aChương II HỢP GIẢI TRONG LOGIC MỆNH ĐỀ
V. Giản lược tiền đề
Các ví dụ hợp giải trên kia đã cho thấy có những tiền đề hòan tòan không cần đến trong quá trình đi đến resolvent rỗng. Lại có cả những tiền đề mà bất cứ nhánh hợp giải nào dùng đến chúng đều không thể đi đến resolvent rỗng. Những tiền đề như vậy hòan tòan không cần đến
ơ r u ∨ r ơ s ∨ r
u (n. cụt) ơs w ∨ s u ∨ s ơ q ∨ r w (n. cụt) u (n. cụt) ơ q p ∨ q
p ơ p
trong quá trình rút ra kết luận cần thiết, trái lại, chúng là cho quá trình đó trở nên khó khăn hơn.
Vì vậy nên lọai bỏ chúng trước khi tiến hành hợp giải. Trong mục này chúng ta xem xét một số trường hợp lược bỏ tiền đề như vậy.
Để cho đơn giản chúng ta giả định rằng tập hợp các tiền đề gồm các phần tử là công thức dạng tuyển.
1. Giản lược tiền đề là quy luật logic
Công thức dạng tuyển là quy luật logic nếu nó chứa cặp đơn tử trái ngược nhau, chẳng hạn như p và ơp.
Vớ dụ : p ∨ q ∨ ơp; p ∨ q ∨ ơ q ơ r; ơp ∨ ơr ∨ q ∨ r ∨ ơq; s∨ ơs;
Đều là các quy luật logic.
Cho một tập hợp tiền đề S, giản lược hết tất cả các tiền đề là quy luật logic ta được tập S’. Dễ thấy rằng tập S mâu thuẫn khi và chỉ khi tập S’ mâu thuẫn. Để chứng minh điều này chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu với các tiền đề có trong S chúng ta có thể rút ra dạng tuyển rỗng thì khi bỏ bớt đi mộ tiền đề là quy luật logic ta vẫn rút ra được dạng tuyển rỗng. Thật vậy, nếu để rút ra lỳc đầu đó khụng cần đến tiền đề p ∨ ơp ∨ A (trong đú A là một cụng thức dạng tuyển) thỡ việc lọai bỏ nó hiển nhiên không ảnh hưởng gì đến việc rút ra . Ta xét trường hợp lúc đầu để rút ra đó dựng đến tiền đề chứa p ∨ ơp ∨ A. Bấy giờ, để đi đến ta phải triệt tiờu được p và ơp. Điều này chỉ cú thể thực hiện được nếu trong S cú tiền đề nào đú chứa ơp và tiền đề chứa p. Khi ỏp dụng quy tắc hợp giải để lọai bỏ cỏc đơn tử p và ơp trong quy luật logic đang đề cập với cỏc tiền đề này, ta được công thức A ∨ B ∨ C. Nhưng nếu áp dụng quy tắc hợp giải với cặp tiền đề p ∨ B và ơp ∨ C thỡ ta được cụng thức B ∨ C. Rừ ràng là nếu từ tiền đề A ∨ B ∨ C cú thể đi đến thỡ từ B ∨ C cũng có thể đi đến được (bằng cách bỏ bớt các bước áp dụng quy tắc hợp giải để loại bỏ A). Như vậy cả tiền đề p ∨ ơp ∨ A cũng khụng cần thiết để rỳt ra dạng tuyển rỗng . Như vậy, ta đã chứng minh được định lý sau :
Định lý 2.2. Cho một tập hợp tiền đề S, tập S* là kết quả giản lược hết tất cả các tiền đề là quy luật logic trong S, khi đó S mâu thuẫn khi và chỉ khi S* mâu thuẫn.
Hệ quả 2.3. có thể giản lược các tiền đề là quy luật logic.
