chung cho mët hå húu h¤n ¡nh x¤ khæng gi¢n
2.1Thuªt to¡n l°p xoay váng
Ta x²t b i to¡n t¼m mët ph¦n tû
x∗ ∈ C := ∩Ni=1Ci, (2.1)
trong â N ≥ 1 l mët sè nguy¶n v méi Ci l tªp c¡c iºm b§t ëng
F(Ti) ={x ∈ E : x = Ti(x)} cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti : E →E, i = 1,2, ..., N.
º gi£i b i to¡n (2.1), trong [27] ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p l°p xoay váng
xn+1 = αn+1f(xn) + (1−αn+1)Tn+1xn, (2.2)
trong â x0 ∈ E l iºm ban ¦u, f : K → K l ¡nh x¤ co, Tn =
Tn(mod)N, αn l mët d¢y trong [0, 1] v P l mët Sunny co rót khæng gi¢n cõa E v o K. Ta câ k¸t qu£ sau.
ành lþ 2.1. [10] Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ v j l mët ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc li¶n töc v li¶n töc y¸u theo d¢y tø
E → E∗. Cho K l mët tªp con lçi âng cõa E v K l Sunny co rót khæng gi¢n cõa E vîi P l ¡nh x¤ Sunny co rót khæng gi¢n tø E v o
K. Cho f : K → K l mët ¡nh x¤ co vîi h¬ng sè co l 0 < β < 1 v Ti : E →E, i = 1,2, ...N, l c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tho£ m¢n (i) ∩N i=1(F(Ti)∩K) 6= ∅; (ii) ∩N i=1(F(Ti = F(T1TN...T2) = ...= TNTN−1...T1 = F(S), trong â S = TNTN−1...T1;
(iii) ¡nh x¤ S : K →E tho£ m¢n i·u ki»n inward y¸u.
Khi â, vîi x0 ∈ K b§t ký, {xn} l d¢y ÷ñc x¡c ành bði (2.1) còng c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc tho£ m¢n
(a) lim
n→∞αn = 0; (b) P∞
i=0
(c) P∞ i=0 | αn+1−αn |< ∞ ho°c lim n→∞ αn αn+1 = 1,
hëi tö m¤nh tîi mët iºm p ∈ ∩N
i=1(F(Ti)∩ K, l nghi»m duy nh§t cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
hp−f(p), j(p−u)i ≤ 0, ∀u ∈ ∩Ni=1(F(Ti)∩K).
N¸u E l khæng gian Hilbert v f(x) = u, th¼ (2.2 ) t÷ìng ÷ìng vîi:
xn+1 = αn+1u+ (1−αn+1)Tn+1xn,
¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði Bauschke [8] v o n«m 1996. Khi N = 1 v E l khæng gian Banach trìn ·u ho°c ph£n x¤ vîi t½nh li¶n töc y¸u theo d¢y cõa ¡nh x¤ j v K l mët tªp con lçi âng cõa E, T : E → E l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n, f : K →K l mët ¡nh x¤ co (2.2) t÷ìng ÷ìng vîi
xn+1 = αn+1f(xn) + (1−αn+1)T xn, (2.3)
÷ñc nghi¶n cùu bði Xu [29]. Thuªt to¡n (2.3) l mët k¸t qu£ mð rëng cõa Moudafi [18] trong khæng gian Hilbert. D¹ th§y n¸uT l ¡nh x¤ λ-gi£ co ch°t th¼ ¡nh x¤ A := I −T l accretive v Lipschitz vîi h¬ng sè Lips- chitzL = 1/λ. Do â, b i to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ khæng gi¢n t÷ìng ÷ìng vîi vi»c x¡c ành khæng iºm cõa ph÷ìng tr¼nh to¡n tû
A(x) = 0, (2.4)
vîi A l ¡nh x¤ accretive.
Khi A l m-accretive trong khæng gian Hilbert H, ngh¾a l A ìn i»u cüc ¤i, Rockafellar [22] ¢ x²t ph÷ìng ph¡p l°p
cnA(xn+1) +xn+1 = xn, x0 ∈ H, (2.5)
vîi cn > c0 > 0 v gåi l thuªt to¡n iºm g¦n k·. Mët c¥u häi °t ra l thuªt to¡n (2.5) câ luæn hëi tö m¤nh hay khæng? Gu¨ler [12] ¢ kh¯ng ành thuªt to¡n (2.5) khæng hëi tö m¤nh. º thu ÷ñc sü hëi tö m¤nh Solodov v Svater [25] ¢ k¸t hñp thuªt to¡n iºm g¦n k· vîi ph²p chi¸u
ìn l¶n giao cõa hai nûa khæng gian chùa tªp nghi»m. Hìn núa, Attouch v Alvarez [5] ¢ x²t mët mð rëng cõa thuªt to¡n (2.5) d¤ng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
cnA(un+1) +un+1 −un = γn(un −un−1), u0, u1 ∈ H, (2.6)
v gåi l thuªt to¡n iºm g¦n k· qu¡n t½nh, ð ¥y {cn} v {γn} l hai d¢y sè khæng ¥m. Moudafi [20], ¢ ¡p döng thuªt to¡n n y cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, Moudafi v Elisabeth [19] ¢ nghi¶n cùu thuªt to¡n n y b¬ng c¡ch sû döng mð rëng cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i. Ryazantseva [23] ¢ mð rëng thuªt to¡n iºm g¦n k· (2.5) cho tr÷íng hñp A l ¡nh x¤ m-acretive trong khæng gian Banach E v ¢ chùng minh sü hëi tö y¸u cõa d¢y l°p {xn} cõa (2.5) ¸n mët nghi»m cõa (2.4) vîi gi£ thi¸t nghi»m n y l duy nh§t. º thu ÷ñc sü hëi tö m¤nh cõa thuªt to¡n (2.5), Ryazantseva [24] ¢ k¸t hñp thuªt to¡n g¦n k· vîi hi»u ch¿nh v gåi l hi»u ch¿nh thuªt to¡n g¦n k· d¤ng
cn(A(xn+1) +αnxn+1) +xn+1 −xn = 0, x0 ∈ E.
