a, Phép phủđịnh
Cho hàm mệnh (x)ϕ trên tập X. Phủ định của (x)ϕ kí hiệu là (x)ϕ đọc là: “không (x)
ϕ ”, là một hàm mệnh đề sao cho với cùng một giá trị của biến tử thì (x)ϕ và (x)ϕ là hai mệnh đề phủ định lẫn nhau.
Nói khác đi a X∀ ∈ , (a)ϕ và (a)ϕ là hai mệnh đề phủ định nhau. Điều đó có nghĩa là (a)ϕ
đúng khi và chỉ khi (a)ϕ sai và ngược lại.
- Như thế miền đúng của (x)ϕ là phần bù của miền đúng của hàm mệnh đề (x)ϕ đối với X:
(x) N (x)
(x)
Eϕ =X E− ϕ =C (Eϕ )
- Phủ định của hàm mệnh đề (x)ϕ xác định trên X là hàm mệnh đề trên X có miền đúng là phần bù đối với X của miền đúng của hàm mệnh đề (x)ϕ .
b, Phép hội
Cho ϕ( )x và ψ( )x là hai hàm mệnh đề xác định trên tập X. Hội của hai hàm mệnh đề (x)
ϕ , (x)ψ , kí hiệu bởi (x)ϕ ∧ψ(x), là hàm mệnh đề có miền đúng là giao của miền đúng của hàm mệnh đề (x)ϕ với miền đúng của hàm mệnh đề (x)ψ , tức là,
Eϕ(x)∧ψ(x) ≡Eϕ(x)∩Eψ(x)
c, Phép tuyển
Cho ϕ( )x và ψ( )x là hai hàm mệnh đề xác định trên tập X. Tuyển của hai mệnh đề (x)
ϕ , (x)ψ , ký hiệu là (x)ϕ ∨ψ(x), là hàm mệnh đề có miền đúng là hợp của miền đúng của hàm mệnh đề (x)ϕ với miền đúng của hàm mệnh đề (x)ψ , tức là,
( )x ( )x (x) ( )x
Eϕ ∨ψ =Eϕ ∪Eψ
d, Phép kéo theo
Cho ϕ( )x và ψ( )x là hai hàm mệnh đề xác định trên tập X. Kéo theo của hai hàm mệnh đề (x)ϕ , (x)ψ , ký hiệu là ϕ( )x ⇒ψ( )x , là một hàm mệnh đề có miền đúng là hợp của phần bù của miền đúng ϕ( )x với miền đúng của ψ( )x , tức là,
30
( )x ( )x X (x) ( )x
Eϕ ⇒ψ =C Eϕ ∪Eψ
e, Phép tương đương
Cho ϕ( )x và ψ( )x là hai hàm mệnh đề xác định trên tập X. Tương đương của hai hàm mệnh đề (x)ϕ , (x)ψ , là một hàm mệnh đề, ký hiệu là ϕ( )x ⇔ψ( )x , xác định trên X sao cho nó nhận giá trị 1 trên tập các phần tử a X∈ mà ϕ( )a =ψ( )a và nhận giá trị 0 trong các trường hợp còn lại, tức là, ( )x ( )x ( (x) ( )x ) X( (x) ( )x ) Eϕ ⇔ψ = Eϕ ∩Eψ ∪C Eϕ ∪Eψ 2.2.3. Lượng từ Định nghĩa 9. Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X a) x XP x( ) ∈
∀ (đọc là “với mọi x ∈X ta có P(x)”) là một mệnh đề đúng nếu EP(x) = X và sai trong trường hợp còn lại.
Ký hiệu ∀ (đọc là “với mọi” ) gọi là lượng từ toàn thể. b)
x XP x( )
∈∃ (đọc là “tồn tại” ) ít nhất một x ∈X sao cho P(x) là một mệnh đề đúng nếu
( )
P X
E ≠ ∅ và sai trong các trường hợp còn lại.
Ký hiệu∃ (đọc là “tồn tại”) gọi là lượng từ tồn tại
Chú ý. a) Mệnh đề x XP x( ) ∈ ∀ gọi là mệnh đề phổ dụng Theo định nghĩa ta có mệnh đề x XP x( ) ∈ ∀ là đúng khi và chỉ khi hàm mệnh đề P(x) là hằng số đúng trên X. b) Mệnh đề x XP x( ) ∈∃ gọi là mệnh đề tồn tại Theo định nghĩa ta có mệnh đề x XP x( ) ∈
∃ thực hiện được trên EP X( ) ≠ ∅. Trong đó các mệnh đề ( ) x XP x ∈ ∀ và x XP x( ) ∈
∃ biến tử x gọi là biến tử bị ràng buộc.
