khæng gian Hilbert
1.4B i to¡n °t khæng ch¿nh
1.4.1. Kh¡i ni»m v· b i to¡n ch¿nh v khæng ch¿nh
Vi»c t¼m nghi»m x cõa b§t ký mët b i to¡n n o công ph£i düa v o dú ki»n ban ¦u f, câ ngh¾a l x = R(f). Ta s³ coi nghi»m công nh÷ c¡c dú ki»n â l nhúng ph¦n tû thuëc khæng gian X v Y vîi c¡c ë o t÷ìng ùng l ρX(x1, x2) v ρY(f1, f2), x1, x2 ∈ X, f1, f2 ∈ Y.
Gi£ sû ¢ câ mët kh¡i ni»m th¸ n o l nghi»m cõa mët b i to¡n. Khi â, b i to¡n t¼m nghi»m x = R(f) ÷ñc gåi l ên ành tr¶n c°p khæng gian (X, Y), n¸u vîi méi sè ε > 0 câ thº t¼m ÷ñc mët sè δ(ε) > 0, sao cho tø ρY(f1, f2) ≤ δ(ε) ta câ ρX(x1, x2) ≤ε, ð ¥y
x1 = R(f1), x2 = R(f2), f1, f2 ∈ Y, x1, x2 ∈ X.
B i to¡n t¼m nghi»m x ∈ X theo dú ki»n f ∈ Y ÷ñc gåi l b i to¡n °t ch¿nh tr¶n c°p khæng gian Metric (X, Y), n¸u
1) Vîi méi f ∈ Y tçn t¤i nghi»m x ∈ X;
2) Nghi»m x â ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t; 3) B i to¡n n y ên ành tr¶n c°p khæng gian (X, Y).
Trong mët thíi gian d i ng÷íi ta cho r¬ng måi b i to¡n ·u tho£ m¢n ba i·u ki»n tr¶n. Nh÷ng thüc t¸ ch¿ ra r¬ng quan ni»m â l sai l¦m. Trong c¡c t½nh to¡n c¡c b i to¡n thüc t¸ b¬ng m¡y t½nh luæn di¹n ra qu¡ tr¼nh l m trán sè. Ch½nh sü l m trán â d¨n ¸n c¡c k¸t qu£ sai l»ch ¡ng kº.
N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng tho£ m¢n, b i to¡n t¼m nghi»m ÷ñc gåi l b i to¡n °t khæng ch¿nh. æi khi ng÷íi ta gåi l b i to¡n khæng ch½nh quy ho°c b i to¡n thi¸t lªp khæng óng n. Công c¦n l÷u þ r¬ng mët b i to¡n câ thº thi¸t lªp khæng óng n tr¶n c°p khæng gian Metric n y, nh÷ng l¤i thi¸t lªp óng n tr¶n c°p khæng gian Metric kh¡c.
èi vîi b i to¡n t¼m nghi»m x§p x¿ cõa ph÷ìng tr¼nh
A(x) = f, f ∈ Y (1.14)
dú ki»n ban ¦u ð ¥y ch½nh l to¡n tû A v v¸ ph£i f. Gi£ sû r¬ng to¡n tû A cho tr÷îc mët c¡ch ch½nh x¡c, cán v¸ ph£i f cho bði fδ vîi sai sè
ρ1(fδ, f) ≤ δ. Nh÷ vªy, vîi (fδ, δ) ta ph£i t¼m mët ph¦n tû xδ ∈ X hëi tö ¸n nghi»m ch½nh x¡c cõa (1.14) khi δ → 0. Ph¦n tû xδ câ t½nh ch§t nh÷ vªy ÷ñc gåi l nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n tr¶n. N¸u ta kþ hi»u
Qδ = {x ∈ X : ρY(A(x), fδ ≤ δ}.
Th¼ nghi»m x§p x¿ cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n ph£i n¬m trong tªp Qδ. Nh÷ng r§t ti¸c tªpQδ n y l¤i r§t lîn, tùc l c¡c ph¦n tû c¡ch nhau r§t xa. Ch½nh v¼ vªy, khæng ph£i t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa Qδ câ thº coi l nghi»m x§p x¿ cõa (1.14) ÷ñc. V¼ l³ â, b i to¡n °t ra l ph£i chån ph¦n tû n o cõa Qδ l m nghi»m x§p x¿ cho (1.14). Muèn thüc hi»n vi»c chån â c¦n thi¸t ph£i câ th¶m c¡c thæng tin kh¡c núa v· nghi»m ch½nh x¡c x0. â ch½nh l vi»c x¥y düng thuªt to¡n t¼m nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n khæng ch¿nh (1.14).