Trong ph¦n ti¸p theo, chóng tæi · cªp ¸n thuªt to¡n hi»u ch¿nh Tikhonov t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach.
2.2 Thuªt to¡n hi»u ch¿nh Tikhonov
º t¼m nghi»m x§p x¿ cõa (2.1) trong tr÷íng hñp têng qu¡t N > 1
ta x²t ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov d¤ng
NX X
i=1
Ai(x) +αnx = 0, Ai = I −Ti, (2.7)
vîi tham sè hi»u ch¿nh khæng ¥m αn v αn → 0, n → ∞. Ph÷ìng tr¼nh (2.7) câ thº vi¸t ð d¤ng têng qu¡t hìn nh÷ sau
NX X
i=1
αµi
N¸u µ0 = 0 v µi < µi+1, i = 1,2, ..., N −1 th¼ thuªt to¡n (2.8) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu º x¡c ành mët nghi»m chung cõa h» c¡c ¡nh x¤Ai :E → E∗
hemi-li¶n töc v ìn i»u [7] v iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ gi£ co ch°t trong khæng gian Hilbert [8]. Trong tr÷íng hñp µi = 0, i= 1,2, ..., N, khæng câ c¡c i·u ki»n (i), (ii) trong ành lþ 2.1, chóng ta câ k¸t qu£ sau.
ành lþ 2.2. [8] N¸u ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc j li¶n töc m¤nh v li¶n töc y¸u th¼:
(i) Vîi méi αn > 0, b i to¡n (2.7) câ duy nh§t nghi»m xn. (ii) N¸u d¢y {αn} chån sao cho lim
n→+∞αn = 0, th¼ ta câ
lim
n→+∞xn = x∗ ∈ C.
Chùng minh.
(i) V¼ vîi méi αn > 0¡nh x¤ PN
i=1Ai l li¶n töc Lipschitz v j-ìn i»u, cho n¶n nâ l m −j-ìn i»u (xem [9]). Do â, ph÷ìng tr¼nh (2.7) câ duy nh§t nghi»m xn vîi méi αn > 0.
(ii) Tø (2.7) suy ra N X i=1 hAi(xn), j(xn−y)i+αnhxn, j(xn −y)i = 0 ∀y ∈ C. (2.9) Do Ai(y) = 0, i = 1, ..., N, ta câ N X i=1 Ai(y) = 0.
Düa v o ¯ng thùc n y, (2.9) v t½nh j-ìn i»u cõa Ai ta nhªn ÷ñc
hxn, j(xn−y)i ≤ 0
ho°c
Suy ra,
kxn−yk ≤ kyk v kxnk ≤ 2kyk, y ∈ C. (2.11) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho xn+p l nghi»m cõa (2.7) khi αn ÷ñc thay b¬ng αn+p. Khi â,
NX X i=1 hAi(xn)−Ai(xn+p),j(xn−xn+p)i+αnhxn, j(xn−xn+p)i −αn+phxn+p, j(xn−xn+p)i = 0. V¼ vªy, kxn −xn+pk ≤ |αn−αn+p| αn 2kyk.
Tø (2.11) suy ra d¢y{xn}giîi nëi. Do E l mët khæng gian Banach ph£n x¤, cho n¶n tçn t¤i d¢y con {xk} cõa d¢y {xn} hëi tö y¸u ¸n mët ph¦n tû x∗ n o â cõa E. B¥y gií ta s³ chùng minh x∗ ∈ F(Tl), l = 1, ..., N.
Vîi b§t ký y ∈ C tø Bê · 1.1, (2.7), (2.10) v t½nh j-ìn i»u cõa Ai
suy ra δE kAl(xn)k 8kyk ≤ L(2kyk)−2hAl(xn), j(xn−y)i ≤ L(2kyk)−2 N X i=1 hAi(xn), j(xn−y)i ≤ L(2kyk)−2α1−µl n h−xn, j(xn−y)i ≤ L(2kyk)−2α1−µl n h−y, j(xn −y)i ≤ L 4αn. V¼ vªy, lim n→∞kAl(xn)k = 0.
