Định nghĩa 10. Trong suy luận diễn dịch, nếu từ các tiên đề A1, A2,…, An ta rút ra kết luận B bằng cách vận dụng quy tắc suy luận tổng quát thì ta bảo B là một kết luận lôgic của các tiên đề A1, A2,…, An đều đúng thì ta gọi kết luận lôgic B là một kết luận chứng minh và gọi suy luận đó là một chứng minh.
Như vậy:
- Một kết luận chứng minh là một kết luận lôgic của những tiên đề đúng.
- Chứng minh một mệnh đề B là chỉ rõ rằng B là kết luận lôgic của các tiên đề đúng.
Ví dụ. Xét suy luận sau: Từ hai tiên đề
A1: Với mọi a, b ∈ℝ , nếu a = b thì a2 = b2 A2: –2 = 2
Rút ra kết luận B: (–2 )2 = 22 hay 4 = 4
Ta thấy đó là một suy luận kết hợp lôgic, nhưng không phải là một chứng minh, vì tiên đề A2 sai.
Kết cấu của chứng minh
Phân tích các chứng minh toán học ta thấy mỗi chứng minh gồm một số hữu hạn bước, mỗi bước là một suy luận diễn dịch trong đó ta vận dụng một quy tắc suy luận tổng quát.
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước suy luận thì chứng minh đó chính là một suy luận hợp lôgic với các tiên đề đúng.
33 1) Luận đề tức và mệnh đề cần phải chứng minh.
2) Luận cứ tức là mệnh đề được thừa nhận (định nghĩa, tiên đề, định lý, giả thiết) được lấy làm tiên đề trong mỗi suy luận.
3) Luận chứng, tức là những quy tắc suy luận tổng quát được vận dụng trong mỗi bước suy luận của chứng minh.
Các phương pháp chứng minh trong toán học.
Có nhiều phương pháp chứng minh. Dưới đây là một vài phương pháp chứng minh thông dụng nhất.
(i). Phương pháp chứng minh trực tiếp
Khi ta chứng minh mệnh đề B bằng cách vạch rõ B là kết luận lôgic của những tiên đề đúng A1, A2,…, An nghĩa là B là một kết luận chứng minh thì ta bảo là đã chứng minh trực tiếp mệnh đề B.
Ví dụ.
Ta xét chứng minh định lý sau trong sách giáo khoa phổ thông (Hình học 7) “Định lý – Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau”.
(ii). Phương pháp chứng minh bằng phản chứng
Cơ sở lôgic của phương pháp chứng minh bằng phản chứng là như sau: Muốn chứng minh mệnh đề p là đúng, ta giả thiết p là sai, tức là p là đúng. Sau đó chứng minh rằng p⇒q
là đúng và q là sai tức q là đúng (hoặc chỉ ra rằng q là mệnh đề đúng đã biết).
Từ đó, theo định nghĩa của phép kéo theo, q sai thì p sai, p sai thì p đúng (luật bài trung).
Ta cũng có thể rút ra kết luận p đúng bằng cách áp dụng quy tắc suy luận sau: , p q q p ⇒ (p q q) p ⇒
Chú ý. Các mệnh đề toán học cần phải chứng minh thường có dạng p⇒q. Vì vậy khi chứng minh mệnh đề p⇒qbằng phản chứng ta giả thiết p⇒qlà sai, tức p⇒qlà đúng hay p q∧ là đúng. Sau đó chứng minh rằng là đúng và r là đúng. Áp dụng quy tắc suy luận
, p q r r p q ∧ ⇒ ⇒ Ta rút ra kết luận p ⇒ q là đúng. Ví dụ. Chứng minh mệnh đề.
Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng phải cắt đường kia.
(iii). Phương pháp chứng minh bằng cách xét tất cả các trường hợp
Trong toán học để chứng minh mệnh đề nào đó là đúng, ta có thể xét nó trong tất cả các trường hợp có thể có.
Cơ sở lôgic của phương pháp này như sau (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập hữu hạn X = {a1, a2,…, an}
Ta phải chứng minh mệnh đề phổ dụng x XP x( ) ∈
34
Sau khi đã chứng minh được các mệnh đề P(a1), P(a2),…, P(an) là đúng, ta vận dụng quy tắc suy luận tổng quát: ( ). ( )... (1 2 ) ( ) n x X P a P a P a P x ∈ ∀ Ta kết luận mệnh đề x X∀∈ P(x) là đúng.