Ví dụ. 1) ( ) x XP x ∈ ∀ (x2 + 1> 0) là mệnh đề đúng. 2) x N∀∈ (n : 6) ⇔ (n :2 : 3) là mệnh đề đúng 3) x Q∈∃ (x2 = 2) là mệnh đề sai. 4) x R∈∃ (x2 = 2) là mệnh đề đúng.
2.2.4. Quy tắc suy luận trong lôgic vị từ
Lôgic vị từ là hệ lôgic mở rộng của lôgic mệnh đề. Vì vậy các quy tắc suy luận trong lôgic mệnh đề đều là quy tắc suy luận khác trong lôgic vị từ hay được vận dụng trong các chứng minh toán học
31 1) ( ) ( ) x X P x P a ∈ ∀ ; 2) ( ) ( ), ( ) ( ) x X P x Q x P a Q a ∈ ⇒ ∀
Ý nghĩa của nguyên tắc suy luận 1) là “Nếu P(x) đúng với mọi phần tử x ∈ X và a là một phần từ của X thì P(a) là đúng”.
Ví dụ. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ, 7 là số nguyên tố lớn hơn 2. Vậy 7 là số lẻ
Ý nghĩa của nguyên tắc suy luận 2) là “Nếu với mọi x∈X, P(x) ⇒ Q(x) là đúng và P(a) là đúng với phần tử a ∈ X thì Q(a) cũng là đúng”.
Ví dụ. Với mọi n N∈ nếu n | 6 thì n | 12, ta có 3 | 6 vậy 3 ∈12 .
2.3. Suy luận và chứng minh
Trong phần này, ta sẽ vận dụng lôgic mệnh đề và lôgic vị từ để phân tích các suy luận và chứng minh toán học trong môn toán ở trường phổ thông.
2.3.1. Suy luận
Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có. Những mệnh đề đã có gọi là những tiên để của suy luận. Mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận của suy luận.
Ví dụ. Từ hai tiên đề.
A1: Mọi số tận cùng bằng 5 đề chia hết cho 5. A2: Số 109255 có tận cùng bằng 5
rút ra kết luận
B: Số 109255 chia hết cho 5
Có hai kiểu suy luận: Suy luận diễn dịch (hay suy diễn) và suy luận nghe có lý (hay suy luận có lý)
1. Suy luận diễn dịch
Suy luận diễn dịch (hay suy diễn) là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát, xác
định rõ rằng nếu các tiên đề là đúng thì kết luận rút ra cũng phải đúng.
Ví dụ. Trở lại ví dụ đã nêu trong 3.1.1 ta thấy ta đã rút ra kết luận đúng B từ hai tiên đề đúng A1,
A2.
Tiên đề A1 có thể phát biểu cách khác:
“Với mọi x N∈ nếu x có tận cùng bằng 5 thì x chia hết cho 5” Ta ký hiệu
- Hàm mệnh đề “x có tận cùng bằng 5” bởi P(x). - Hàm mệnh đề “x chia hết cho 5” bởi Q(x).
Tiên đề A1 có dạng một mệnh đề phổ dụng: ( ) ( ) x X P x Q x ∈ ⇒ ∀ Tiên đề A2 có dạng P(109225) Kết luận B có dạng Q(109225)
Rõ ràng trong suy luận trên ta đã vận dụng quy tắc suy luận
( ) ( ) ( ) x X P x P a Q a ∈ ⇒ ∀ 2. Suy luận nghe có lý
32
Suy luận nghe có lý (hay suy luận có lý) là suy luận không theo một quy tắc suy luận tổng quát nào để từ những tiên đề đã có, rút ra được một kết luận xác định. Nếu các tiên đề đều đúng, thì kết luận rút ra không chắc chắn đúng, mà chỉ có tính chất dự đoán, giả thuyết. Trong toán học có hai kiểu suy luận nghe có lý thường dùng đó là:
- Phép quy nạp không hoàn toàn. - Phép tương tự.
Ví dụ. Từ các tiên đề
- Số 212 chia hết cho 4. - Số 124 chia hết cho 4. - Số 836 chia hết cho 4.