Düa v o nguy¶n lþ nûa âng (Bê · 1.2) cõa Al ta câ Al(x∗) = 0, câ ngh¾a l x∗ ∈ F(Tl). Cho n¶n x∗ ∈ C. Công tø (2.10) v t½nh li¶n töc y¸u cõa ¡nh x¤ èi ng¨u j, ta câ d¢y {xk} hëi tö manh ¸n x∗. V¼ C
l mët tªp âng lçi trong khæng gian Banach lçi ch°t câ duy nh§t mët th nh ph¦n câ chu©n nhä nh§t. Cho n¶n, c£ d¢y {xn} hëi tö ¸n x∗.
B¥y gií x²t b i to¡n x§p x¿ húu h¤n chi·u cho b i to¡n (2.7) nh÷ sau N X i=1 Ani(z) +αnz = 0, z ∈ En, (2.12)
ð ¥y Ani = PnAiPn, Pn l mët ph²p chi¸u tuy¸n t½nh tø E l¶n khæng gian con En sao cho
En ⊂ En+1, Pnx →x, n → +∞,∀x ∈ E.
Khæng l m m§t t½nh ch§t chung ta câ thº gi£ thi¸t kPnk = 1 (xem [27]). °t
γn(y) = k(I −Pn)yk,
ð ¥y y ∈ C.
Ta câ k¸t qu£ sau. ành lþ 2.3. [8]
(i) Vîi méi αn > 0, b i to¡n (2.12) câ duy nh§t nghi»m zn;
(ii) N¸u γn(y) = o(αn) vîi méi y ∈ C, Ti, i = 1, ..., N l kh£ vi Fr²chet vîi
kTi0(x)−Ti0(y)k ≤ Likx−yk, Li > 0, (2.13)
v d¢y {αn} chån sao cho lim
n→+∞αn = 0, th¼ ta câ
lim
n→+∞zn = z∗ ∈ C.
Chùng minh.
(i) B¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh ành lþ 2.2, ta câ thº kh¯ng ành r¬ng ph÷ìng tr¼nh (2.12) câ duy nh§t nghi»m zn
vîi méi αn > 0.
(ii) Tø (2.12) v t½nh ch§t cõa jn, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa En, suy ra
αnkzn−ynk2 = −αnhyn, jn(zn −yni+ N X i=1 h−Ani(zn), jn(zn −yn)i ≤ αnhyn, jn(yn−zn)i+ N X i=1 hAi(y)−Ai(yn), jn(zn−yn)i, ð ¥y yn = Pny, y ∈ C. V¼ Ti(yn) = Ti(y) +Ti0(y)(Pny −y) +rin,krink ≤ Li 2 γ 2 n(y), i = 1, ..., N, cho n¶n kzn−ynk ≤ kynk+γn(y) N X i=1 1 +kTi0(y)k+ Li 2 γn(y) /αn.
Do â tçn t¤i mët h¬ng sè d÷ìng R sao cho kznk ≤ R vîi méi n ≥ 1.
Do â, tçn t¤i mët d¢y con {zk} cõa d¢y {zn} hëi tö y¸u ¸n mët ph¦n tû z∗ cõa E khi k → ∞.
Ti¸p theo ta chùng minh z∗ ∈ F(Tl), l = 1, ..., N. Vîi méi y ∈ C, tø Bê · 1.2, (2.12), (2.13), Pn2 = Pn, jn(u) = j(u) vîi u ∈ En t½nh j-ìn i»u cõa Ai suy ra
L−1R2δE kAl(zn)k 4R ≤ hAl(zn), j(zn−y)i ≤ N X i=1 hAi(zn), j(zn −y)i ≤ N X i=1 hAi(zn), j(zn −yn)i+ N X i=1 hAi(zn), j(zn −y)−j(zn−yn)i ≤ N X i=1 hAni(zn), jn(zn−yn)i+ N X i=1 hAi(zn), j(zn−y)−j(zn −yn)i ≤ −αnhyn, jn(zn −yn)i+ 2Nkzn −ykγnν(y) ≤ αnkykkzn −ynk+ 2Nkzn −ykγnν(y). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
V¼ vªy,
lim
n→+∞kAl(zn)k= 0.
Düa v o nguy¶n lþ nûa âng cõa Al ta câ Al(z∗) = 0, câ ngh¾a l z∗ ∈
F(Tl). Cho n¶n z∗ ∈ C. Công tø t½nh li¶n töc y¸u cõa ¡nh x¤ èi ng¨u
j, ta câ d¢y {zk} hëi tö manh ¸n z∗. V¼ C l mët tªp âng lçi trong khæng gian Banach lçi ch°t câ duy nh§t mët th nh ph¦n câ chu©n nhä nh§t. Cho n¶n, c£ d¢y{zn} hëi tö ¸n z∗.
2
2.3 Thuªt to¡n iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh