Tương tự như logic mệnh đề, người ta cũng lập nên các hệ tiên đề cho logic vị từ. Logic vị từ bao hàm toàn bộ logic mệnh đề. Điều đó có thể thấy rõ khi toàn bộ các tiên đề của logic mệnh đềđều là tiên đề của logic vị từ, quy tắc của logic mệnh đề
cũng là quy tắc của logic vị từ.
1. Các tiên đề và quy tắc
Với mọi công thức A, B, C, và biến x bất kỳ, các biểu thức A1, A2, A3 sau đây là tiên
đề của logic vị từ: A1. A ⊃ (B ⊃ A);
A2. (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C));
A3. (¬A ⊃¬ B) ⊃ ((¬A ⊃ B) ⊃ A);
A4. ∀x A(x) ⊃ A(t), với A(x) là công thức, t là hạn từ, tự do đối với x trong công thức A(x).
A5. ∀x (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃∀x B), nếu trong công thức A không có xuất hiện tự do của x. Các quy tắc: 1) B A B A MP ⊃ , (Modus ponens) 2) xA A Gen
∀ (Quy tắc tổng quát hóa)
Người ta thường ký hiệu quy tắc 1 là MP, và công thức 2 là Gen (từ từ tiếng Anh Generalization).
2. Chuỗi suy diễn, phép chứng minh
Các khái niệm này tương tự như trong logic mệnh đề. Cụ thể :
• Chuỗi suy diễn là một dãy hữu hạn các công thức kế tiếp nhau, trong đó mỗi công thức đều hoặc là một giả thiết òn gọi là tiền đề, tức là công thức cho trước), hoặc là một tiên đề, hoặc là nhận được từ các công thức đứng trước nó theo quy tắc MP hoặc Gen. Công thức cuối của chuỗi gọi là kết luận. Công thức kết luận là hệ quả
của các giả thiết có trong chuỗi.
• Phép chứng minh là chuỗi suy diễn trong đó không có giả thiết nào. Công thức cuối cùng của một phép chứng minh được gọi là định lý. Với một nghĩa rộng hơn, người ta cũng gọi chuỗi suy diễn như đã định nghĩa trên đây là một phép chứng
A
minh. Trong trường hợp đó ta có phép chứng minh cho khẳng định rằng từ các giả
thiết có trong suy chuỗi có thể rút ra được công thức kết luận của nó.
• Ta ký hiệu, - giống như trong logic mệnh đề - B1, B2, …, Bn |− A , là “công thức A là hệ quả của các công thức B1, B2, …, Bn”. có nghĩa là
A là định lý.
• Khi chứng minh được một định lý, ta có thể sử dụng nó trong các chuỗi suy diễn và phép chứng minh khác. Khi đó khái niệm chuỗi suy diễn được mở rộng như
sau : Chuỗi suy diễn là một dãy hữu hạn các công thức kế tiếp nhau, trong đó mỗi công thức đều hoặc là một giả thiết (tức là công thức cho trước), hoặc là một tiên
đề, hoặc là một định lý đã được chứng minh, hoặc là nhận được từ các công thức
đứng trước nó theo quy tắc MP hoặc Gen. Khái niệm phép chứng minh được mở
rộng tương ứng.
Ví dụ : dãy công thức sau đây là một chuỗi suy diễn
1. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) tiền đề
2. ∀x(Q(x) ⊃ R(x)) tiền đề
3. P(a) tiền đề
4. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ (P(a) ⊃ Q(a)) tiên đề
5. P(a) ⊃ Q(a) 1, 4, MP
6. Q(a) 3, 5, MP
7. ∀x(Q(x) ⊃ R(x)) ⊃ (Q(a) ⊃ R(a)) tiên đề
8. Q(a) ⊃ R(a) 2, 7, MP
9. R(a) 6, 8, MP
Chuỗi suy diễn trên đây có kết luận là công thức số 9 - R(a). Như vậy R(a) là hệ quả
của các công thức 1, 2,và 3. Chuỗi này không phải là một phép chứng minh, vì nó có các tiền đề.
Chứng minh các định lý trong hệ tiên đề của logic vị từ rất khó khăn. Rất may mắn là
định lý suy diễn mà chúng ta đã quen biết trong logic mệnh đề cũng đúng cho logic vị
từ, và với định lý này thì việc chứng minh các định lý trong hệ tiên đề của logic vị từ đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ, chứng minh ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ (∀x(Px) ⊃∀xQ(x)) 1. ∀x(P(x) ⊃Q(x)) giả thiết
2. ∀xP(x) giả thiết
3. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ (P(a) ⊃ Q(a)) tiên đề
4. P(a) ⊃ Q(a) 1, 3, MP
5. ∀xP(x) ⊃P(a) tiên đề
6. P(a) 2, 5, MP
7. Q(a) 4, 6, MP
Như vậy ta có
Áp dụng định lý suy diễn hai lần liên tiếp, ta được công thức cần chứng minh.
