1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Đơn tử – còn gọi là Literal - là một mệnh đề đơn, hoặc là phủ định của một mệnh đềđơn.
Ví dụ, cho p là một mệnh đềđơn, khi đó p và ¬p là các literal.
Định nghĩa 2.2. Công thức dạng tuyển là công thức dạng X1∨ X2∨ … ∨ Xn, trong đó Xi với i = 1, 2, …, n, là literal.
Ví dụ, với p, q, r là các mệnh đềđơn thì các biểu thức sau đây là các công thức dạng tuyển :
p ∨ q & ¬ r, ¬p ∨¬ q ∨¬ r, ¬p ∨ q ∨¬r; các biểu thức sau đây không phải là công thức dạng tuyển :
¬(p & q) ∨ r, ¬p ∨¬(q ∨ r), …
Dạng tuyển còn được biểu thị dưới dạng tập hợp. Dạng tuyển X1 ∨ X2∨ … ∨ Xn khi đó được thay thế bằng tập hợp { X1, X2 , … , Xn}.
Khi n =0, công thức dạng tuyển X1∨ X2∨ … ∨ Xn được ký hiệu là , dạng tập hợp của nó là tập rỗng ∅, { }. , hay { } là mâu thuẫn logic.
Định lý 2.1. Mỗi tập công thức của logic mệnh đề đều có tập công thức dạng tuyển tương
đương.
Chúng ta chứng minh định lý vừa nêu trong mục tiếp theo, bằng cách nêu ra một quy trình biến đổi công thức A bất kỳ thành hội của một số công thức dạng tuyển, mỗi bước của quy trình đó đều biến đổi công thức thành một công thức hoặc một tập hợp công thức tương đương với công thức ban đầu (ta nói công thức A tương đương với tập hợp công thức Γ khi và chỉ khi A tương đương với công thức B, với B là hội của tất cả các công thức trong Γ).
1 Chính xác hơn thì đây là phương pháp cho phép kiểm tra xem có thể rút ra kết luận nhất định nào đó từ tập tiền đề cho trước hay không, và là phương pháp chứng minh định lý tự động. cho trước hay không, và là phương pháp chứng minh định lý tự động.
2. Quy trình INDO
Quy trình INDO là một quy trình gồm các bước I, N, D, O (được xác định dưới đây), giúp biến đổi công thức bất kỳ thành một hoặc một số công thức dạng tuyển.
I – loại bỏ phép kéo theo (Implication Out) :
A ⊃ B ⇒ ¬A ∨ B
N – Đưa dấu phủđịnh vào đứng trước các mệnh đềđơn (Negation In) : ¬¬ A ⇒ A
¬ (A & B) ⇒¬ A ∨¬ B ¬ (A ∨ B) ⇒ ¬ A & ¬ B
D – Đưa dấu tuyển vào sâu hơn dấu hội (Disjunctions in): A ∨ (B & C) ⇒ (A ∨ B) & (A ∨ C)
O – Loại bỏ dấu ∨ và & (Operators Out): A ∨ B ⇒ {A, B}
A & B ⇒ {A} ⇒ {B}
Nếu muốn biểu đạt công thức dạng tuyển dưới dạng X1∨ X2∨ … ∨ Xn thì ở bước O không cần lọai bỏ dấu hội &, còn dể biểu đạt dưới dạng tập hợp thì cần loại bỏ dấu &.
Ví dụ 1. (p ⊃ q) ∨ ((q & ¬ r ) ⊃ p) I: (¬ p ∨ q) ∨ (¬ (q& ¬ r) ∨ p) N: ((¬ p ∨ q) ∨ ((¬ q ∨¬¬ r) ∨ p) ((¬ p ∨ q) ∨ ((¬ q ∨ r) ∨ p) D: ¬ p ∨ q ∨¬ q ∨ r ∨ p O: {¬ p, q, ¬ q, r, p} Ví dụ 2. (p ⊃ q) & (¬ p ⊃ r) & ((p ∨ r) ⊃ s) I: (¬ p ∨ q) & (¬¬ p ∨ r) & (¬ (q ∨ r) ∨ s)) N: (¬ p ∨ q) & (p ∨ r) & (¬ (q ∨ r) ∨ s)) (¬ p ∨ q) & (p ∨ r) & ((¬ q & ¬ r) ∨ s) D: (¬ p ∨ q) & (p ∨ r) & ((¬ q ∨ s) & (¬ r ∨ s)) O: {¬ p, q}
{p , r} {¬ q, s} . {¬ r, s}.
II.Quy tắc hợp giải
C B C A B A ∨ ∨ ¬ ∨ , Từ các tiền đề ¬ A ∨ B và A ∨ C ta có thể rút ra kết luận B ∨ C. Kết luận này được gọi là resolvent. Trong trường hợp không có thành phần B và C thì được resolvent rỗng, ký hiệu bằng hình vuông nhỏ . Như vậy resolvent rỗng xuất hiện khi có hai tiền đề mâu thuẫn với nhau.
Ở phần logic nhập môn, ngòai quy tắc hợp giải nêu trên đây , chúng ta còn gặp các quy tắc :
¬A , A ¬A ∨ B, A ∨ B
B
Dễ thấy rằng thực ra các quy tắc này chỉ là các trường hợp riêng của quy tắc đã nêu trên kia mà thôi, nên ởđây chúng tôi không nêu chúng.
Sau đây là một số ví dụ áp dụng các quy tắc hợp giải.
Với dạng tập hợp, ta có quy tắc hợp giải chặt chẽ hơn, như sau : {ϕ1, ϕ2, … , ϕi , ϕ, ϕi+ 1, …, ϕn} {ψ1, ψ2, … , ψj ,¬ϕ, ψj+ 1, …, ψn} {ϕ1, ϕ2, … ϕn, ψ1, ψ2, … ψn} Ví dụ 1: từ 1. {p, ¬ q, r} 2. {p, q, s} rút ra 3. {p, r, s} Ví dụ 2: từ 1. {q} 2. {¬ q} rút ra 3. { } Lưu ý : từ {p, q} và {¬ p, ¬ q} không rút ra được { }.
Người ta sử dụng các quy tắc hợp giải để kiểm tra xem một tập hợp các công thức có mâu thuẫn hay không. Ngoài ra còn để xác định xem từ một tập các công thức cho trước có thể rút ra được một công thức nhất định nào đó hay không.
Ví dụ 1. p ∨ q ∨¬r, ¬q ∨¬s p ∨¬r ∨¬s
Ví dụ 2. ¬p∨ q ∨ r ¬q ∨ r ¬p ∨ r