1.4.2. V½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh
Sau ¥y ta s³ ch¿ ra mët v i v½ dö v· to¡n tû Am (1.14) l b i to¡n °t khæng ch¿nh (xem [1]).
ành ngh¾a 1.14. To¡n tû (phi tuy¸n) A ÷ñc gåi l li¶n töc m¤nh, n¸u nâ ¡nh x¤ måi d¢y hëi tö y¸u th nh d¢y hëi tö m¤nh tùc l n¸u
xn * x suy ra Axn →Ax.
M»nh · 1.3. Cho X v Y l c¡c khæng gian Banach thüc. N¸u A
l to¡n tû tuy¸n t½nh compact th¼ A li¶n töc m¤nh.
V½ dö 1.5. N¸u A l to¡n tû li¶n töc m¤nh th¼ b i to¡n (1.14) (væ h¤n chi·u) nâi chung l b i to¡n °t khæng ch¿nh.
Thªt vªy, gi£ sû {xn} l mët d¢y ch¿ hëi tö y¸u ¸n x, xn * x,
suy ra yn → y v nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh A(x) = f khæng phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u.
Tuy nhi¶n, công câ mët v i tr÷íng hñp °c bi»t cho ph÷ìng tr¼nh to¡n tû vîi to¡n tû li¶n töc m¤nh. Ch¯ng h¤n, n¸u mi·n x¡c ành D(A)
cõa to¡n tû A l húu h¤n chi·u th¼ måi d¢y hëi tö y¸u ·u hëi tö m¤nh, do â chùng minh tr¶n khæng ¡p döng ÷ñc. V n¸u ta x²t mët to¡n tû tuy¸n t½nh compact vîi mi·n £nh R(A) húu h¤n chi·u th¼ to¡n tû ng÷ñc
A−1 nâi chung l li¶n töc v khi â b i to¡n gi£i ph÷ìng tr¼nh A(x) =f
l b i to¡n °t ch¿nh. V½ dö 1.6. X²t ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm lo¤i I Z b a K(t, s)ϕ(s)ds = f0(t), t ∈ [c, d], (1.15) −∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞,
ð ¥y nghi»m l mët h m ϕ(s), v¸ ph£i f0(t) l mët h m sè cho tr÷îc v nh¥n K(t, s) cõa t½ch ph¥n còng vîi ∂K/∂t ÷ñc gi£ thi¸t l c¡c h m li¶n töc. Ta gi£ thi¸t nghi»m ϕ(s) thuëc lîp c¡c h m li¶n töc tr¶n [a, b] vîi kho£ng c¡ch (cán ÷ñc gåi l ë l»ch) giúa hai h m ϕ1 v ϕ2 trong lîp â l
ρC[a,b](ϕ1, ϕ2) = max
s∈[a,b] |ϕ1(s)−ϕ2(s)|. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sü thay êi v¸ ph£i ÷ñc o b¬ng ë l»ch trong khæng gian L2[c, d], tùc l kho£ng c¡ch giúa hai h m f1(t) v f2(t) trong L2[c, d] ÷ñc biºu thà bði sè ρL2[c,d](f1, f2) = Z d c |f1(t)−f2(t)|2dt 1/2 .
Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh (1.15) câ nghi»m ϕ0(s). Khi â, vîi v¸ ph£i
f1(t) =f0(t) +N Z b a K(t, s) sin(ωs)ds ph÷ìng tr¼nh (1.15) câ nghi»m ϕ1(s) =ϕ0(s) + Nsin(ωs).
Vîi N b§t ký v ω õ lîn, th¼ kho£ng c¡ch giúa hai h m f0 v f1 trong L2[c, d] ρL2[c,d](f0, f1) = |N| Z d c Z b a K(t, s) sin(ωs)ds 2 dt 1/2
câ thº l m nhä tuý þ. Thªt vªy, °t
Kmax = max s∈[a,b],t∈[c,d] K(t, s), ta t½nh ÷ñc ρL2[c,d](f0, f1) ≤ |N| Z d c Kmax1 ω cos(ωs) b a 2 dt 1/2 ≤ |N|Kmaxc0 ω , ð ¥y c0 l mët h¬ng sè d÷ìng. Ta chån N v ω lîn tuý þ, nh÷ng N/ω
l¤i nhä. Khi â,
ρC[a,b](ϕ0, ϕ1) = max
s∈[a,b]
|ϕ0(s)−ϕ1(s)| = |N|
câ thº lîn b§t ký.