2. Giản lược tiền đề một chiều
Cho tập tiền đề S. Nếu một đơn tử, chẳng hạn p (hay ơp), xuất hiện trong S, mà trong S khụng cú đơn tử ơ p (hay p), thỡ đơn tử p được gọi là đơn tử một chiều trong S. Tiền đề một chiều trong S là tiền đề chứa đơn tử một chiều trong S (từ đây về sau, ở những chỗ không sợ nhầm lẫn chúng tôi sẽ gọi ngắn gọn là đơn tử một chiều và tiền đề một chiều).
Vớ dụ : Cho S = {p ∨ q; ơ q ∨ r ∨ s; ơ s ∨ ơ p; r ∨ s ∨ q }
R là đơn tử một chiều, vỡ thế ơ q ∨ r ∨ s, r ∨ s ∨ q là cỏc tiền đề một chiều.
Nếu đơn tử p là một chiều thì nó không thể bị triệt tiêu trong hợp giải, và vì vậy các nhánh hợp giải chứa tiền đề một chiều cũng không thể dẫn đến , tức đều sẽ là nhánh thất bại. Như vậy tiền đề một chiều hòan tòan không giúp đi đến dạng tuyển rỗng . Điều này có nghĩa là ta đã chứng minh định lý sau đây:
Định lý 2.4. Cho một tập hợp tiền đề S, tập S* là kết quả giản lược hết tất cả các tiền đề một chiều trong S, khi đó S mâu thuẫn khi và chỉ khi S* mâu thuẫn.
Hệ quả 2.5. có thể giản lược các tiền đề một chiều.
3. Giản lược tiền đề yếu
Nếu trong tập S có tiền đề A thì tiền đề dạng A ∨ B trong S được gọi là tiền đề yếu trong S.
Vớ dụ : S = {p ∨ q ∨ r; p ∨ s ; s ∨ ơ q; q ∨ r}
p ∨ q ∨ r là tiền đề yếu trong S.
Với tiền đề yếu ta dễ dàng chứng minh được định lý sau đây:
Định lý 2.6. Gọi S* là kết quả việc lọai bỏ tòan bộ các tiền đề yếu của S. Khi đó S mâu thuẫn khi và chỉ khi S* mâu thuẫn. (Bạn đọc hãy tự chứng minh điều này).
Hệ quả 2.7. Có thể giản lược các tiền đề yếu.
Ví dụ: Xét xem có thể rút ra kết luận s từ tập hợp tiền đề sau đây không {ơ p ∨ q ∨ r, p ∨ s, q ∨ s, ơ r ∨ q, ơ q ∨ơ s ∨ p, r ∨ s ∨ơ r}
Giải: Thờm ơ s vào tập tiền đề đó cho, ta được tập hợp S
S = {ơ p ∨ q ∨ r, p ∨ s, q ∨ s, ơ r ∨ p, ơ q ∨ơ s ∨ p, r ∨ s ∨ơ r, ơ s}
Trong S ta thấy: r ∨ s ∨ơ r là quy luật logic, cú thể lược bỏ.
ơ q ∨ơ s ∨ p là tiền đề yếu, cú thể lược bỏ.
Sau khi lược bỏ hai tiền đề đã nêu, xuất hiện các tiền đề yếu:
ơ p ∨ q ∨ r và q ∨ s,
Sau khi lược bỏ hai tiền đề yếu đã nêu, xuất hiện các tiền đề yếu mới:
p ∨ s, và ơ r ∨ p
Lược bỏ cỏc tiền đề đú, tiền đề cuối cựng cũn lại, ơ s, cũng trở thành tiền đề yếu. Loại bỏ nú, tập hợp tiền đề bây giờ rỗng, tập hợp đó không mâu thuẫn.
Như vậy, không thể rút ra kết luận s từ tập hợp tiền đề đã cho.
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
1. Hãy đưa các công thức sau đây về dạng tuyển : a. p ⊃ (q & r)
b. (p ∨ q) ⊃ r
c. ((p ⊃ q) & (r ⊃ s)) ⊃ (s & r) d. (p ∨ q ∨ r) ⊃ ((ơ p & q) ⊃ơ r)
e. (r ∨ (p &q)) ⊃ ((p ⊃ơ q) & (r ⊃ơ p))
2. Hãy xác định và giản lược các tiền đề yếu, tiền đề một chiều, các quy luật logic trong các tập hợp tiền đề sau đây:
a. {p ∨ r, s ∨ơ r ∨ q, ơp ∨ s ∨ q, q ∨ s}
b. {p ∨ q ∨ơ r, s ∨ r, ơp ∨ s, ơ q ∨ s ∨ u, ơu}
c. {p ∨ q ∨ r, ơ r, s ∨ r, ơp ∨ s, ơ q ∨ s ∨ u, p}
d. {q ∨ s ∨ p, q ∨ơ p, p ∨ r ∨ơ s, s ∨ q ∨ơ s}
e. {p, q, ơ p ∨ q ∨ơ r, r ∨ s ∨ơ q, q ∨ p ∨ s, ơ p ∨ u, ơ q ∨ u , ơ u ∨ r, ơ u ∨ s }
3. Hãy xác định và giản lược các tiền đề yếu, tiền đề một chiều, các quy luật logic trong các tập hợp tiền đề sau đây:
a. {p ⊃ (q ∨ r), (r & s) ⊃ q, p ∨ q ∨ơ r, p ⊃ (ơ q ⊃ p)}
b. {(p ∨ q ∨ơ r) ⊃ u , s ∨ r, ơp ∨ u, q ⊃ u, s ⊃ u, ơu}
c. {p ⊃ r, q ⊃ r, ơ s ∨ w, ơ r ∨ s, q ∨ p ∨ s , ơ w } d. {p ⊃ r, q ⊃ r, s ∨ w, ơ r ∨ s, q ∨ p , ơ r ∨ w }
e. {p ⊃ (p ∨ q), q ⊃ r, q ⊃ s, (s ∨ r ∨ u) ⊃ q, ơ u ∨ r ∨ p, ơr ⊃ (q ∨ u)}
4. a. Cho tập hợp các tiền đề :
{p ∨ơ q ∨ơ r, p ⊃ s, w ⊃ s, r ∨ s, ơ s ⊃ q }
Từ tập tiền đề đã cho có thể rút ra kết luận s không ?
b. Cho cỏc tiền đề {p ∨ q ∨ ơ r, s ∨ r, ơp ∨ s, ơ q ∨ s ∨ u, ơu}. Hóy xỏc định xem từ tập tiền đề đã cho có thể rút ra kết luận u ∨ s hay không.
c. Cho cỏc tiền đề {(p & q) ⊃ r, ơ r, s ∨ r, ơp ∨ s, ơ q ∨ s ∨ u, p}. Hóy xỏc định xem từ tập tiền đề đó cho cú thể rỳt ra kết luận u ∨ ơ q hay khụng.
d. Cho cỏc tiền đề {(p ∨ q ∨ ơ r) ⊃ u , s ∨ r, ơp ∨ u, q ⊃ u, s ⊃ u, ơu}. Hóy xỏc định xem từ tập tiền đề đã cho có thể rút ra kết luận u hay không.
e. Cho cỏc tiền đề {(p & q) ⊃ r, ơ r & (s ∨ r), ơp & s, (ơ q ∨ s) ⊃ u, q}. Hóy xỏc định xem từ tập tiền đề đó cho cú thể rỳt ra kết luận u ∨ ơ q hay khụng.
f. Cho cỏc tiền đề {(p & q & ơ r) ⊃ (u ∨ r), s ∨ r ∨ ơp ∨ u, (q ⊃ u) &(s ⊃ u), ơu}. Hóy xác định xem từ tập tiền đề đã cho có thể rút ra kết luận u ∨ r hay không.