người đứng đầu của một đinh bấm để giữ chiều dài cánh tay. Bắn cung được sử dụng như một nguồn
khôi phục và sự tiêu khiển giải trí trên toàn thế giới.
8 .Có bao nhiêu bóng trong ví dụ B băng qua hàng rào cao 10 ft và xa 365 ft khi gió thổi hướng về phía Carolina với vận tốc 8 dặm / h ?
9 . Gonzo , “con người hoàn hảo” đã được bắn ra từ một khẩu pháo 10 ft với mặt đất ở tốc độ 40 m / s . Pháo nghiêng một góc 60 ° . Lưới của ông treo 5 ft trên mặt đất . Lưới của ông được định vị ở đâu để ông hạ cánh an toàn ?
10 . Một quả bóng golf lăn ra khỏi nấc thang 1 chuyến bay của 14 nấc thang với một vận tốc ngang 5 ft / s . mỗi bậc thang là cao 8 in và rộng 8 inch. Bóng bị bật lên đầu tiên ở nấc thang nào ?
Swedish -sinh sống Annika Sorenstam( b 1970) là thành viên Hiệp hội Golf chuyên nghiệp của các quý bà.
11 .Một vận động viên đánh được 7 quả gôn chếch lên một góc 380 và vận tốc ban đầu là 122ft/s
a. Viết phương trình tham số để mô phỏng đường đi của quả bóng.
b. Quả bóng đầu tiên đi được bao xa?
c. Nếu vận động viên đánh 9 quả gôn chếch một góc 460 với vận tốc ban đầu la 110ft/s thì đi được bao xa?
12 . Những đầu kim của một máy đánh nhịp đi trên một con đường mô hình hóa bằng các phương trình tham số
x = 0,7 sin t và y = .
a . Phác họa biểu đồ khi 0 ° t 360 ° . Mô tả chuyển động .
b . Khử các tham số , t , và viết phương trình đơn chỉ sử dụng x và y . Phác họa biểu đồ này.
c . So sánh hai đồ thị .
d . Viết lại các phương trình tham số để đồ thị là được chiếu trên trục x .
e . Phác họa biểu đồ khi 0 ° t 720 ° . sự thay đổi từ 360 ° đến 720 ° dẫn đến điều gì?
Ôn Tập
13 . Hai lực tác động đồng thời trên một quả bóng tai vị trí ( 4, 3 ) . Lực lượng đầu tiên truyền đạt một vận tốc 2,3 m / s về phía đông, và các lực lượng thứ hai truyền đạt một vận tốc 3,8 m / s ở phía bắc.
a .Nhập những phương trình tham số vào máy tính của bạn để mô phỏng các kết quả chuyển động của quả bóng.
Phác họa đồ thị của bạn , và cung cấp cho phương trình của bạn và cửa sổ đồ họa. b . Vận tốc của quả bóng là bao nhiêu? Bao gồm cả cường độ và hướng .
14 . Tìm chiều cao , chiều rộng , diện tích và khoảng cách xac định . a . tổng chiều cao của cây b . chiều rộng của hồ
c . diện tích của tam giác d . khoảng cách từ tàu đến ngọn hải đăng
15 . Tìm một phương trình đa thức bậc nhất với hệ số nguyên có nghiệm -3 và 1 3 2 − ÷
16 . Viết phương trình tham số và phương trình đơn chỉ có x và y cho hình elip ở bên phải .