Ta rút ra kết luận: Mọi số (tự nhiên) có hai chữ số cuối cùng tạo thành một số chia hết cho 4 đều chia hết cho 4.
Đây là một suy luận quy nạp không hoàn toàn. Kết luận là một mệnh đề đúng, nhưng đó chỉ là một dự đoán.
Chú ý rằng, nếu từ 3 tiên đề trên ta rút ra kết luận “các số 212, 124, 836 chia hết cho 4” thì đó lại là một suy luận quy nạp hoàn toàn.
Ví dụ. Từ định lý trong hình học phẳng: “ Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ
ba thì chúng song song với nhau”.
Đây là một ví dụ về “phép suy luận bằng tương tự”.
Phép quy nạp không hoàn toàn (gọi tắt là quy nạp) và phép tương tự không được dùng để trình bày các lý thuyết toán học. Tuy nhiên, hai phép suy luận này lại có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình phát minh sáng tạo toán học vì chúng giúp cho việc nêu ra các dự đoán, giả thuyết.
2.3.2. Chứng minh
Định nghĩa 10. Trong suy luận diễn dịch, nếu từ các tiên đề A1, A2,…, An ta rút ra kết luận B bằng cách vận dụng quy tắc suy luận tổng quát thì ta bảo B là một kết luận lôgic của các tiên đề A1, A2,…, An đều đúng thì ta gọi kết luận lôgic B là một kết luận chứng minh và gọi suy luận đó là một chứng minh.
Như vậy:
- Một kết luận chứng minh là một kết luận lôgic của những tiên đề đúng.
- Chứng minh một mệnh đề B là chỉ rõ rằng B là kết luận lôgic của các tiên đề đúng.
Ví dụ. Xét suy luận sau: Từ hai tiên đề
A1: Với mọi a, b ∈ℝ , nếu a = b thì a2 = b2 A2: –2 = 2
Rút ra kết luận B: (–2 )2 = 22 hay 4 = 4
Ta thấy đó là một suy luận kết hợp lôgic, nhưng không phải là một chứng minh, vì tiên đề A2 sai.
Kết cấu của chứng minh
Phân tích các chứng minh toán học ta thấy mỗi chứng minh gồm một số hữu hạn bước, mỗi bước là một suy luận diễn dịch trong đó ta vận dụng một quy tắc suy luận tổng quát.
Trong trường hợp chứng minh chỉ gồm một bước suy luận thì chứng minh đó chính là một suy luận hợp lôgic với các tiên đề đúng.
33 1) Luận đề tức và mệnh đề cần phải chứng minh.
2) Luận cứ tức là mệnh đề được thừa nhận (định nghĩa, tiên đề, định lý, giả thiết) được lấy làm tiên đề trong mỗi suy luận.
3) Luận chứng, tức là những quy tắc suy luận tổng quát được vận dụng trong mỗi bước suy luận của chứng minh.
Các phương pháp chứng minh trong toán học.
Có nhiều phương pháp chứng minh. Dưới đây là một vài phương pháp chứng minh thông dụng nhất.
(i). Phương pháp chứng minh trực tiếp
Khi ta chứng minh mệnh đề B bằng cách vạch rõ B là kết luận lôgic của những tiên đề đúng A1, A2,…, An nghĩa là B là một kết luận chứng minh thì ta bảo là đã chứng minh trực tiếp mệnh đề B.
Ví dụ.
Ta xét chứng minh định lý sau trong sách giáo khoa phổ thông (Hình học 7) “Định lý – Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau”.
(ii). Phương pháp chứng minh bằng phản chứng
Cơ sở lôgic của phương pháp chứng minh bằng phản chứng là như sau: Muốn chứng minh mệnh đề p là đúng, ta giả thiết p là sai, tức là p là đúng. Sau đó chứng minh rằng p⇒q
là đúng và q là sai tức q là đúng (hoặc chỉ ra rằng q là mệnh đề đúng đã biết).
Từ đó, theo định nghĩa của phép kéo theo, q sai thì p sai, p sai thì p đúng (luật bài trung).
