a. Phép biến đổi tương đương
Trong đại số chúng ta quen dùng các hằng đẳng thức để biến đổi các biểu thức đại số về một dạng khác hằng đẳng với biểu thức ban đầu.
Tương tự như vậy, trong lôgic mệnh đề ta có thể dùng các đẳng thức kể trên để biến đổi công thức đã cho về một công thức dạng khác tương đương với công thức ban đầu.
Ví dụ. Rút gọn công thức: ((p q) (p q)) p (p q) ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ⇒ Ta có: p (q q) p (p q) p 1 p (p q) (p p) (p q) 0 (p q) (p q) ∧ ∨ ∧ ∨ ⇒ ≡ ∧ ∧ ∨ ⇒ ≡ ∧ ∨ ⇒ ≡ ∨ ⇒ ≡ ⇒ b. Dạng chuẩn tắc và sự biến đổi về dạng chuẩn tắc
- Tích sơ cấp: Ta gọi một hội của các mệnh đề hay phủ định của chúng là một tích sơ cấp. Khái niệm tích sơ cấp trong lôgic mệnh đề tương tự như khái niệm đơn thức trong đại số. - Dạng chuẩn tắc tuyển: Một công thức gọi là có dạng chuẩn tắc tuyển nếu nó biểu thị ở dạng tuyển của các tích sơ cấp,
Khái niệm dạng chuẩn tắc tuyển tương tự như khái niệm đa thức trong đại số.
- Biến đổi về dạng chuẩn tắc: Có thể dùng phép biến đổi tương đương để đưa một công thức bất kì về dạng chuẩn tắc bằng cách dùng đẳng thức biểu thị phép kéo theo theo phép tuyển và phép phủ định, sau đó sử dụng các tính chất của phép hội, tuyển, phủ định để biến đổi tiếp.
Ví dụ. Đưa công thức (p (p∧ ⇒q))⇒q về dạng chuẩn tắc. Ta có: (p (p q)) q (p (p q)) q ((p p) (p q)) q (0 (p q)) q (p q) q p q q (p q) q ∧ ⇒ ⇒ ≡ ∧ ∨ ⇒ ≡ ∧ ∨ ∧ ⇒ ≡ ∨ ∧ ⇒ ≡ ∧ ⇒ ≡ ∧ ∨ ≡ ∨ ∨ c. Phép đối ngẫu
28
Định nghĩa 6. Giả sử S(p, q, ..., r) là công thức chỉ chứa các phép toán , ,...∧ ∨ . Nếu trong công thức S(p, q, ..., r) ta thay phép ∧ bởi phép ∨ và ngược lại thay phép ∨bởi phép ∧ thì công thức mới nhận được sau phép thay thế đó gọi là công thức đối ngẫu của công thức S(p, q, ..., r) . Kí hiệu bởi S (p, q, ..., r)∗ .
- Phép biến đổi từ S(p, q, ..., r) sang S (p, q, ..., r)∗ gọi là phép đối ngẫu. - Ta cũng nói phép ∧ và phép ∨ là hai phép đối ngẫu nhau.
- Công thức đối ngẫu của công thức dạng chuẩn tắc tuyển gọi là công thức dạng chuẩn tắc hội.
Định lý 2. Giả sử S(p, q, ..., r) là công thức chỉ chứa các phép toán ∧ ∨ ¬, , . Khi đó ta có đẳng thức: S(p, q, ..., r) S (p, q, ..., r)∗
= .
Hệ quả. Nếu có S(p, q, ..., r) T(p, q, ..., r)≡ thì có đẳng thức:
S (p, q, ..., r) T (p, q, ..., r)∗ ∗
≡