Trong hệ thống tiên đề trên đây chúng ta chỉ sử dụng các phép toán logic phủđịnh (¬)
và kéo theo (⊃) , và cũng chỉ sử dụng lượng từ ∀. Để cho thuận tiện, ta có thểđưa vào thêm các phép toán và lượng từ khác thông qua các định nghĩa:
A ∨ B = df ¬ A ⊃ B; A & B = df ¬ (A ⊃¬B); A ≡ B = df (A ⊃ B) & (B ⊃ A);
∃x A(x) = df ¬ (∀x ¬A(x));
3. Các tính chất cơ bản của hệ tiên đề logic vị từ
Người ta chứng minh được các định lý sau đây về logic vị từ (những định lý như vậy gọi là siêu định lý – Metatheorems, nhưng để cho đơn giản, trong trường hợp không lẫn lộn với các định lý của bản thân logic vị từ, ta sẽ gọi là định lý):
Định lý 3.2. Hệ logic vị từ không mâu thuẫn, nghĩa là không tồn tại công thức A sao cho vừa A, vừa ¬A là định lý trong hệ logic vị từ.
Định lý 3.3. Mọi định lý của logic vị từ đều là công thức hằng đúng. (Là công thức
đúng trong mọi interpretation). Và ngược lại, mọi công thức hằng đúng đều là định lý của logic vị từ. (Định lý về tính đủ).
Hệ quả 3.4. Công thức A đúng trong mọi model của hệ logic vị từ khi và chỉ khi A là
định lý của hệ.
Phép chứng minh của các định lý và hệ quả trên đây khá dài dòng và phức tạp, vì thế ởđây chúng tôi chỉ dẫn ra phép chứng minh định lý 3.1.
Bây giờ chúng ta bắt đầu phép chứng minh. Chúng tôi dẫn ra đây phép chứng minh ghi trong cuốn sách đã nêu trên của E. Mendelson. Với công thức A bất kỳ ta ký hiệu bằng h(A) biểu thức thu được bằng cách loại bỏ khỏi A tất cả các lượng từ và các hạn từ (cùng với các dấu ngoặc và dấu phẩy tương ứng). Ví dụ, h(∀x (P(x) ⊃ Q(x))) sẽ là P ⊃ Q, h(∃x A(x) ⊃ ¬B(x,y)) sẽ là A ⊃ ¬B. Về thực chất thì h(A) bao giờ cũng là một công thức của logic mệnh đề. Rõ ràng là h(¬A) = ¬ h(A) và h(A ⊃ B) = h(A) ⊃ h(B). Với mọi tiên đề A của logic vị từ, h(A) là công thức hằng đúng (quy luật logic) hiểu theo nghĩa của đại số mệnh đề. Điều này rõ ràng với 3 tiên đềđầu. Tiên đề thứ tư
là ∀(xi) A(xi) ⊃ A(t), vậy h(∀(xi) A(xi) ⊃ A(t)), bằng A ⊃ A. Rõ ràng là hằng đúng. Tiên đề 5 là ∀xi (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃∀xi B) nên h(∀xi (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃∀xi B) = (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ B), cũng là công thức hằng đúng. Cuối cùng, nếu h (A ⊃ B) và h(A) là công thức hằng đúng thì h (B) cũng là hằng đúng; và nếu h(A) là hằng đúng thì h(∀xi
A) cũng là hằng đúng, vì h(A) = h(∀xi A). Như vậy, nếu A là định lý của logic vị từ, thì h(A) là hằng đúng. Nếu như tồn tại công thức A sao cho cả A và ¬A đều là định lý thì h(A) là hằng đúng. Nếu như tồn tại công thức A sao cho cả A và ¬A đều là định lý của logic vị từ thì cả h(A) và h(¬A), tức là cả h(A) và ¬h(A) đều là hằng đúng. Điều
đó không thể có được. Như vậy, logic vị từ không mâu thuẫn. ∀x(P(x) ⊃ Q(x)), ∀xP(x) ∀xQ(x)
Nếu cùng với các tiên đề của logic vị từ ta còn đưa ra các tiên đề riêng khác thì ta
được một hệ gọi là hệ lý thuyết bậc1. Các lý thuyết như vậy là lý thuyết hình thức hóa, rất chặt chẽ, và có tác dụng lớn trong việc nghiên cứu tính không mâu thuẫn, tính
đầy đủ và cả các bài toán giải được trong lý thuyết đó của các lý thuyết. Điều này mở
ra những ứng dụng rộng rãi và rất hữu ích của logic vị từ.