Ví dụ. Chứng minh rằng tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, nghĩa là chứng minh
mệnh đề:
n(n +1) (n + 2) ⋮ 3, với ∀ ∈n N
(iv). Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Giả sử P(n) là một tính chất nào đó liên quan đến số tự nhiên n, nói khác đi, P(n) là một mệnh đề xác định trên tập N các số tự nhiên.
Để chứng minh tính chất P(n) đúng với mọi số tự nhiên n, nghĩa là chứng minh mệnh đề phổ dụng sau đây là đúng ( ) n P n ∈ ∀ ℕ ,
người ta thường dùng phương pháp chứng minh quy nạp toán học. Cơ sở lôgic của phương pháp này là quy tắc suy luận tổng quát sau
1) ( ) (0), ( ) ( 1) ( ) n n P P k P k P n ∈ ∈ ⇒ + ∀ ∀ ℕ ℕ ; 2) ( ) 0 0 ( ), ( ) ( 1) ( ) n n n P n P k P k P n ∈ ≥ ⇒ + ∀ ∀ ℕ
Theo phương pháp chứng minh quy nạp toán học, để chứng minh mệnh đề ( )
n P n ∈ ∀ ℕ ta tiến hành theo ba bước sau
Bước 1 – Chứng minh P(0) là đúng.
Bước 2 – Giả sử P(k) là đúng, ta chứng minh P(k + 1) là đúng. Bước 3 – Kết luận P(n) đúng ∀ ∈n N Chú ý. Để chứng minh mệnh đề ( ) n P n ∈ ∀ ℕ là đúng nghĩa là P(n) đúng ∀n = n0, ở bước 1 ta chứng minh P(n0) là đúng. Ví dụ. Chứng minh rằng: 2n > n, ∀ ∈n N. *) Tài liệu học tập
[1]. Phan Hữu Chân (1977), Trần Lâm Hách, Nhập môn lý thuyết tập hợp và lôgic, NXB Giáo dục.
[2]. Ngô Thúc Lanh (1995), Đại số và số học, NXB Giáo dục.
35
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 2.1
Những câu nào trong các câu sau là mệnh đề? a) 2.3 = 6.
b) Với mọi số thực x, sinx 1.≤ c) (2 + 5).(3 + 7) = 100.
d) Tổng các góc trong một tam giác có bằng 1800 hay không? e) Tổng các góc trong một tam giác bằng 1800.
g) Tổng các góc trong một hình vuông bằng 1800.
2.2
Từ các mệnh đề p là: “ 2 = 3 ” ; q là: “ 2 < 3” , hãy thành lập các mệnh đề sau và tìm giá trị chân lý của nó? p, q, p q, p q, p∧ ∨ ⇒q, q⇒p, p⇔q. 2.3 Từ các mệnh đề: A: “ An học toán ”. T: “ Tâm học ngoại ngữ ”. K: “ Kim đọc báo ”. M: “ Minh thổi sáo ”. L: “ Lan đan len ”.
Hãy dùng ký hiệu của các phép toán lô gích để viết các mệnh đề dưới đây: a) Tâm học ngoại ngữ và Kim đọc báo.
b) Tâm học ngoại ngữ hoặc Minh thổi sáo.
c) Nếu Lan đan len thì Kim đọc báo và Minh thổi sáo.
d) Nếu An học toán hoặc Tâm học ngoại ngữ thì Minh không thổi sáo và Kim không đọc báo. e) Nếu An không học toán và Kim không đọc báo thì Lan đan len. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.4
Cho các mệnh đề:
p: “ Phương học giỏi ”. q: “ Quân ham chơi ”. r: “ Hương hay làm ”.
Phát biểu thành lời các mệnh đề sau:
p q ; p q ; p∧ ∨ ∧ q; r⇒q ; p⇒r; p⇒r ; q⇒p ; (p q)∧ ⇒r ; (p q) r ;∧ ∧
q⇒(p r) ; (r p)∧ ∨ ⇒q ; q⇒(p r).∧ Tìm giá trị chân lý của các mệnh đề trên biết p = 1; q = 0; r = 1.
2.5
Phát biểu thành lời các mệnh đề sau rồi tìm giá trị chân lý của nó, với ký hiệu: P(x) là “ x là số chẵn ”. T(x) là “ x là số lẻ ”. H(x) là “ x là bội của 6 ”. a) ( x∀ ∈N) [ P(x)∨ T(x)] e) ( x∀ ∈N) [ H(x)⇒P(x)] b) ( x∀ ∈N) [ P(x)∧ T(x)] f) ( x∀ ∈N) [ P(x)⇒H(x)] c) ( x∃ ∈N) [ P(x)∨ T(x)] g) ( x∀ ∈N) [ T(x)⇒H(x)]
36
d) ( x∃ ∈N) [ P(x) ∧T(x)] h) ( x∃ ∈N) [ H(x)⇒T(x)]
2.6
Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây. Chỉ ra tính đúng, sai của mệnh đề đó, ở đây R là tập hợp các số thực. a) ( x R) [ x∀ ∈ = −x ]. b) ( x R) [ x∃ ∈ = −x ]. c) ( x R) ( y R)(x y 10)∀ ∈ ∃ ∈ + = . d) ( x R) ( y R)(x y 10)∃ ∈ ∀ ∈ + = . e) ( x R) ( y R)(xy x)∀ ∈ ∃ ∈ = . g) ( x R) ( y R)(xy y)∀ ∈ ∃ ∈ = . h) ( y R) ( x R)(xy y)∃ ∈ ∀ ∈ = . 2.7
Hãy dùng ký hiệu lôgic để viết các mệnh đề sau rồi chỉ ra tính đúng sai của nó. a) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = x ”.
b) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = y ”.
c) “ Với mọi cặp số nguyên x, y tồn tại số nguyên z sao cho x + z = y ”.
2.8
Trong thời gian nghỉ tết, 4 sinh viên Anh, Bình, Phương , Cường được phân công trực trường, mỗi người một ngày từ 30 tháng chạp đến hết ngày 3 tháng giêng. Hãy lập bảng phân công cho họ biết rằng:
1). Cường và Phương không trực ngày thứ nhất (ngày 30 tháng chạp).
2). Nếu Cường trực ngày thứ hai hoặc Phương trực ngày thứ ba thì Bình trực ngày thứ tư. 3). Nếu Anh không trực ngày thứ ba thì Bình trực ngày thứ hai.
4). Nếu Anh hoặc Phương trực ngày thứ hai thì Cường trực ngày thứ tư.
5). Nếu Phương không trực ngày thứ tư thì Anh trực ngày thứ nhất và Cường trực ngày thứ ba.
2.9
Chứng minh các đẳng thức sau bằng hai cách (biến đổi đồng nhất và lập bảng giá trị chân lý). a) p⇒(q⇒r) p.q≡ ⇒r.
b) p⇒(q⇒r) q≡ ⇒(p⇒r). c) p.q.r∨ p.q.r ∨ q.r (p≡ ⇒q).r.
2.10
Dùng biến đổi đồng nhất, đưa các công thức sau về dạng đơn giản nhất có thể có được: a) (p q∨ ⇒p q).q∨ . b) p.q∨ (p⇒q).p. c) (p⇒q).(q⇒r)⇒(p⇒r). d) (p⇒q).(q⇒p). e) p.q.(p⇒q). f) (p⇒q) p q∨ ∨ . 2.11
Xác định xem trong số các câu sau đây câu nào là mệnh đề, câu nào là hàm mệnh đề? Trong trường hợp câu là hàm mệnh đề hãy tìm miền đúng của nó.
a) 20 = 1 b) x0 = 1 c) x2 ≥ 0
37 e) Đường thẳng x song song với đường thẳng y.
2.12 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề sau: a) ϕ (x): “ x là ước chung của 12 và 18”.
b) ψ (x): “ x và y là các số nguyên thoả mãn 2x + 6y = 5”. c) f(x,y): “x và y là các số thực thoả mãn x2 + y2 = 1”.
2.13
Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập hợp các số thực ℝ
a) 2x +1 > 5x b) x2 + 15x – 16 = 0 c) 3x2 + 2x – 1 > 0 d) 7x2 - 35x + 42 ≤ 0
2.14
Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập hợp các số tự nhiên ℕ
a) n chia hết cho 2 và cho 3 . b) n chia hết cho 5.
c) n chia cho 5 dư 3.
2.15
Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề xác định trên tập hợp các số thực ℝ
a) ϕ (x): “ 2x + 1> 0 ” b) ψ (x): “ 2x + 1≤ 0 . ”
c) ρ( x) : “ (x2 - 9x + 20 )( x- 8 ) = 0 ”
2.16.
Hãy phát biểu thành lời câu tương ứng với các hàm mệnh đề sau:
a) (P (x,y) ∧ Q(x,y ) ) ⇒ (P(x,z)), trong đó P(x,y) là: “x chia hết cho y”, còn Q(x,y) là: “y bằng z”.
b) ( P(x) ∧ Q(x) ) ⇒ r(x), trong đó: P(x) là: “x là số nguyên tố, Q(x) là: “x là số lẻ”, r(x) là: “ x chia hết cho 2”.
2.17
Hãy chứng minh các đẳng thức tập hợp sau đây: a) CX(Eϕ(x) ⇒ ψ(x) ) = Eϕ(x) ∧ ( )ψ x .
b) CX(Eϕ(x) ∧ ψ(x) ) = CX(Eϕ(x)) ∪ CX (Eψ(x) ). Trong đó ϕ(x), ψ(x) là các hàm mệnh đề xác định trên miền X.
2.18
Cho ϕ(x), ψ(x) là các hàm mệnh đề xác định trên X. Miền đúng của chúng cần phải có quan hệ thế nào để ϕ(x) ∧ ψ(x) nhận giá trị 1 khi:
a) Với x nào đó trong X.
b) Với tất cả các giá trị của X trong Eϕ(x)? c) Không với giá trị nào của x trong X? d) Với tất cả các giá trị của x trong Eϕ(x)?
38
Cho ϕ(x) và ψ(x) là các hàm mệnh đề xác định trên X. Miền đúng của chúng cần phải có quan hệ thế nào để ϕ(x) ⇒ ψ(x) nhận giá trị 1.
a) Với tất cả các giá trị của x trong X? b) Không với giá trị nào của x trong X?
2.20
Cho ϕ(x) và ψ(x) là các hàm mệnh đề xác định trên X. Ta định nghĩa hàm mệnh đề ϕ(x) ⇔ ψ(x) là:” ϕ(x) ⇒ ψ(x) và ψ(x) ⇒ ϕ(x)”. Chứng minh rằng Eϕ(x) ⇔ ψ(x)= X khi và chỉ khi Eϕ(x) = Eψ(x).
2.21 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho X={a; b; c}. Giả sử ϕ(x), ψ(x) là các hàm mệnh đề có miền đúng lần lượt là Eϕ(x) = {a}, Eψ(x) = {b}.
Từ các hàm mệnh đề ϕ(x), ψ(x) dùng các phép toán trên các hàm mệnh đề để lập hàm mệnh đề mới sao cho:
a) Miền đúng của hàm mệnh đề mới đó là {c} b) Miền đúng của hàm mệnh đề mới đó là {a,b} c) Miền đúng của hàm mệnh đề mới đó là φ d) Miền đúng của hàm mệnh đề mới đó là {a, c }
2.22
Hãy diễn đạt các mệnh đề sau bằng ngôn ngữ thông thường. Chỉ ra tính đúng sai của các mệnh đề đó: a) x R∀∈ ( x = – x) b) x R∈∃ ( x = – x) c) x R y R∀ ∃∈ ∈ ( x + y = 7) d) x R y R∈∃ ∀∈ ( x + y = 7) 2.23
Hỏi tương tự như trên với x, y, z là các đường thẳng tuỳ ý trong mặt phẳng và hàm mệnh đề ϕ(x,y) là ( x cắt y) a) x y ∀ ∃ ϕ(x, y) b) x y( (x,y)φ x//y) ∀∀ ⇒ c) x y( (x,y) (x//y))φ ∀∀ ∨ d)
x y( (x,y) (x//y))φ φ(x,y)
∀∀ ∨ ⇒
2.24
Hãy dùng các ký hiệu để viết các mệnh đề sau rồi chỉ ra tính đúng sai của các mệnh đề đó. a) Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y có yx = y.
b)Với mọi số thực x, y tồn tại số thực z sao cho x + z = y. c) Không tồn tại số hữu tỷ nào sao cho x2 = 2 ( hoặc x2 = 3).