Ta cũng có thể rút ra kết luận p đúng bằng cách áp dụng quy tắc suy luận sau: , p q q p ⇒ (p q q) p ⇒
Chú ý. Các mệnh đề toán học cần phải chứng minh thường có dạng p⇒q. Vì vậy khi chứng minh mệnh đề p⇒qbằng phản chứng ta giả thiết p⇒qlà sai, tức p⇒qlà đúng hay p q∧ là đúng. Sau đó chứng minh rằng là đúng và r là đúng. Áp dụng quy tắc suy luận
, p q r r p q ∧ ⇒ ⇒ Ta rút ra kết luận p ⇒ q là đúng. Ví dụ. Chứng minh mệnh đề.
Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng phải cắt đường kia.
(iii). Phương pháp chứng minh bằng cách xét tất cả các trường hợp
Trong toán học để chứng minh mệnh đề nào đó là đúng, ta có thể xét nó trong tất cả các trường hợp có thể có.
Cơ sở lôgic của phương pháp này như sau
Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập hữu hạn X = {a1, a2,…, an}
Ta phải chứng minh mệnh đề phổ dụng x XP x( ) ∈
34
Sau khi đã chứng minh được các mệnh đề P(a1), P(a2),…, P(an) là đúng, ta vận dụng quy tắc suy luận tổng quát: ( ). ( )... (1 2 ) ( ) n x X P a P a P a P x ∈ ∀ Ta kết luận mệnh đề x X∀∈ P(x) là đúng.
Ví dụ. Chứng minh rằng tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, nghĩa là chứng minh
mệnh đề:
n(n +1) (n + 2) ⋮ 3, với ∀ ∈n N
(iv). Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Giả sử P(n) là một tính chất nào đó liên quan đến số tự nhiên n, nói khác đi, P(n) là một mệnh đề xác định trên tập N các số tự nhiên.
Để chứng minh tính chất P(n) đúng với mọi số tự nhiên n, nghĩa là chứng minh mệnh đề phổ dụng sau đây là đúng ( ) n P n ∈ ∀ ℕ ,
người ta thường dùng phương pháp chứng minh quy nạp toán học. Cơ sở lôgic của phương pháp này là quy tắc suy luận tổng quát sau
1) ( ) (0), ( ) ( 1) ( ) n n P P k P k P n ∈ ∈ ⇒ + ∀ ∀ ℕ ℕ ; 2) ( ) 0 0 ( ), ( ) ( 1) ( ) n n n P n P k P k P n ∈ ≥ ⇒ + ∀ ∀ ℕ
Theo phương pháp chứng minh quy nạp toán học, để chứng minh mệnh đề ( )
n P n ∈ ∀ ℕ ta tiến hành theo ba bước sau
Bước 1 – Chứng minh P(0) là đúng.
Bước 2 – Giả sử P(k) là đúng, ta chứng minh P(k + 1) là đúng. Bước 3 – Kết luận P(n) đúng ∀ ∈n N Chú ý. Để chứng minh mệnh đề ( ) n P n ∈ ∀ ℕ là đúng nghĩa là P(n) đúng ∀n = n0, ở bước 1 ta chứng minh P(n0) là đúng. Ví dụ. Chứng minh rằng: 2n > n, ∀ ∈n N. *) Tài liệu học tập
[1]. Phan Hữu Chân (1977), Trần Lâm Hách, Nhập môn lý thuyết tập hợp và lôgic, NXB Giáo dục.
[2]. Ngô Thúc Lanh (1995), Đại số và số học, NXB Giáo dục.
35
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 2.1
Những câu nào trong các câu sau là mệnh đề? a) 2.3 = 6.
b) Với mọi số thực x, sinx 1.≤ c) (2 + 5).(3 + 7) = 100.
d) Tổng các góc trong một tam giác có bằng 1800 hay không? e) Tổng các góc trong một tam giác bằng 1800.
g) Tổng các góc trong một hình vuông bằng 1800.
2.2
Từ các mệnh đề p là: “ 2 = 3 ” ; q là: “ 2 < 3” , hãy thành lập các mệnh đề sau và tìm giá trị chân lý của nó? p, q, p q, p q, p∧ ∨ ⇒q, q⇒p, p⇔q. 2.3 Từ các mệnh đề: A: “ An học toán ”. T: “ Tâm học ngoại ngữ ”. K: “ Kim đọc báo ”. M: “ Minh thổi sáo ”. L: “ Lan đan len ”.