Kho£ng c¡ch giúa hai nghi»m ϕ0 v ϕ1 trong L2[a, b] công câ thº lîn b§t ký. Thªt vªy, ρL2[a,b](ϕ0, ϕ1) = Z b a |ϕ0(s)−ϕ1(s)|2ds 1/2 = |N| Z b a sin2(ωs)ds 1/2 = |N| r b−a 2 − 1 2ω sin(ω(b−a)) cos(ω(b+a)).
D¹ d ng nhªn th§y hai sè N v ω câ thº chån sao cho ρL2[c,d](f0, f1) r§t nhä nh÷ng v¨n cho k¸t qu£ ρL2[a,b](ϕ0, ϕ1) r§t lîn.
1.5 B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung
B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach E ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: t¼m
mët th nh ph¦n
x∗ ∈ C := ∩Ni=1Ci, (1.16)
trong â N ≥ 1 l mët sè nguy¶n v méi Ci l tªp c¡c iºm b§t ëng
F(Ti) cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti : E →E, i = 1,2, ..., N.
Tr÷íng hñp ìn gi£n, khi N = 1v T1 = T l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n mët tªp âng lçi C cõa khæng gian Hilbert H, tùc l T : C →C v
kT x−T yk ≤ kx−yk ∀x, y ∈ C,
º t¼m iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ khæng gi¢n T, Ishikawa [15] ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p
vîi x0 ∈ C tòy þ,
yk = αkxk + (1−αk)T xk, xk+1 = βkxk+ (1−βk)T yk,
(1.17)
ð ¥y {αk} v {βk} l c¡c d¢y sè thuëc [0,1].
Khi αk = 1 vîi méi k ≥ 0, ta câ ph÷ìng ph¡p l°p vîi x0 ∈ C tòy þ,
xk+1 = βkxk + (1−βk)T xk,
(1.18)
÷ñc · xu§t bði Mann [17] v o n«m 1953. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
C£ hai ph÷ìng ph¡p (1.17) v (1.18) ·u cho ta hëi tö y¸u (xem [11], [12]). Ph÷ìng ph¡p (1.18) nh¼n ìn gi£n hìn ph÷ìng ph¡p (1.17) v sü hëi tö cõa (1.18) câ thº d¨n ¸n hëi tö cõa (1.17) n¸u {αk} thäa m¢n i·u ki»n phò hñp. M°c dò vªy, câ nhúng tr÷íng hñp khi (1.18) khæng hëi tö m (1.17) v¨n hëi tö, m°c dò ¥y l hëi tö y¸u (xem [11], [12]). N«m 1967, Halpern [14] · xu§t ph÷ìng ph¡p
xn+1 = βnu+ (1−βn)T xn, n ≥0, (1.19)
ð ¥y u, x0 l hai iºm b§t ký thuëc C v {βn} ⊂ (0,1). Halpern ¢ ch¿ ra r¬ng lim n→∞βn = 0 v ∞ X n=0 βn = ∞
l i·u ki»n c¦n º cho ph²p l°p (1.19) hëi tö ¸n mët iºm b§t ëng cõa T. Ph÷ìng ph¡p n y ¢ ÷ñc nghi¶n cùu ti¸p bði Lions [16], Reich [21], Wittmann [28] v Song [26]. Mîi ¥y, Alber [4] · xu§t ph÷ìng ph¡p l°p
xn+1 = PC(xn−µn[xn −T xn]), n ≥ 0, (1.20)
v chùng minh r¬ng n¸u {µn} : µn → 0, khi n → ∞ v {xn} giîi nëi, th¼:
(i) Tçn t¤i iºm tö y¸u x˜∈ C cõa tªp {xn};
(ii) Måi iºm tö y¸u cõa {xn} ·u thuëc F(T); v
(iii) N¸u tªp F(T) ch¿ gçm mët iºm, tùc l F(T) = {x˜}, th¼ {xn}, x¡c ành bði (1.20), hëi tö y¸u ¸n x˜.
B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå c¡c ¡nh x¤ lo¤i khæng gi¢n x¡c ành tr¶n mët tªp âng lçi thuëc khæng gian Hilbert hay Banach l mët v§n · lîn v hi»n ÷ñc r§t nhi·u c¡c nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi quan t¥m. Trong luªn v«n n y chóng tæi ch¿ tr¼nh b y mët kh½a c¤nh li¶n quan ¸n ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh k¸t hñp vîi thuªt to¡n iºm g¦n k· qu¡n t½nh ð ch÷ìng ti¸p theo.
Ch֓ng 2
Thuªt to¡n iºm g¦n k· qu¡n t½nhhi»u ch¿nh t¼m iºm b§t ëng hi»u ch¿nh t¼m iºm b§t ëng