2.25
Cho x, y, z là các số thực bất kỳ. Trước các hàm mệnh đề sau hãy đặt các lượng từ thích hợp có được mệnh đề đúng. a) (x + y)z = xz + yz. b) x + 1 > y. c) 2x + 3y = 5. d) (x – y) v (x > y) v (x < y). 2.26
39
Cho X = {a1, a2, …,an} là tập hợp có n phần tử. Chứng minh rằng nếu ϕ(x): X→ [0, 1] là một hàm mệnh đề xác định trên X thì có:
a)
x X∀ ϕ(x) = ϕ(a∈ 1) ∧ϕ (a2) ∧…∧ϕ(an). b)
x X∈∃ ϕ(x) = ϕ(a1) ∨ ϕ (a2) ∨…∨ ϕ(an). Hãy dùng các đẳng thức trên để chứng minh
c) x X x X (x) (x) φ φ ∈ ∈ ∀ ≡ ∃ d) x X x X(x) (x) φ φ ∈ ∈ ∃ ≡ ∀ 2.27
Xét tính đúng sai và nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau: a) ∃ n ∈ N, 2n+1 là số nguyên tố.
b) ∀x ∈ 3, x2 – x =1 > 0. c) ∃r ∈Q, 4r 2 – 1 = 0.
d) ∃ n ∈ N*, 1 + 2 + ... + n không chia hết cho 11.
2.28
Cho P(x) và Q(x) là hai vị từ xác định trên tập hợp số tự nhiên N với P(x): “x chia cho 3 dư 1”, Q(x):” x là số chẵn”.
Tìm miền đúng của P(x), Q(x), P(x) ∨ Q(x), P(n) ∧ Q(n), P(n) => Q(n) và ( )P x .
2.29
Dùng ký hiệu lô gic để biểu thị các vị từ sau: a) Nếu x > 5 thì tồn tại y để x + y = 5.
b) Với mọi a, nếu a ≠0 và tồn tại x1 để x1 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 suy ra nếu tồn tại x2 sao cho x1+ x2 = –b
a và x1x2 = c
a thì x2 cũng là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.30
Chứng minh các định lý sau bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5. b) Cho a+b < 2 thì một trong hai số phải nhỏ hơn 1.
c) Cho n là số tự nhiên, nếu 5n+4 là số lẻ thì n là số lẻ.
2.32
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học: a) 12+ 22+…+ n2 = n(n 1)(2n 1)
6
+ + , n∈N*. b) n3+ (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9, n∈N. c) 2n > 2n +1 với mọi số tự nhiên n ≥ 3.
2.33
Chứng minh có các nguyên tắc suy luận sau:
a) Quy tắc suy luận bắc cầu, quy tắc kết luận, quy tắc phản chứng. b) p r , q r
r
⇒ ⇒
40 c) p r , q r p q r ⇒ ⇒ ∨ ⇒ . d) p q , p r p q r ⇒ ⇒ ⇒ ∨ . 2.34
Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp quy nạp toán học:
a) 1 1 ... 1 1.2 2.3 ( 1) 1 n n n n + + + = + + , với mọi n ∈N và n ≥ 1. b) (1+a)n ≥ +1 na , a ≥ -1 và n ≥ 1 , n ∈N (Bất đẳng thức Becnuli) 2.35
Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng: a) Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau .
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1]. Phan Hữu Chân (1977), Trần Lâm Hách, Nhập môn lý thuyết tập hợp và lôgic, NXB Giáo
dục.
[2]. Ngô Thúc Lanh (1995), Đại số và số học, NXB Giáo dục.
[3]. Nguyễn Văn Ngọc (1994), Nhập môn lý thuyết tập hợp và lôgic toán, NXB ĐHSP Hà Nội. [4]. Vương Thụy (2001), Giáo trình tập hợp và lôgic , Đại học Sư phạm Hà Nội II.