Hãy dùng ký hiệu của các phép toán lô gích để viết các mệnh đề dưới đây: a) Tâm học ngoại ngữ và Kim đọc báo.
b) Tâm học ngoại ngữ hoặc Minh thổi sáo.
c) Nếu Lan đan len thì Kim đọc báo và Minh thổi sáo.
d) Nếu An học toán hoặc Tâm học ngoại ngữ thì Minh không thổi sáo và Kim không đọc báo. e) Nếu An không học toán và Kim không đọc báo thì Lan đan len.
2.4
Cho các mệnh đề:
p: “ Phương học giỏi ”. q: “ Quân ham chơi ”. r: “ Hương hay làm ”.
Phát biểu thành lời các mệnh đề sau:
p q ; p q ; p∧ ∨ ∧ q; r⇒q ; p⇒r; p⇒r ; q⇒p ; (p q)∧ ⇒r ; (p q) r ;∧ ∧
q⇒(p r) ; (r p)∧ ∨ ⇒q ; q⇒(p r).∧ Tìm giá trị chân lý của các mệnh đề trên biết p = 1; q = 0; r = 1.
2.5
Phát biểu thành lời các mệnh đề sau rồi tìm giá trị chân lý của nó, với ký hiệu: P(x) là “ x là số chẵn ”. T(x) là “ x là số lẻ ”. H(x) là “ x là bội của 6 ”. a) ( x∀ ∈N) [ P(x)∨ T(x)] e) ( x∀ ∈N) [ H(x)⇒P(x)] b) ( x∀ ∈N) [ P(x)∧ T(x)] f) ( x∀ ∈N) [ P(x)⇒H(x)] c) ( x∃ ∈N) [ P(x)∨ T(x)] g) ( x∀ ∈N) [ T(x)⇒H(x)]
36
d) ( x∃ ∈N) [ P(x) ∧T(x)] h) ( x∃ ∈N) [ H(x)⇒T(x)]
2.6
Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây. Chỉ ra tính đúng, sai của mệnh đề đó, ở đây R là tập hợp các số thực. a) ( x R) [ x∀ ∈ = −x ]. b) ( x R) [ x∃ ∈ = −x ]. c) ( x R) ( y R)(x y 10)∀ ∈ ∃ ∈ + = . d) ( x R) ( y R)(x y 10)∃ ∈ ∀ ∈ + = . e) ( x R) ( y R)(xy x)∀ ∈ ∃ ∈ = . g) ( x R) ( y R)(xy y)∀ ∈ ∃ ∈ = . h) ( y R) ( x R)(xy y)∃ ∈ ∀ ∈ = . 2.7
Hãy dùng ký hiệu lôgic để viết các mệnh đề sau rồi chỉ ra tính đúng sai của nó. a) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = x ”.
b) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = y ”.
c) “ Với mọi cặp số nguyên x, y tồn tại số nguyên z sao cho x + z = y ”.
2.8
Trong thời gian nghỉ tết, 4 sinh viên Anh, Bình, Phương , Cường được phân công trực trường, mỗi người một ngày từ 30 tháng chạp đến hết ngày 3 tháng giêng. Hãy lập bảng phân công cho họ biết rằng:
1). Cường và Phương không trực ngày thứ nhất (ngày 30 tháng chạp).
2). Nếu Cường trực ngày thứ hai hoặc Phương trực ngày thứ ba thì Bình trực ngày thứ tư. 3). Nếu Anh không trực ngày thứ ba thì Bình trực ngày thứ hai.
4). Nếu Anh hoặc Phương trực ngày thứ hai thì Cường trực ngày thứ tư.
5). Nếu Phương không trực ngày thứ tư thì Anh trực ngày thứ nhất và Cường trực ngày thứ ba.
2.9
Chứng minh các đẳng thức sau bằng hai cách (biến đổi đồng nhất và lập bảng giá trị chân lý). a) p⇒(q⇒r) p.q≡ ⇒r.
b) p⇒(q⇒r) q≡ ⇒(p⇒r). c) p.q.r∨ p.q.r ∨ q.r (p≡ ⇒q).r.
2.10
Dùng biến đổi đồng nhất, đưa các công thức sau về dạng đơn giản nhất có thể có được: a) (p q∨ ⇒p q).q∨ . b) p.q∨ (p⇒q).p. c) (p⇒q).(q⇒r)⇒(p⇒r). d) (p⇒q).(q⇒p). e) p.q.(p⇒q). f) (p⇒q) p q∨ ∨ . 2.11
Xác định xem trong số các câu sau đây câu nào là mệnh đề, câu nào là hàm mệnh đề? Trong